Фазовая модуляция и преломление поверхностных плазмон-поляритонов с подавлением паразитного рассеяния

В течение последнего десятилетия поверхностные плазмон-поляритоны (ППП, электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль границ раздела между металлом и диэлектриком) являются предметом интенсивных исследований как из-за фундаментального интереса, так и из-за их потенциальных применений, в т.ч. в плазмонных лазерах [1], системах нанолитографии [2], системах передачи оптического излучения [3] и фотоэлектрических преобразователях [4].

Для управления распространением ППП (например, для их отражения и фокусировки) были предложены различные типы оптических элементов, в частности, диэлектрические структуры, расположенные непосредственно на поверхности металла. Принцип работы этих структур основан на фазовой модуляции падающего ППП. Наряду с потерями на поглощение, присущими всем плазмонным структурам, потери на паразитное рассеяние ППП на границах раздела между различными средами являются основной причиной снижения эффективности таких элементов [5, 6]. Указанные потери вызваны несовпадением поперечных профилей поля ППП с разных сторон от границы раздела и могут достигать до 30 % энергии на одной границе. В [6–9] были предложены подходы для подавления паразитного рассеяния, основанные на использовании анизотропных метаматериалов. Несмотря на то, что этот подход позволяет полностью устранить потери на паразитное рассеяние, расчёт и изготовление метаматериалов с требуемыми эффективными материальными параметрами и их интеграция в плазмонные элементы представляют собой сложную задачу.

В предыдущих работах авторов был предложен более простой подход к подавлению паразитного рассеяния ППП, основанный на использовании плазмонных волноводов «диэлектрик-диэлектрик-металл» из изотропных материалов [10, 11]. Было показано, что такая двухслойная структура позволяет уменьшить потери на рассеяние на порядок (до 1 –2 %). Однако в этих работах был рассмотрен только базовый случай падения ППП на однослойные или двухслойные ступеньки в геометрии нормального падения, и не были исследованы примеры элементов плазмонной оптики.

В настоящей работе предлагаемый подход для подавления паразитного рассеяния распространяется на случай наклонного падения, важный для реальных приложений (в частности, приложений, связанных с ограниченными плазмонными пучками [12, 13]). В качестве модельной задачи рассмотрено прохождение ППП через диэлектрические ступеньки. Результаты численного моделирования в рамках строгой электромагнитной теории дифракции для ППП сравниваются с теоретической моделью для TE-поляризо-ванной плоской волны. Показано, что в большинстве случаев при подавлении рассеяния преломление и фазовая модуляция ППП могут быть описаны с помощью стандартных формул Френеля. В качестве примера плазмонного оптического элемента, использующего предложенный подход для подавления рассеяния, рассмотрен периодический массив микролинз для ППП.

Метод подавления рассеяния ППП и параметры примера

Опишем сначала предлагаемый подход для подавления паразитного рассеяния ППП. Зависимость от времени и координат ППП, распространяющегося вдоль границы раздела z =0, имеет вид exp (–iωt + ikxx + ikyy – κj|z|), где j = d, m соответствуют диэлектрику и металлу, а компоненты волнового вектора kx, ky, κz удовлетворяют дисперсионному соотношению kx2+ky2=ks2pp =k02εmεd/(εm+εd), κj = kspp - k0 ε j , где k0 = ω/c, εm и εd – диэлектрические проницаемости двух сред. Прохождение ППП через границу раздела между исходным диэлектриком и диэлектриком с диэлектрической проницаемостью εb ≠ εd влечёт за собой изменение поперечного профиля поля. Таким образом, граничные условия для тангенциальных компонент поля не могут быть удовлетворены только за счёт трёх волн (падающего, отражённого и прошедшего ППП), поэтому падающий ППП частично рассеивается, преобразуясь в излучение, распространяющееся от поверхности металла.

Для подавления паразитного рассеяния необходимо обеспечить совпадение поперечных профилей поля до и после границы раздела за счёт добавления дополнительных степеней свободы в соответствующие дисперсионные соотношения. Как было указано выше, один из возможных способов заключается в изменении тензоров диэлектрической и/или магнитной проницаемостей материалов структуры [6–9]. Другой подход основан на изменении геометрии плазмонного волновода. В частности, в наших предыдущих работах показано, что добавление дополнительного диэлектрического слоя к диэлектрической ступеньке (рис. 1) обеспечивает частичное совпадение поперечного профиля поля мод [10, 11].

