Формирование инвариантов при визуализации векторных полей на основе построения оператора гомотопии

При распознавании образов векторных полей алгоритм определения инвариантов этих векторных полей имеет практическое значение [1, 2]. В работе [2] рассматриваются инварианты векторных полей, определяемых интегральными кривыми динамических систем, по отношению к действию специальной аффинной группы преобразований. В работе [3] рассмотрен метод построения функции трёхмерного изображения, инвариантной к действию групп вращения и переноса. В работах [4, 5] предложен метод построения инвариантов векторных полей, основанный на декомпозиции Ходжа–Гельмгольца [6] на потенциальное и соленоидальное векторные поля. Однако при размерности многообразия векторного поля n ≥3 декомпозиция Ходжа–Гельмгольца некорректна.

Цель настоящей работы – построение алгоритмов декомпозиции векторного поля гладкой динамической системы f ( x ) e R n ; x e R n при n >3. Для достижения цели в работе решена задача построения потенциальной и соленоидальной компонент векторного поля формированием оператора гомотопии для дифференциальной формы, соответствующей векторному полю f ( x ). Для компонент декомпозиции векторного поля могут быть построены инварианты, используемые при распознавания образов векторных полей.

• 1.    Декомпозиция векторного поля динамической системы

Для решения задачи визуализации векторного поля X = f ( x ) dd _x динамической системы:

x = f ( x ) ; x e R n ; f ( x ) e R n ;

f ( 0 ) = 0

декомпозируем X на потенциальную и векторную компоненты [4, 5]. Для этого сформируем дифференциальную форму to = f (x) dx, соответствующую векторному полю X . Пусть в евклидовом пространстве с координатами x1,^, xn e R n и метрическим тензором gj( x ) = gj( x) = 5 ij задано векторное поле

n to = ^toidxi имеем toi = fi /^[gi , следовательно, i=1

n to = 2 fdxi [7].

i =1

В отличие от методов визуализации, предложенных в работах [4, 5], построим скалярный потенциал из векторного поля X с применением оператора гомотопии с центром в точке x ₀ = 0 для формы to = f ( x ) d x (см. приложение 1):

H(to)=fi 8/ to(Xx)dX = fxTf (Xx)-dX .

о •0

Оператор гомотопии H удовлетворяет тождеству: to = dHto + Hdto . Первый член разложения является Г1

точной формой to = d(Hto) = dI JxTf(Xx)-dX I, сле-l J0J довательно, является замкнутой формой: dtoe = d(d(Hto)) = 0. Если считать ф(x) = Hto(x) скалярным потенциалом, то потенциальное векторное поле фХ (d / dx) является дуальным форме: toe = d ( Hto ) = фХdx .

Второй член разложения – ω _a – является анти-точной формой (по терминологии [8]) to a = to - to e = to - d ( Hto ) = H d to , причём:

Hto a = H ( H d to ) = 0.

Из тождества to = d Hto + H d to = to _e + to _a следует, что d to = d to a , так как dd to = 0. Поэтому антиточная форма ω _a инвариантна по отношению к преобразованию:

to ^ to + HQ; VQ e Л2.

В случае, когда размерность евклидового пространства R n чётная, можно сформировать абсолютный инвариант по отношению к преобразованию (3):

I a = f ( d to ) ^n/■ = f ( d to a ) n ² e R ,                    (4)

MM

n v = E . Для i=1 dXi

соответствующей 1-формы

который является количественной характеристикой антиточной формы на многообразии M e Rn. Вели-

чина I _a не зависит от выбора точной части ω _e , поэтому является инвариантной по отношению к калибровке ω _e .

В случае, когда размерность евклидового пространства R ⁿ нечётная, можно сформировать относительный инвариант по отношению к преобразованию (3):

f , x n-1/ Г , X n-1/

Ia = J * (d*) Z2 = J * a (d* a ) e R , sma так как в соответствии с теоремой Стокса

J *(d*)k1 = J d[w(dw)k1J = J d*a (d*a)k1 = J (d*a)k smm    mm получаем абсолютный инвариант в чётномерном пространстве.

