Erratum: Демонстрация резонансных эффектов типа расщепления Аутлера–Таунса, электромагнитно-индуцированной прозрачности и резонансов Фано в деформированном волноводном резонаторе

Для обеспечения достоверности результатов моделирования было проведено исследование количества мод в каждом из 5 участков волноводной структуры, представленной на рис. 2 а в оригинальной статье (прямой входной участок, первое зеркало, изогнутый волноводный резонатор, второе зеркало, прямой выходной участок), при котором достигается сходимость численных результатов. В ходе исследования установлено, что при включении в численную модель 60 и более мод в каждом из участков (включая оболочечные моды во входном и выходном участках), результаты моделирования практически перестают зависеть от количества используемых мод. Для обеспечения сходимости с некоторым запасом спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора (рис. 3–6 оригинальной статьи) пересчитаны с использованием 70 мод в каждом из участков и приводятся ниже.

На рис. 3 представлены спектры отражения и пропускания, полученные при радиусах изгиба вблизи R = 7,575 мм, при которых возникает сильная связь между рассматриваемыми по отдельности фундаментальной модой (ФМ) сердцевины и оболочечной модой шепчущей галереи (МШГ) изогнутого одномодового световода при λ ~ 1555 нм. Коэффициенты отражения и пропускания определены соответственно как отношение мощностей отраженной и прошедшей ФМ во входном и выходном участках к мощности возбуждающей ФМ во входном участке.

Из сравнения приведенных выше спектров со спектрами из оригинальной статьи видно, что, помимо небольших изменений в параметрах резонатора, основное отличие состоит в более сглаженном характере расщепления резонансных линий (показано двойной серой стрелкой), который в большей степени соответствует расщеплению Аутлера –Таунса, нежели электромагнитно-индуцированной прозрачности или высокодобротному резонансу Фано.

Последнее также относится к спектрам, представленным на рис. 4 ниже, которые получены при радиусах изгиба, на которых ФМ связывается с МШГ различных порядков. Чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство, на рис. 4 д приведены зависимости эффективного показателя преломления гибридных мод изогнутого световода (рассматриваемого как единое целое) от радиуса изгиба при фиксированной длине волны λ = 1555 нм. Пунктирными вертикальными линиями отмечены радиусы изгиба, при которых рассчитаны спектры на рис. 4 а – г .

Как видно, более сильное расщепление резонансных линий, возникающее при меньших радиусах изгиба, обусловлено бо̀ льшим промежутком между дисперсионными кривыми в области их антипересе- чения. В терминах рассматриваемых по отдельности ФМ- и МШГ-резонаторов это соответствует их более сильной связи при меньших радиусах изгиба за счет большего интеграла перекрытия между профилями волноводных ФМ и МШГ, как обсуждается в оригинальной статье.

Рис. 3. Спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора Фабри – Перо, рассчитанные при R = 7,5 (а); 7,55 (б); 7,575 (в); 7,6 (г) и 7,65 мм (д); L = 3 мм; h = 10 нм.

Для сравнения на рисунке (в) пунктирными линиями показаны спектры отражения и пропускания прямого резонатора с L = 3 мм h = 10 нм. На вставках слева приведены АЧХ возбуждаемого осциллятора в механической системе связанных маятников, рассчитанные при ω 1 = 1; ω 2 = 1,2; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (1); ω 1 = 1; ω 2 = 1,07; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (2); ω 1 = 1; ω 2 = 0,98; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (3); ω 1 = 1; ω 2 = 0,85; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (4); ω 1 = 1; ω 2 = 0,7; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (5)

Влияние толщины металлических зеркал на спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора иллюстрируется рис. 5. Как видно из сравнения представленного ниже рисунка с соответствующим рисунком в оригинальной статье, основное отличие скорректированных спектров состоит в отсутствии многочисленных узкополосных особенностей, которые наблюдались ранее при малых толщинах зеркал. Данные особенности, таким образом, представляют численные артефакты и физического смысла не имеют.

