Фокусные образы гиперповерхности типа 2 с двумерными плоскими образующими в шестимерном проективном пространстве

Пусть X ( d , a ) – плоскостная поверхность, образованная a -параметрическим семейством L ( a ) d -мерных плоскостей L в N -мерном проективном пространстве P_N ( d + a <  N ). Обозначим через TX ( d , a ) касательную ( d + a )-плоскость к поверхности X ( d , a ) в точке X и рассмотрим пересечение таких плоскостей во всех неособых точках образующей L . В общем случае такое пересечение совпадает с плоскостью L , а в случае, когда X ( d , a ) – тангенциально вырожденная поверхность ранга a [1] , это пересечение будет ( d + a )-мерно, так как касательные плоскости TX ( d , a ) будут одинаковыми во всех точках X с L . Если же плоскости TX ( d , a ) пересекутся по ( d + о )-мерной плоскости l_{d +о} ( L ) ( 1 - о - a - 1 ), то поверхность X ( d , a ) называется поверхностью типа о [2] и обозначается _o V_{d + a} . Плоскость l_{d +о} ( L ) называется ассоциированной с L плоскостью.

В данной статье изучаются свойства гиперповерхностей типа 2 в P ₆ с двумерными образующими L .

Строение фокусной линии образующей

Присоединим к семейству L(3) , описывающему в P6 гиперповерхность X(2, 3) , подвижной репер {AI} (I, J, K = 0, 1, ..., 6) так, что L = (A0, A1, A2). Деривационные формулы репера {AI} имеют вид dAI = ^JAJ, где линейные дифференциальные формы tyJ удовлетворяют уравнению структуры DyJJ = yKл Ук и соотношению ^ yI. Условие не-I=0

подвижности плоскости L семейства L(3) записывается в виде yf = 0 (г = 0, 1, 2; p = 3, 4, 5, 6). Поэтому формы yf будут зависеть только от дифференциалов параметров семейства L(3) , то есть будут главными. Считая точку A0 с L неособой на поверхности X(2,3), выберем среди форм Уf три линейно независимые формы следующим образом: 61 = У0, 6; = У4, 63 = У0. Эти формы будем считать базисными формами семейства L(3) . Тогда yp = ав, a0*’ = 5,                            (1)

где к , п = 1, 2, 3; i = 0, 1, 2; p = 3, 4, 5, 6.

Можно доказать, что для того чтобы семейство L (3) описывало поверхность типа 2, необходимо и достаточно, чтобы с помощью подходящей специализации репера коэффициенты а Т ( г = 0, 1, 2; т = 1, 2; s = 5, 6) уравнений (1) могли быть приведены к нулю. Геометрически это означает, что если поверхность ₂ V , _{+ 3} отнесена к подвижному реперу { A I } так, что L = ( A 0 , A 1 , A 2 ) , l ₄( L ) = ( L , A ₃, A ₄) и базисные формы в ( к = 1, 2, 3) семейства L (3) выбраны так, как указано выше, то форма 6 определяет инвариантное для поверхности ₂ V _{2 + 3} распределение А ₂ , интегральные 1-семейства L ( у 1 ) которого касаются соответствующих ассоциированных плоскостей l ₄ ( L ) .

Однопараметрическое подсемейство L ( у 1 ) семейства L (3) называется фокальным, если при смещении плоскости L вдоль этого 1-подсемейства две бесконечно близкие плоскости L и L * dL имеют непустое пересечение. Это пересечение называется фокусом или характеристикой плоскости относительно подсемейства L ( у , ) и обозначается ChL ( у 1 ) . Совокупность всех фокусов плоскости L называется фокусной линией плоскости L .

Теорема 1 . Фокусная линия образующей L поверхности ₂ V _{2 + 3} состоит из коники S ² и точки F , причём в общем случае F t S ² .

Доказательство. Зададим однопараметрическое подсемейство L ( у 1 ) семейства L (3) системой в = ^6 . Так как дифференциал точки X = XAj имеет вид dX = (...) A i * x^l y f A_p , то, если подсемейство L ( у 1 ) будет фокальным, уравнение его характеристики ChL ( у 1 ) должно иметь вид:

Xtf = 0, x^p = 0 .                             (2)

Если рассматривать систему (2) как систему уравнений относительно неизвестных 2 ^к , то для того чтобы она имела ненулевое решение относительно 2^к , необходимо и достаточно, чтобы Rang || x^la p || = 2 . С учётом того, что в выбранном репере а Т = 0 , данное условие может быть выполнено только в двух случаях: 1) Det || x^lа Т || = 0 ( r = 3, 4); 2) X а^ = 0 . Первое уравнение задаёт в плоскости L конику S ² , а система x^l а^ = 0 - точку F . Нетрудно показать, что в общем случае F t S ² . Теорема доказана.