Пример 1 . Рассмотрим уравнение осциллятора: x = x 2 ; x 2 = - x 1 , для которого построим форму

части ω _a , поэтому является инвариантной по отно-

шению к калибровке ω _a . В качестве многообразия M можно выбрать многообразие, границей которого S M является эквипотенциальная гиперповерхность

ф ( x 1 > — > x_n ) = H* ( x 1 , ^ , x_n ) = const.

Пример  2. Для динамической системы x = x 2 + x1; x2 = - x1 + x 2      построим форму

* = * a = x ₂d x 1 - x 1 d x 2 ; d * = dd x 1 л d x ₂; на многообразии M = { x e R ²1 | x |²<  1 } . Тогда значение абсо-

лютного инварианта:

I a = J ( d * ) = J ( 2d x 1 л d x 2 ) = 2 n .

M

M

Если к форме прибавить точную компоненту:

. Г x 2 + x ₂ ² )

* = x ₂d x 1 - x 1 d x ₂ ^ * + d I —2— I =

* = ( x ₂ + x 1 ) d x 1 + ( - x 1 + x ₂ ) d x ₂ = * a + * _e , причём

ГI

*_e = d ( H * ) = dI jx T f ( X x ) • dX I =

V0J

| x + x2 |       -,

= dI ' 2 2 I = x - d x ¹ + x 2 d x ², откуда потенциал следует выбрать в форме:

, A x 2 + x22

Ф x , x₂ = —¹----- и X„ = x , — + x₂ ---; V • X„ = 2.

12                  e 1        2

x1

Построим многообразие M , ограниченное границей S M , которая определяется эквипотенциаль- x 2 + x¹ ной поверхностью ф ( x 1 , x ₂ ) = ¹ 2 ² = C .

В соответствии с правой частью теоремы Гаус-са–Остроградского:

I e = J ( V^ X _e ) d V = 2 J d V = 2 n r ² = 4 n C .

M

M

= x 2dx 1 - x1dx 2 + x1dx1 + x 2dx 2, что соответствует ДС: x = x2 + x1; x2 =-x1 + x2, то значение интеграла не изменится.

Для многообразия M границей является: S M = { x e R ²1 | x |² = 1 } . Для нахождения относительного инварианта проведём замену координат: x 1 = r cos 9 ; x ₂ = r sin 9 , причём на границе многообразия r = 1: S M = { r , 9 1 r = 1, 9e [ 0...2 n ] } . Тогда

* = r d 9 = d 9 и значение относительного инварианта:

I_a = J * ( d * ) k ^{- 1} = J * = J d 9 = 2 ne R . □      (7)

s m               s m     0

Из тождества * = d H* + H d * = * e + * _a следует, что H* = H* _e , так как HH* = 0 . Поэтому точная форма ω _e инвариантна по отношению к калибровке * ^ * + d a ; Va e Л ⁰ ( x ) .

В соответствии с теоремой Гаусса– Остроградского на компактном (замкнутом) односвязном многообразии M e R ⁿ :

I e = J^ X e ) d V m = J f e , n) d V , m € R ,        (8)

M              aM где d VM - элемент объёма многообразия M , dV,M -элемент объёма границы многообразия SM , n -внешний вектор нормали к границе SM , Xe - векторное поле, соответствующее точной компоненте ω e . Величина Ie не зависит от выбора антиточной

В соответствии с левой частью теоремы Гаусса–

Остроградского: I e = J f e , n d V , _M . Границей явля-

SM ется окружность x2 + x2 = 2C . Проведём замену координат: x1 = r cos 9; x2 = r sin 9, причём r = V2C .

Тогда: f e = ( r cos 9 r sin 9 ) ;

d V _{S M} = r d 9 ; n = ( cos 9 sin 9 ) , откуда:

2n

I e = J (( r cos 9 r sin 9 ) , ( cos 9 sin 9 )^ r d 9 = 0

= 4 n C . □

Рассмотрим пример построения абсолютного инварианта методом построения оператора гомотопии для векторного поля нелинейной динамической системы.