На заключительном рис. 6 показано влияние длины изогнутого резонатора на расщепление его резонансных линий. Скорректированные спектры близки к спектрам, приведенным в оригинальной статье, однако более сглажены, и узкие провалы в резонансных линиях при малых значениях L не наблюдаются. Отметим также, что, хотя расщепление и становится более выраженным с ростом длины резонатора, как обсуждается в оригинальной статье, данный эффект можно считать кажущимся и возникающим вследствие различных масштабов по горизонтальной оси на рис. 6а – е. Анализ приведенных спектров показывает, что с ростом длины резонатора происходит сужение резонансных линий и уменьшение промежутка между ними при фиксированной в абсолютном выражении величине расщепления, что делает последнее более выраженным.

Рис. 4. Спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора Фабри – Перо, рассчитанные при R = 5,575 (a);

6,475 (б); 7,575 (в); 8,932 мм (г), L = 3 мм, h = 10 нм, а также соответствующие АЧХ возбуждаемого маятника в механической системе, рассчитанные при ω 1 = 1; ω 2 = 0,98; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,6 (1); ω 1 = 1; ω 2 = 0,98; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,4 (2); ω 1 = 1; ω 2 = 0,98; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,25 (3); ω 1 = 1; ω 2 = 0,98; γ 1 = γ 2 = 0,1; g = 0,15 (4).

Вертикальные пунктирные стрелки схематически показывают усиление расщепления резонансных линий с уменьшением радиуса изгиба. На рисунке (д) приведены дисперсионные кривые гибридных мод изогнутого световода в зависимости от радиуса изгиба при фиксированной длине волны λ = 1555 нм. Пунктирные вертикальные линии маркируют радиусы изгиба, при которых рассчитаны спектры, приведённые на рисунках (a – г)

Интересная особенность, не упомянутая в оригинальной статье, наблюдается при L = 12,1 мм (рис. 6 д ) и состоит в полном подавлении резонансного пропускания при перекрытии расщепленных линий от соседних резонансов. Это также сопровождается глубоким минимумом в спектре отражения. Расчет распределения амплитуды поля в резонаторе показывает, что практически вся введенная в него мощность в этом случае перераспределяется в оболочку выходного волноводного участка.

Резюмируя представленные выше скорректированные результаты, следует сделать вывод, что расщепление резонансных линий в изогнутом волноводном резонаторе Фабри – Перо не приводит к узкополосным спектральным особенностям, характерным для электромагнитно-индуцированной прозрачности и высокодобротных резонансов Фано. Вместо этого, как правило, наблюдается расщепление, аналогичное эффекту Аутлера –Таунса, который обусловлен связью двух резонансных состояний с одинаковым затуханием. Именно такое расщепление следует ожидать в исследуемом случае связи ФМ- и МШГ-ре-зонаторов, поскольку их потери, определяемые главным образом пропусканием входного и выходного зеркал, одинаковы. В механической системе связанных маятников (рис. 2б), как видно из вставок к рис. 3 и 4, такое расщепление наблюдается при γ1 = γ2.

Рис. 5. Спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора Фабри – Перо, рассчитанные при h = 2 (а);

5 (б); 10 (в), 20 (г) и 30 нм (д), R = 7,575 мм, L = 3 мм

Острые асимметричные линии резонансов Фано и узкие провалы в широком резонансном контуре, характерные для электромагнитно-индуцированной прозрачности, возникают при интерференции узкой резонансной линии с нерезонансным континуумом или другим широкополосным резонансом. В частности, для демонстрации таких эффектов в механической системе требуется выполнение условия γ 2 <<  γ 1 [2]. Для реализации аналогичного режима (более перспективного с точки зрения создания сенсорных и коммутационных оптических устройств) в изогнутом волноводном резонаторе требуется применение зеркал с переменным коэффициентом отражения, обеспечивающих высокие потери для ФМ-резонатора, и низкие – для МШГ-резонатора. Простейшим примером такого зеркала является толстый слой металла с отверстием в области сердцевины световода. Результаты дальнейших исследований в этом направлении будут представлены в последующих публикациях.

Рис. 6. Спектры отражения и пропускания изогнутого резонатора Фабри – Перо, рассчитанные при L = 1, 3, 6, 9, 12,1 и 15 мм, R = 7,575 мм, h = 10 нм. Вертикальными полупрозрачными стрелками схематически обозначено смещение расщеплённых резонансных линий с ростом длины резонатора

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 20-02-00556 А.