Единственность восстановления жесткостей закреплений двух связанных валов

Упруго связанные между собой валы часто являются рабочими основами (динамическими моделями) обрабатывающих станков или многих других технических систем [1-6, 11,12]. Восстановление их параметров, как жесткостей закреплений, так и физических или геометрических, отно-

сятся к исследованиям в вибродиагностике технических конструкций по фиксируемому приборами их акустическому отклику [7-10].

Динамическая модель из связанных упруго валов представлена на рисунке 1 [5].

Рис. 1. Модель из двух валов с упругой связью

На рисунке 1 отмечены обобщенные координаты: прогиб y 1 (x ; t ) сечения, прогиб y ₂( t ) центра масс валов, поворот ^ ₂( t) 2-го вала относительно 1-го, а также жесткостные параметры: С 1 , c ₂ - коэффициенты жесткостей валов, c – коэф-

фициент упругости связывающего два вала материала.

Математическое описание колебательного процесса такой динамической модели приводит к граничной задаче с дифференциальными уравнениями

E i 1 1

д ⁴ y, ( x , t )       д ² y ( x , t )   (                     (l ^           а

—Ъ—+ P i—Ь— + СУ 1 ^{( x} i , t ) - y 2 ⁽ t ) -I-^{- x} k( t ) = °;

д x            д t       \                 v 2    )     )

l m2y2 (t) + (2 c2 + cl) У2 (t) - c J y (x, t) dx = 0;

ll

B₂ ^ ( t ) + (6 c ₂ + cl )l² ^ ( t ) /12 - cl J y_x ( x , t ) dx /2 + c J

0                        0

с граничными условиями:

y ‘ ( x ; t ) = 0;    E i 1 1 y i (0; t ) = - c i y i (0; t );     y ‘ ( l ; t ) = 0;    y i I - ; t = 0.         (4)

V 2   )

В (1)-(4): B_{ , B ₂ - моменты инерции масс m _i, m ₂ валов длины l ; p , p и EI_{ , E₂I₂ -плотности и изгибные жесткости соответствующих валов.

Решения (1)-(3) примем гармоническими:

y ( x , t ) = 4 ( x )sin at , y ₂( t ) = A ₂sin a t , ^( t ) = D ₁ sin a t ,

в которых a - собственная частота, A , ( x ) , A₂ , D_{ - амплитуды малых колебаний динамической системы из двух связанных валов.

Введем в рассмотрение также следующие безразмерные параметры жесткостей и масс:

k = c!L , m = m , C i =   ■  , C 2 =

.

^E i ¹ i          ^p i ^{l         E} i ¹ i         ^E 2 ¹ 2

Стандартная подстановка функций (5) и их производных (до 3-го порядка включительно) в граничные условия (4) с учетом (6) приводит к системе 4-х алгебраических уравнений, которая должна иметь ненулевые решения относительно амплитуд ко-

лебаний. Что приводит к равенству к нулю определителя матрицы указанной системы, раскрывая и преобразовывая который приходим к следующему вековому уравнению малых свободных колебаний упруго связанных между собой валов:

Л ( — (2 C₂ + k - m( — + k )) + k ²) Л⁴ sh - cos ⁷ v V ²

-.,-.- — + ch — sin — 2 2 2

-

-    - I

( —  -.,-.- К

+2k C, sh — cos — + ch — sin — = 0, i V 2     2      2    2)

где

- ⁴ = - ( a ) =

( P i a ² - с ) l⁴

E i 1 1

– спектральное значение граничной задачи (1)-(4).

Из векового уравнения (6) при различных физических и геометрических характеристиках валов и связывающего материала можно с помощью программ с применением численных пакетов определять спектральные значения — = — ( a ) , и соот

ветствующие частоты a ₇ ( j = 1, ® ) колебаний динамической системы.

Рассмотрим теперь обратную спектральную задачу – задачу восстановления параметров жесткостей валов c ₁ , c ₂ по известным значениям частот малых сво-

бодных колебаний связанных валов. В безразмерных параметрах ставится задача поиска неизвестных коэффициентов С 1 и

С ₂ по известным спектральным корням

A = A ( о ) векового уравнения (6).

Остановимся на алгоритме решения обратной задачи. Введем в рассмотрение дополнительный параметр:

С3 = С1С2

и вековое уравнение (6) приведем к виду:

С1 /1 (Л) + С2 f2 (Л) + С3 f3 (Л) + f.(Л) = 0,(9)

в котором:

I  Л Л ЛЛ f (Л) = 2Л  sh — cos — + ch — sin —

;

L   2 2 22

f(Л) = -2Л Л4(k-m(Л4 + k) + k2)ch — cos — + 2k2 Ssh — cos — + ch — sin — "           (                            2     2       L 2     2      22

;

f 3 ( Л ) = - 4 Л⁵ ch — cos — ; f ( Л ) = Л ⁴( Л ⁴( k - m (Л⁴ + k )) + k ²) ( sh — cos — + ch — sin —

.

'2     2                                        L 2    2      22

Если теперь известные значения о ( j = 1,2,3) частот колебаний, а значит, спектральные значения Л ( j = 1,2,3) задачи (1)-(4), подставить в (9), то имеем систему линейных уравнений:

' С 1 f 1 ( A ) + С 2 f 2 Л ) + с 3 f 3 Л ) = - f 4 Л );

* Сf Л 2 ) + с 2 f АА) + С 3 f A = - f А;                  (11)

. С1 f. л ) + с2 f2 Л) + с3 f3 Л) = - f4 Л), которая позволяет получить следующие аналитические выражения для искомых безразмерных коэффициентов жесткостей в виде:

					С 1 =	А С = А ’   2	A А ’				(12)
	f Л )	f 2 ( A )	f A)		- f A)	f 2 ( A )	f A)		f A)	- f A)	f A)
где А =	f А)	f 2Л)	f A)	,    А =	- f A)	f 2 (A)	f A)	,     А 2 =	f A)	- f A)	f A)
	f.Л )	f 2 Л )	f A)		- f A)	f 2 ( A )	f A)		f ( A 3 )	- f A)	f A)

А А А2 при ограничениях — =--- , А3 = А   А  А    3	f А)	f 2 ( A )	- f . ( A )
	f А)	f 2Л )	- f A)	•                           (14)
	f А)	f 2 ( A )	- f A)

Полученные из (10)-(13) значения безразмерных параметров С ₁, С ₂ при условии, что ∆≠ 0 для матрицы системы (11), позволяют восстанавливать жесткости закреплений обоих валов с учетом равенств (6) единственным образом.

В работе проведены численные расчеты с помощью программных реализаций в численных пакетах, доказывающие полученный алгоритм и аналитические формулы (10)-(13).