Пример 3. Рассмотрим нелинейную динамическую систему x1 = x2 + 0,1 • x3; xc2 = -x1 + 0,1 • x3 с век- торным полем:

X = (x ₂ + 0,1 • x ³) + (- x , + 0,1 • x ³)----,

^{V 2          1 !} xx 1 ^{V 1           2)} S x ₂

для которого построим соответствующую форму:

* = ( x ₂ + 0,1 • x 3 ) d x 1 + ( - x 1 + 0,1 • x 2 ) d x ₂.

Точная компонента to e может быть найдена применением оператора гомотопии:

*_е = d ( H * ) = d | 1 x ^T f ( X x ) • d X | =

V 0 J r 0,1 x4 + 0,1 x211        3,          2j

= d I------------ I = 0,1 x1 dx 1 + 0,1 x 2dx 2, откуда найдём потенциал ф(x1,x2 ) = 0,025(x4 + x4) и

векторное поле, соответствующее точной компоненте:

X„ = 0,1 - x ,³ — + 0,1 - x 3' —;      V- X„ = 0,3( x .² + x 2^:) .

e      1         2              e      12

x ₁             x ₂

Тангенциальное векторное поле системы f t ( x ) можно представить в форме:

f t ( x ) = A - x - f g ( x ) = Jx .

Применим оператор внешнего дифференцирова-

Векторное поле, соответствующее антиточной компо-d d __ ненте: X„ = X - X, = x.--x,---. Значение абсо- a                e21

dxdx лютного инварианта на многообразии

ния (exterior differentiation) для формы ω doR = d ((Rx) dx) = 0, и для формы ю

R:

J:

M = { x e R2| |x|2 < 1}: Ia

= J ( d o ) = 2п (см.(6))

M

. □

Основным результатом первого раздела является алгоритм нахождения инварианта антиточной компоненты дифференциальной формы: абсолютного – (4) и относительного – (5), а также инварианта точной компоненты дифференциальной формы – (8).

2. Декомпозиция векторного полядинамической системы x = A (x)- x

В приложении 2 показано, что гладкая динамическая система x = f ( x ) ; f ( 0 ) = 0 может быть представлена в форме x = A ( x ) - x . В свою очередь, правая часть выражения A ( x )∙ x может быть декомпозирована в форме [9]:

A ( x ) - x = ( J ( x ) + R ( x ) ) - x , (9) где J ( x ) =0,5∙( A ( x )– A ( x )^T) – кососимметрическая компонента матрицы A ( x ); R ( x ) =0,5∙( A ( x )+ A ( x )^T) – симметрическая компонента матрицы.

Для векторных полей J ( x ) x ( d / d x ) и R ( x ) x ( d / d x ) построим соответствующие дифференциальные формы в дуальном базисе: O j = ( J ( x ) x ) d x и O r = ( R ( x ) x ) d x .

Пусть A ( x )= A . Применим оператор гомотопии для формы ω_J :

H ( o J ( x ) ) = H ( ( Jx ) d x ) =

= J iX ((JXx) dx) dX = J xT JXxdX = 0.

Применив оператор гомотопии для формы o _r, получим скалярную потенциальную функцию ф ( x ) :

Ф(x) = H(oR (x)) = H((Rx) dx) =

= J iX ((RXx) dx) dX = J

x T R X x d X = — x T Rx .

Так как H ( o J ( x ) ) = 0, то

Н(ЮА ( x )) = H(OR ( x )) = Ф ( x ) .

Следовательно, потенциальное векторное поле системы:

f ₌ *. ( x ))/^ ^xV Rx .      (1₂₎

g            / d x       / d x                ^v '

nn doJ = d ((Jx) dx) = ^ ^ Jj dxi л xj = do A .

i =1 j =1

Компо-

нентам разложения: ю = d Ho + H d o = ю e + ю a мож-

но

сопоставить:

^{( O} A ) e

= o_R = ( Rx ) d x ;

(юа )a = oj =(Jx)dx .

