Формальная схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных металлов

В предположении, что ориентация зерен в поликристалле равновероятна и поликристалл, как любое изотропное тело, характеризуется двумя упругими константами, задача об определении эффективных упругих свойств была решена сначала Фойгтом [1] путем усреднения матрицы упругих модулей кристалла, а затем Ройсом [2] из усреднения матрицы коэффициентов податливости. Более детальное рассмотрение, выполненное Хиллом [3], показало, что эти усреднения соответствуют предположениям об однородности деформаций в поликристалле в первом случае, и однородности напряжений – во втором, а получаемые значения объемного модуля и модуля сдвига поликристалла дают верхнюю и нижнюю вариационные границы для его эффективных свойств. Им же было предложено определять эффективные упругие характеристики как среднее арифметическое значений, получаемых в приближениях Фойгта и Ройса. Дальнейшее исследование проходило по пути отыскания эффективных упругих характеристик квазиизотропных поликристаллов в рамках тех или иных упрощающих гипотез.

Простой метод усреднения на базе равенства определителей матриц модулей упругости монокристалла и поликристалла был предложен Александровым [4], независимо от него Пересадой [5]. В дальнейшем Александровым и Айзенбергом [6], на примере тензорных свойств второго ранга, была отмечена связь этого способа усреднения с усреднением логарифмов собственных значений соответствующих матриц. Это обстоятельство имело в дальнейшем определяющее значение для развития теории.

Значительно более сложной, чем вычисление упругих свойств квазиизотропных поликристаллов, является задача их вычисления, когда имеется преимущественная ориентация зерен в пространстве – текстура, и в силу этого поликристалл начинает вести себя как анизотропное тело. Методы вычисления упругих характеристик текстурированных поликристаллов развивались по мере совершенствования экспериментальных методов исследования текстуры и ее количественного описания.

Методы количественного текстурного анализа для расчета эффективных упругих свойств поликристаллов в приближениях Фойгта, Ройса и Хилла применялись различными авторами [7,8]. Попытка обобщения метода расчета эффективных упругих характеристик Александрова – Пересады на текстурированные материалы была предпринята Моравиком [9], Матхизом и Гамбертом [10]. Моравиком был предложен алгоритм решения, основанный на свойствах логарифмической тензорной функции, который был реализован им только в случае квазиизотропного материала. Матхизом и

Гамбертом дана численная реализация этого алгоритма на примере некоторых текстурированных поликристаллов, не допускающая аналитической формы записи окончательного решения.

В предлагаемой работе дается аналитическое обобщение метода Александрова – Пересады на примере текстурированных поликристаллов, основанное на алгебраических методах описания их упругих свойств.

Обобщенный закон Гука как линейное преобразование

Как было показано Рыхлевским [11], обобщенный закон Гука может рассматриваться как линейное преобразование пространства симметричных тензоров второго ранга в себя:

□ = C£ ,

или £ = S □ ,

здесь C - линейный оператор упругости, S = C ¹ - обратный оператор.

В шестимерном пространстве симметричных тензоров особую роль имеют тензоры, удовлетворяющие уравнениям

C to = X to, или

Как и в векторных пространствах, в

S to= — to.

X пространстве симметричных тензоров

I II VI второго ранга существует такой ортонормированнын базис to , to ,..., to

0 K * L

1 K = L ^,

toK • toL = toKtoL   Ь,= )

ij ij KL в котором тензоры напряжений и деформаций представимы в виде

□ = □ to I + □ 2 to II +. к + ^6 toVI ,

£ = £1 to I + £2 to II

VI

+ ... + £6 to .

Элементы тензорного базиса to ^K ( K = I,II,...,VI ) соответствуют различным напряженно-деформированным состояниям (собственные упругие состояния).

Тензор четвертого ранга модулей упругости c , поставленный в соответствие линейному оператору C , записывается следующим спектральным разложением:

с = X, to I ®to I +X~ to II ®to II +... + X. toVI 8 to VI,(2)

аналогично для тензора коэффициентов податливости s = c ¹

s = (X1) 1 to I ®to I +(X 2 ) 1 to II ®to II +... + (X 6 ) 1 toVI ®toVI,(3)

здесь

K K     KK

(to ® to )ijmn = to ij to mn .

Параметры XK (K = 1,2,...,6) есть собственные значения линейного оператора C. Эти параметры определяются модулями упругости анизотропного тела и названы Рыхлевским истинными модулями жесткости, а с учетом комментария, данного в работе [11], их уместно назвать модулями Кельвина – Рыхлевского. Модули Кельвина – Рыхлевского являются корнями уравнения шестой степени det ( ~kl-X5 kl ) = 0 (K, L = 1,...,6), где

~ KL = to ^K • c • to ^L .

Не следует путать величины с^~_KL [12] с элементами матрицы модулей упругости c_kl в обозначениях Фойгта.

Формальная схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных поликристаллов

В рамках модели Фойгта и модели Ройса эффективные упругие характеристики находятся путем осреднения тензоров модулей упругости и коэффициентов податливости по множеству ориентаций зерен в поликристалле:

c^V = 0, sR = 0

или с учетом разложений (2) и (3):

CV = X1 (Q) -(to I ®to I )+X 2 (Q) -(to II ®ю II )+ ... + X 6 (Q) - (toVI ®®VI ),        (4)s R = (Xi j-1 (Q) - (toI ®toI )+ (x2 j-1 (Q) - (toII ®toII )+. к + (x6) 1 (Q) - (toVI ®toVI).

