Евклидовы и эрмитовы пространства

Евклидовы и эрмитовы пространства

Определение 1. Пусть V — R — векторное пространство. Тогда отображение      р: V х V ^ ^: х,у ^ (хру-)      называется скалярным произведением на V, если выполняется, следующие условия:

• 1)    (х 1 + Х 2 ,у) = (х 1 ,у) + (Х 2 ,у), V Х 1 ,Х 2 ,у G V,

• 2)    (а • х, у) = а • (у, х), V а, х, у G V,

• 3)    (у, х) = (х, у), V х, у G V,

• (х , х) > 0, V х G V,                                 причём

• (х , х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.

Таким образом условия 1) и 2) означают, что р линейно попарно первой переменной, условие 3) означает р — симметрическая, а условие 4) означает, положительную определенность формы р.

Следствие 1. Скалярное произведение на вещественном пространстве является билинейной, симметричной, квадратичной формой, которой является положительно определенной.

Определение 2. Пусть V — С — векторное пространство. Тогда отображение р: V х V ^ С —скалярное произведение на V, если:

• 1)    (х 1 + х 2 ,у) = (х 1 ,у) + (х 2 ,у),  V х 1 ,х 2 ,у G V

• 2)    (а • х, у) = а • (у, х), V а, х, у G V

• 3)    (у,х) = (х,у), Vх,у G V

• 4)    (х, х) > 0, V х G V,                                причём

(х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.

Определение 3. Вещественное пространство, на которой задано некоторое скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Пример 1. Пространство  Мп — (х = (х1,х2, ,„,хп) х^ G М} вещественны п —мерных векторов является евклидовым со скалярным

п

, У) = ^ЗД .

1=1

Определение 4. Квадратная матрица А называется симметричной, если

А = А.

Определение 5. Симметричная матрица А называется положительно определенной, если все ее главные миноры положительны.

Пример 2 . Пусть любое A(g М_п(М)), А > 0, т.е. А — симметрический и все ее главные миноры > 0, следовательно ф_л : М^п х М^п ^ М : ф_А(х,у) = Х^т • А • Y V х, у G М^п — скалярное произведение.

Пример 3. Пусть Сп — эрмитово (Х, Y) = ^4=1 ху   А = Еп > 0.

Пример 4. Пусть любое A(g М_п(С)), А > 0, то есть А — эрмитовый симметрический и все ее главные миноры > 0, следовательно ф_А : С х С^п ^ С : ф_А(х, у) = Х^т • А • Y V х,у G С^п — скалярное произведение.

Определение 6. Эрмитова форма /(х, у) называется положительно определенной, если для любого х ^ 0 справедливо неравенство /(х, х) > 0.

Теорема 1. Критерий Сильвестра положительной определенности. Эрмитова форма положительна, определена тогда и только тогда когда все ее главные миноры (расположены по главной диагонали) > 0.

Следствие 2. Скалярное произведение на комплексном векторном пространстве является положительно определенной эрмитовой формой.

Определение 7. Комплексное пространство, на которой задано некоторое скалярное произведение называется эрмитовым пространством.