S2

Рис. 1. Геометрия распространения ППП через диэлектрическую ступеньку (геометрия задачи не зависит от y)

Полагая, что толщина верхнего слоя h ₂ (рис. 1) достаточно велика, можно описать плазмонную моду двухслойной структуры с помощью дисперсионного соотношения для TM-поляризованных мод плоскопараллельного волновода [14, 15]:

tanh ( у 1 h 1 )

YA (£2 Ym + £ m Y2 ) £2£m Y2 + £2 Y2 Ym

где Y 2 = k m ode - k 02 ^£j , ^j = m ^,1,2, k mode — константа распространения плазмонной моды структуры. За счёт выбора диэлектрических проницаемостей £ 1 , £ 2 и толщины h 1 может быть обеспечено совпадение профилей поля падающего ППП и плазмонной моды в структуре при h 1 <  z <  h 1 + h 2 . Совпадение поперечных профилей происходит при выполнении равенства Re{ Y 2 }=Re{ K d }. Если материальные параметры структуры зафиксированы, толщина h 1 может быть аналитически рассчитана из уравнения (1). Однако теоретическое значение может не являться оптимальным с точки зрения подавления рассеяния, поскольку часть энергии ППП переносится вне области h ₁<  z <  h ₁ + h ₂.

В рассмотренных ниже примерах используются следующие параметры, близкие к параметрам примера, рассмотренного в нашей предыдущей работе [11]: длина волны в свободном пространстве % = 800 нм,

£ 1 =-24,06+ 1,51 i соответствует золоту [16,17], £ _d = 1, £ 1 = 1,45², £ 2 =1,7², h 2 = 1,5 мкм. Во всех примерах рассмотрены два значения толщины первого слоя: значение h ₁ =0, соответствующее обычной однослойной структуре, и значение h ₁ =62 нм, обеспечивающее подавление паразитного рассеяния и найденное с помощью оптимизационной процедуры. Последнее значение близко к теоретической оценке h 1 =57 нм, полученной из выражения (1). Отметим, что, поскольку рассматриваемый эффект подавления рассеяния не является резонансным, используемые параметры структуры не являются уникальными и похожее подавление рассеяния может быть получено для различных длин волн и сочетаний материалов структуры при условии, что толщина h ₁ рассчитана из выражения (1) или получена в результате оптимизации, а толщина h ₂ достаточно велика.

Для приведённых параметров нормированные константы распространения k mode / k 0 (эффективные показатели преломления) падающего (и прошедшего) ППП (области 1 и 3), а также плазмонных мод в области 2 при h 1 =0 и h 1 =62 нм составляют n spp = 1,0214 + 0,0014 i , n mode, 0 = 1,8118 + 0,0077 i и n_{mode, 62} = 1,706 + 0,002 i соответственно.

Во всех примерах результаты моделирования для ППП сравниваются с аналитической моделью, описывающей преломление (в случае модельной задачи) или дифракцию (в случае массива микролинз) TE-поляризованной плоской волны (ПВ), в которой в качестве показателей преломления материалов структуры используются нормированные константы распространения плазмонных мод в соответствующих областях. Отметим, что таким образом модель для ПВ учитывает потери на поглощение в металле. Аналогичная модель была использована для расчёта констант распространения плазмонных мод металлических полос [18].

Прохождение ППП через диэлектрическую ступеньку

Рассмотрим в качестве модельной задачи прохождение ППП через однослойную или двухслойную диэлектрическую ступеньку с конечной длиной l (рис. 1). В этом случае соответствующая ПВ-модель – прохождение плоской TE-поляризованной волны через плоскопараллельную пластинку. Численное моделирование для ППП было выполнено с помощью собственной реализации метода фурье-мод (в англоязычной литературе – rigorous coupled-wave analysis , RCWA ) в геометрии конической дифракции [19, 20], адаптированного для решения непериодических задач [21]. Значения коэффициентов отражения и пропускания для ПВ-мо-дели, описывающей преломление плоской волны, были рассчитаны аналитически с помощью стандартных формул Френеля для TE-поляризации.