Здесь

((Q\ -(to K ® to K)).. = QqQ           toKK toK, ijmn ip jq mr ns pq rs , где Qip – элементы матрицы перехода при повороте кристаллографической системы координат случайным образом ориентированного зерна до совмещения ее с осями лабораторной системы координат, ... – операция осреднения по множеству ориентаций зерен в поликристалле, Лк — модули Кельвина - Рыхлевского зерен.

С другой стороны, тензоры c^V и s^R могут быть представлены спектральными разложениями по элементам тензорного базиса макросимметрии to K :

у у ~1 „~1 ,7-11,-11 у ут-У!

с = Xi to ®to + X2 to ®to +... + X6 to ®to ,                 (5)

s = IX 1 I to ®to + IX 2 I to ®to +... + IX 6 I toV ®toV .

Сравнивая разложения (4) и (5) и используя условие ортогональности (1), находим модули Кельвина – Рыхлевского в приближении Фойгта:

XVK = X1 (toK ® toK У (Q) - (to1 ®toI )+

+ X 2 ^ to ^K ® to ^K | - (Q)- ( to II ® to II ) + к. + X 6 ^ to ^K ® to ^K | - (Q)- ( to ^VI ® to ^VI ) .

Аналогично в приближении Ройса

^XRK | 1 =(X1 )-1 ^toK ® toK У (Q) - (toI ®toI )+

+ (x2 j"1 ^toK ® toK j- (Q) - (toII ®toII )+ . + (x6 j-1 ^toK ® toK |- (Q) - (toVI ®toVI), или

^X VK = pKI ^X 1 ^{+ p}KII ^X 2 ⁺ ... ^{+ p}KVI ^X 6 ,

(xRK ) = pKl (X1) + PKII(X 2 ) +...+ pKVI(X 6 )

где

PKL = (toK ®toK )- (Q) - (toL ®toL ), при этом                 pKI + pKII +... + pKVI —1.

Таким образом, модули Кельвина – Рыхлевского в приближениях Фойгта и Ройса находятся как частный случай взвешенного степенного среднего значения соответствующих модулей кристаллитов,

)

^X K "( pKI ^X 1 ⁺ pKII ^X 2 ⁺ ... ⁺ pKVI ^X 6 )    .

При a — 1 имеем средние значения, вычисленные по схеме Фойгта, при a — -1 -средние значения по схеме Ройса. При a > 0 степенное среднее стремится к геометрическому среднему, pppppp

KI KII KIII KIV KV KVI

/V — / v 1    /V 2 /V з /V 4 /V 5 /V 6    .

что является обобщением метода Александрова – Пересады на текстурированные материалы.

Соотношение (6) с формальной точки зрения исчерпывающим образом решает задачу об усреднении упругих характеристик текстурированных материалов. Переход к тензорным обозначениям осуществляется на основании формул (2) и (3).

Модули упругости текстурированных поликристаллов кубической симметрии

Элементы базиса (1) микро- и макросимметрии соответствуют одному напряженному состоянию всестороннего сжатия и пяти напряженным состояниям чистых сдвигов. Базис макросимметрии не зависит от способа усреднения и определяется лишь параметрами текстуры поликристалла [13]:

^A , — Qilok + Q202 + 023е, ² ) ( i — 1.2.3 ) ■

Модули Кельвина – Рыхлевского кубического кристалла выражаются через модули упругости в матричных обозначениях Фойгта равенствами

X 1 — Сц + 2 С и — 3 K .     X 2 — X з — Сц C 12 . X 4 — X 5 — X 6 — 2 C 44 .

где K - объемный модуль упругости.

Модули Кельвина – Рыхлевского поликристалла определяются на основании равенства (6):

X^— X 1.

X ⁽2 3 — X ₂ ^{( 1} - 3 ^A 1^+Л 2 ^-Л 3 ^{+ 2} p 2 , 3 ( ^A 2 ^-A 3 ) ) X 4 ⁽ 3 ^A 1 ^-A 2 ^+A 3 ^{- 2} p 2 , 3 ( ^A 2 ^-A 3 ) ) .

X^ ) — X 2 ⁽ 2 ^A 2 ^{+ 2 A} 3 - ^{2 A} 1 ) X 4 ^{( 1 -( 2 A} 2 ^{+ 2 A} 3 ^{- 2 A} 1 )) .

X 5^{0 )} — X 2 ⁽ 2 ^A 3 ^{+ 2 A} 1 - ^{2 A} 2 ) X 4 ( ^{1 -} ( ^{2 A} 3 ^{+ 2 A} 1 - ^{2 A} 2 )) .

X *^) — X₀ ( ^{2 A} 1 ^{+ 2 A} 2 - ^{2 A} 3 ⁾ X_/I ( ^{1 -} ( ^{2 A} 1 ^{+ 2 A} 2 - ^{2 A} 3 )),

62      4

где p _{2 3}

— k ± V k ² + k + 1. k — ^A 1 ^{A 2} .

A 2-A 3

Некоторые результаты, вытекающие из этих соотношений, были получены ранее другими методами. Так, решение Александрова [4] для квазиизотропного материала получается при

^A 1 ^{— A} 2 ^{— A} 3 ^— ₅ ,

k — 0. Для сдвиговых модулей ортотропного

поликристалла обобщение этого решения получено в работе [14]. В случае аксиальных текстур решение приведено в работе [15], а для частного случая при А, = А~ = —,

1    24

A 3 = 0 это решение является точным [16].