Пример 4 . Рассмотрим

пример

декомпозиции

линейной системы: x = A - x ;

метрическая компонента

R = 0,5 -(A + AT ) =

' 5 3 5 A

3 7 7

V ^{5 7 9} 7

;

A =

V6

4 A

6 . Сим

9 7

матрицы A :

кососимметрическая

компонента: J = 0,5 - ( A - A ^T ) =

: 1

-1

-1

.

Применим оператор гомотопии к

0 7

симметриче-

ской части дуальной дифференциальной формы и получим скалярный потенциал:

Ф (x) = H(oR (x)) = J i ±

0 ^x 3 x

1 T = —x	2 5 3	3 7	5 A 7	x
2
	V 5	7	97

V

v

A

Q

9 7

X x d x

dX =

= ^H ( ^O A ( ^x ) ) .

Следовательно, потенциальное	векторное поле
2 5 3	5 A
дф (x) системы: f =     7= Rx = 3 7	7 x ; а танген-
g     d x
15 7	Q 9 7
циальное     векторное     поле     системы:
Г 0 -1	-1A
f t = f - f g = ( A-R ) x = Jx = 1 0	-1 x . □
V1 1	07

Заключение

Рассмотрен метод декомпозиции векторного поля динамической системы на основе построения оператора гомотопии. Построены инварианты для компонент декомпозиции векторного поля. Алгоритм формирования инвариантов используется при распознавании образов векторных полей. Предполагается распространение метода декомпозиции для векторного поля на аффинных и евклидовых группах.

Приложение 1.Метод оператора гомотопии [8]

Обозначим элементы тангенциального векторного пространства в точке x е R n :

X (x ) = Ё fi (x k-(x); fе R; i=1           8xi элементы котангенциального пространства (дифференциальные формы): m (x) = \ mi (x)dxi,mi е R . i=1

Для дифференциальных форм можно ввести дифференциальный оператор d со свойствами:

• ( i )    d ( ю ¹ + m 2 ) = d m ¹ + d m ² ;

• ( ii )    d ф = m ( x ) = ддФ d x i ; ( --- ) d ( d m ) = 0,

и оператор внутреннего произведения (interior product): ( i _xm ) ( X_p ^ , X p ₄) = m ( X , X_p ^ , X p ₄) ;

для случая k = deg ( m ) = 1: i _Xm = m ( X ) .

Согласно лемме Пуанкаре – если локальная область U е M стягивается в точку и форма m - замкнутая, то существует такая форма а в U , что m = d a . Получение формы а по значениям формы ω может быть основано на построении оператора гомотопии H : Л ^k ^ Л ^{k -1} , действующего на форму m : ( H m )( x ) = J i ₈ m ( X x ) -X ^{k - 1} d X ; k = deg ( m ) .

• 0 ( x i ^- x i

При k = 1; x ⁰ ^ 0: ( Hm )( x ) = J i _8/ m ( X x ) d X .

• 0 x'^⁸x -

• Свойства оператора гомотопии: (i) dH + Hd = I; (ii) (H(Hm))(xi) = 0;(Hm)(xi0) = 0 ; (iii) i s/ H = 0.

i /8 x i

Первый член разложения формы m = d ( Hm ) + H d m - точная форма m e = d ( Hm ) является замкнутой; форма m a = H d m является антиточной. Для случая m = d ф получим: ( H d ф )( x ) = ф ( x ) -ф ( x ₀ ) .

Приложение 2

Метод приведения к форме x = A ( x ) • x . В работе [10] представлен точный метод приведения гладкой динамической системы: x = f ( x ) ; f ( 0 ) = 0 ; x , f ( x ) e R n ; к форме x = A ( x ) • x ; A ( x ) e R n ^x n :

• f    ₂Y*

A = (aj); ay(x)=|Exk I fi(x)xr\lxll*0. ВыборV. k=1 У матрицы A не является однозначным; так замена my-ф(x)xk; mk +ф(x)xj не меняет формы представления.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 10-07-00032 и № 11-08-01349).