На рис. 2 показано пропускание T и отражение R ППП и ПВ в зависимости от угла падения 0 и длины ступеньки l (или толщины плоскопараллельной пластинки для ПВ-модели) при h1 =0 (рис. 2a, случай без подавления рассеяния) и при h1 =62 нм (рис. 2б, случай с подавлением рассеяния). Суммарные потери энергии ППП на поглощение в металле и паразитное

быть количественно описаны формулами Френеля для TE-поляризованной плоской электромагнитной волны.

рассеяние в зависимости от угла падения и длины ступеньки показаны на рис. 3.

a) 0     0,5    1,0 1.5

Рис. 2. Сравнение отражения (R) и пропускания (T) ППП при прохождении через диэлектрическую ступеньку и плоской волны, распространяющейся через

плоскопараллельную пластинку, в зависимости от угла падения θ и длины ступеньки (или толщины пластинки) l: h1 = 0 (а), h1 = 62 нм (б)

При h ₁ =0 (рис. 3 а ) среднее (по обоим изменяемым параметрам θ и l ) значение полных потерь (включающих потери на поглощение в металле и на паразитное рассеяние) составляет 0,26, потерь на рассеяние – 0,18. Использование предлагаемого подхода для подавления паразитного рассеяния ППП ( h 1 =62 нм, рис. 3 б ) уменьшает среднее значение полных потерь энергии ППП более чем в 4 раза, до 0,06, средние потери на рассеяние уменьшаются более чем в 10 раз, до 0,015.

При этом средняя разность между пропусканием и отражением ППП с подавлением рассеяния и соответствующей ПВ-моделью (рис. 2 б ) не превышает 0,02. Для сравнения, при h ₁ =0 средняя разность коэффициентов пропускания ППП и ПВ составляет 0,13 (рис. 2 а ). Таким образом, при подавлении рассеяния коэффициенты преломления и отражения ППП могут

®     ППП, L

__________________ l, Л1КЛ1

0     0,5    1,0 1.5

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис. 3. Суммарные потери на поглощение и рассеяние ППП (L) в зависимости от угла падения θ и длины ступеньки l: h1=0 (а), h1=62 (б)

На рис. 4 показаны распределения фазы ППП, прошедшего через диэлектрическую ступеньку, и ПВ, прошедшей через плоскопараллельную пластинку, в зависимости от угла падения θ и длины ступеньки l (или толщины пластинки для ПВ-модели) при h ₁ =0 (рис. 4 а ) и при h ₁ =62 нм (рис. 4 б ).

6) 0     0,5    1,0 1,5 0    0,5    1,0 1,5

Рис. 4. Сравнение фазы ППП, прошедшего через диэлектрическую ступеньку, и фазы ПВ, прошедшей

через плоскопараллельную пластинку, в зависимости от угла падения θ и длины ступеньки (или толщины пластинки) l: h1=0 (а), h1=62 нм (б)

Рис. 4 показывает, что в обоих случаях при углах падения θ <60° фаза ППП близка к фазе ПВ. При этом среднее значение отклонения фазы ППП от соответствующей фазы ПВ во всем диапазоне углов падения составляет 0,04 ( π /70) при h 1 =62 нм, что на порядок меньше, чем при h ₁ =0 (0,25 ≈ π /13).

Отметим, что расхождения между фазой ППП и ПВ в области больших углов падения, особенно хорошо заметные при h 1 =0, обусловлены возбуждением падающим ППП в ступеньке вытекающих плазмонных мод. В этом случае ступенька играет роль т. н. диэлектрического плазмонного волновода (в англоязычной литературе – dielectric-loaded plasmonic waveguide ). Для подтверждения того факта, что возбуждение указанных мод действительно является причиной резонансных особенностей в распределениях фазы

прошедшего ППП, а также коэффициентах пропускания и отражения ППП, на рис. 5 показано распределение интенсивности электрического поля при дифракции ППП на диэлектрической ступеньке (рассчитанное с помощью RCWA) и аналогичное распределение интенсивности собственной моды диэлектрического плазмонного волновода (рассчитанное с помощью коммерческого программного обеспечения COMSOL) в характерной точке l =352 нм, 6 = 84,2° при h 1 =0, в которой наблюдаются резонансные изменения коэффициентов отражения и пропускания и фазы прошедшего ППП. Рассчитанные распределения почти идентичны.