Теорема 2 . Если F t S ² , то каждая точка X е S ² является характеристикой 1-подсемейства L( у Х ) семейства L (3) , интегрального для распределения А ₂ , а точка F -характеристика подсемейства L ( ф 1 ) , не интегрального для распределения А ₂ .

Доказательство. Пусть точка X = x^l A i лежит на конике S ² . Уравнение 1-подсемейства L( у 1 ) , для которого X - фокус, находим из системы (2). Так как F t S ² , то X Ф F и, сле-120

довательно, x‘a 5 * 0 или x i a ^ * 0 . Поэтому из (2) следует, что вдоль подсемейства L( у ) / 2 = 0 , то есть подсемейство L( у ) является интегральным для распределения А ₂ .

Найдём теперь уравнение 1-подсемейства L( ф 1 ) , для которого точка F - фокус. Поместим вершину A 2 подвижного репера { A I } в точку F . Тогда a 2g = a 2g = 0 , a ^ - a^ a 6g * 0

и уравнения (2), задающие 1-подсемейство L ( ф 1 ) , примут вид a 2 _кЛ^к = 0 ( r = 3, 4; к = 1, 2, 3). Из этих уравнений находим уравнения подсемейства L ( ф 1 ) . Так как по условию теоре-

2         3 4

мы F 6 S , то a 21 a 22

-

a

g

22 a 2 ⁴ 1

= 0 и вдоль подсемейства L ( ф 1 )

/ 2 * 0 . Следовательно,

подсемейство L ( ф 1 ) не является интегральным для распределения А ₂ . Теорема доказана.

Точки фокусной линии являются особыми точками поверхности ₂ V _{2 + 3} . Следующая теорема выясняет вид касательной плоскости к поверхности ₂ V _{2 + 3} в этих точках.

Теорема 3 . Касательная плоскость к поверхности ₂ V , _{+ 3} в любой точке X фокусной линии образующей L будет четырёхмерной. Она совпадает с ассоциированной плоскостью l ₄ ( L ) тогда и только тогда, когда X = F .

Доказательство. Пусть X = x i A i - произвольная точка плоскости L . Касательная плоскость TX (2,3) к поверхности ₂ V , _{+ 3} в точке X имеет вид

TX (2,3) = ( L , x i a r A r , xa^A r , xa p_g A_p ) ,                       (3)

где i = 0, 1, 2; r = 3, 4; p = 3, 4, 5, 6. Размерность TX(2,3) зависит от ранга матрицы || xiaiК ||. Так как в выбранном нами репере aiT = 0, то ранг этой матрицы будет понижаться до значения 2 только в случаях, когда Det || xi ariT ||= 0 или xia^ = 0, то есть в точках фокус -ной линии плоскости L .

Если X е S ² , то X * F и x i a i ⁵ * 0 или x i a i ^ * 0 . Следовательно, в точке X 4-плоскость TX (2,3) не совпадает с плоскостью l ₄( L ) . Если же X = F , то x i a i ^ = 0 ( s = 5, 6) и, как это видно из (3), TX (2,3) = l ₄( L ) . Теорема доказана.

Теорема 4 . Для любой фиксированной прямой L 1 , проходящей через F с L и лежащей в плоскости L , касательная 5-плоскость TX (2, 3) одна и та же во всех неособых точках X прямой L ₁ .

Доказательство. Поместим вершину A2 подвижного репера {AI } в точку F . Тогда a23 = a63 = 0, a^ - a^ a63 * 0 . Пусть L1 = (A2, y0 A0 + y1A1) - произвольная прямая, проходящая через точку F = A2 и лежащая в L . Тогда любую неособую точку X с L можно представить в виде

X = x ² A ₂ + 1 ( y ⁰ A y + y ¹ A J, t * 0 .

Так как вдоль координатного 1-подсемейства У ¹ = У ² = 0

dX = (...) Ai + (...) Ar + [ x2 a 2 3 +1 (y0 a 0 3 + y1 a^ 3)] As, то в силу условий a253 = a263 = 0 касательная плоскость TX (2, 3) в любой неособой точке X прямой L1 имеет вид TX(2,3) = (14,(y0a03 + y1 ass3)As и не зависит от выбора точки X на прямой L1 . Теорема доказана.

Особый интерес представляет случай, когда t r = a - 1 , то есть рассматриваются гиперповерхности указанного типа.

Заключение

Проведённое исследование показывает, что гиперповерхность ₂ V _{2 + 3} в P ₆ является тангенциально вырожденной поверхностью ранга 4 специального вида: её прямолинейные образующие принадлежат плоским пучкам. Такой класс тангенциально вырожденных поверхностей ранее не изучался. Дальнейшие исследования автора будут посвящены рассмотрению фокусных образов ассоциированного семейства l ₄( L ) , инвариантно связанного с семейством L (3) , а также обобщению полученных результатов на плоскостные поверхности максимального типа в P_N .