2,0

1,5

1,0

0,5

О

2,0

1.0-

0,5 -

0-- z, MK.M COMSOL

X, Л1КЛ1,

-1  0  1-10  1

Рис. 5. Распределения величины |E_y| ² в диэлектрической ступеньке: дифракция ППП (слева) и собственная мода диэлектрического плазмонного волновода (справа) (негативное изображение) при l = 352 нм, 9=84,2°, h 1 = 0.

Диэлектрическая ступенька и граница раздела металл/диэлектрик показаны пунктирными линиями

Пример плазмонного элемента: массив плосковыпуклых микролинз

Для подтверждения того, что предложенный подход к подавлению рассеяния ППП может быть использован при создании элементов плазмонной оптики, рассмотрим в качестве примера периодический массив плазмонных микролинз, состоящий из плосковыпуклых диэлектрических линз со следующими параметрами: апертура a = 8λ _spp (где λ _spp = k ₀λ /Re{ k_spp } – длина волны падающего ППП, а Re{ t } – действительная часть t ), период массива d = a , фокусное расстояние f = 1,2 a . Для рассматриваемых параметров λ _spp =783 нм, а = 6,26 мкм и f = 7,52 a . Каждая из рефракционных линз, составляющих массив, осуществляет фазовую модуляцию падающего ППП. Профиль линзы x ( y ) был рассчитан из принципа Ферма:

^Re { n mode } x ^{+ R}e { n spp } V У ^{2 +}( ^f - x ) ² = cOnst , ⁽²⁾ где n_mode и n_spp – эффективные показатели преломления плазмонных мод в соответствующих областях (величина n_mode равна n_{mode, 0} или n_{mode, 62} в зависимости от толщины первого слоя h ₁). Константа в правой части выражения (2) была выбрана таким образом, что x (0) = x ( a ) =0.

Как и в предыдущем случае, результаты для моделирования ППП сравниваются с ПВ-моделью. На рис. 6 показаны распределения |Ey|2 для ППП на расстоянии 10 нм над поверхностью металла (рис. 6в, г) на одном периоде массива линз (вдоль оси y) и соответствующие распределения для ПВ-модели (рис. 6а, б). Все распределения поля были рассчитаны с помощью метода фурье-мод. Сложная форма фокальных областей и наличие нескольких локальных максимумов обусловлены перио- дичностью массива вдоль оси y.

V, At KM

Рис. 6. Распределения |Ey|2 в пределах одного периода массивов микролинз для ППП (в, г) и плоской волны (а, б);

h1=0 (а, в) или h1=62 нм (б, г). Линзы отмечены сплошными белыми линиями

Без подавления рассеяния (рис. 6 а , б ) интенсивность в фокусе ППП, нормированная на фокальную интенсивность ПВ-модели, составляет лишь 0,8 из-за потерь на рассеяние. С подавлением рассеяния (рис. 6 б , г ) нормированная интенсивность ППП в фокусе составляет 0,97, что говорит о том, что потери на рассеяние практически полностью устранены. Кроме того, абсолютная величина интенсивности ППП в фокусе увеличивается на 30 % при увеличении h 1 с 0 (рис. 6 в ) до 62 нм (рис. 6 г ). Отметим, что это увеличение интенсивности в основном вызвано подавлением паразитного рассеяния, а не уменьшением потерь на поглощение внутри линзы (хотя последнее также имеет место, поскольку Im{ n mode ,62 } < Im{ n mode ,0 }, где Im{ t } – мнимая часть t ). Действительно, при рассмотрении случая непоглощающего металла интенсивность ППП в фокусе увеличивается более чем на 20 % при добавлении слоя, обеспечивающего подавление рассеяния.

Таким образом, предложенный подход к подавлению рассеяния действительно позволяет увеличивать эффективность плазмонных элементов.

Заключение

В настоящей работе показано, что двухслойная диэлектрическая структура из изотропных материалов может быть использована для подавления паразитного рассеяния ППП при произвольном угле падения. Средние потери на рассеяние снижаются на порядок, до 1,5 %. При подавлении рассеяния преломление и фазовая модуляция ППП могут быть в большинстве случаев точно описаны аналитической моделью, основанной на формулах Френеля. В качестве примера плазмонного элемента рассмотрен массив плосковыпуклых линз. Предложенный подход может также быть использован для создания других плазмонных элементов, в частности, рефлекторов, плазмонных кристаллов и резонаторов плазмонных лазеров.

Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (РНФ) 14-19-00796.