Формирование инвестиционного портфеля частного инвестора на основе теории сожалений

Основной предпосылкой многих экономических моделей является идея о том, что действия экономических агентов рациональны. Обычно о рациональности говорят с точки зрения теории ожидаемой полезности, которая определяется небольшим числом аксиом, сформулированных в работах фон Неймана и Моргенштерна [1, 2].

Однако действия агентов часто нерациональны и нарушают их. Каннеман и Тверски в своей работе приводят эмпирический пример подобных нарушений [4].

Теория сожалений, разработанная с целью объяснения установленных ранее фактов, нашла довольно широкое применение при описании процессов формирования различных инвестиционных портфелей. Например, Мишено и Солник [6] применили эту теорию при описании инвестиционного выбора при оперировании с валютными активами. Моэрман, Митчелл и Фолькман использовали её для описания выбора оптимального пенсионного плана [7]. Вагнер при помощи данной теории построил эффективное множество инвестиционных портфелей, но его подход кажется авторам излишне сложным [8]. В данной статье авторы предлагают максимально близкий к исходной теории способ описания искажений при формировании инвестиционного портфеля с минимальным количеством дополнительных предположений. Следует отметить, что Голье и Са-ланье получили похожие результаты, но в своей работе они основывались не на теории сожалений, а на теории Эрроу–Дебре [3].

• I.    Теория сожалений

  Теория сожалений была предложена Лумесом и Сагденом в 1982 году [5]. В целом она строится на схожих предположениях с теорией ожидаемой полезности, и, с одной стороны, её можно рассматривать как расширение данной теории. Тем самым теорию сожалений корректно применять тогда, когда корректно применять теорию ожидаемой полезности.

Предположим, что мы находимся в ситуации, при которой существует N различных состояний N природы, каждое из которых может реализоваться с вероятностью pj, причём 2^j=i Pj = 1.

Рассмотрим две функции. Первая названа авторами «безальтернативной» функцией полезности C (x) . Значение этой функции имеет смысл полезности, которую получит агент от некоторого блага при условии, что у него не было права его выбирать. Вторая функция представляет собой так называемую функцию «удовлетворения-сожаления». Эта функция показывает, насколько увеличится или уменьшится полезность некоторого блага в зависимости от безальтернативной полезности другого — отвергнутого — блага.

Понятия безальтернативной полезности и «удовлетворения-сожаления» объединяются воедино в «модифицированной» функции полезности. Представим, что агент выбирает между двумя альтернативами: Ai и Ak . Допустим также, что агент выбрал альтернативу Ai и, кроме того, реа- лизовалось j-е состояние природы. Тогда агент получит некоторый выигрыш xij . При этом если бы он выбрал альтернативу Ak , то он бы получил выигрыш xkj . Для краткости будем обозначать C(xij ) — Cij.

Введём модифицированную функцию полезности:

m kj — M ( x ij ; x kj ).

Функция назначает некоторое числовое значение каждой паре альтернатив. Отличие значений c ij и m _ij может быть проинтерпретировано как изменение полезности под влиянием сожаления о неправильно сделанном выборе или удовлетворения от правильного решения. Отсюда можно предположить, что если C ij — C kj , то m j — C ij . Приняв допущение, что отличие значений C ij и m _i ^k _j зависит только от безальтернативных полезностей сравниваемых альтернатив и не зависит от каких-либо иных характеристик, можно сделать следующие предположения:

∂m _i ^k _j ∂ с ij

> 0

и

∂m _i ^k _j ∂ с kj

6 0.

Первое из них означает, что при прочих равных условиях модифицированная полезность растёт с увеличением безальтернативной полезности выбранной альтернативы — эффект удовлетворения. Второе означает, что при прочих равных условиях модифицированная полезность не возрастает с увеличением безальтернативной полезности отвергнутой альтернативы — эффект сожаления. Последнее неравенство следует рассматривать как нестрогое, так как возможен случай, при котором агент в принципе не будет испытывать сожаления.

Для того чтобы сделать выбор между двумя альтернативами, следует перейти к функции ожидаемой модифицированной полезности:

N

E k — X p j m kj .

j =i

Агент предпочтёт альтернативу A i альтернативе A k , если значение E _i ^k будет больше, чем значение E k ⁱ .

Предположим, что степень удовлетворения-сожаления зависит только от разности безальтернативных полезностей выбранной и отвергнутой альтернатив. Тогда mkj — Cij + R(Cij - Ckj), где R(x) — функция удовлетворения-сожаления, которая ввиду вышеизложенных предположений о поведении функции модифицированной полезности обладает следующими свойствами: R(0) — 0, R'(x) > 0 Vx.

Тогда условие выбора для агента примет следующий вид

A i ^ A k тогда и только тогда, когда P^ P j [ c ij — C kj + R ( c ij - C kj ) - R ( c kj - C ij )] >  0 .

Удобно ввести возрастающую и нечётную функцию Q ( x ) — x + R(x) — R( — x) . Тогда условие выбора примет вид

A _i ^ A k тогда и только тогда, когда P N =1 P j Q ( C _i j — C kj ) >  0 .

Можно сделать три предположения относительно внешнего вида функции Q(x) [5]:

• 1.    Q(x ) — линейная или, что эквивалентно, R ⁰⁰ (x) — R ⁰⁰ ( — x) для любого x > 0 .

• 2.    Q(x ) — вогнутая для всех положительных x или, что эквивалентно, R ⁰⁰ (x) < R ⁰⁰ ( — x) для любого x >  0 .

• 3.    Q(x ) — выпуклая для всех положительных или, что эквивалентно, R ⁰⁰ (x) > R ⁰⁰ ( — x) для любого x >  0 .

На первый взгляд, кажется, что нет никаких причин предпочитать какое-либо из этих трёх предположений другим. Однако авторы отмечают, что все случаи отклонения от рационального поведения, приведённые в работе Каннемана и Тверски, удачно описываются моделью, удовлетворяющей третьему предположению; также существуют теоретические причины ожидать того, что третье предположение будет чаще удовлетворяться, нежели остальные [5].

• II.    Модификация модели

Исходная модель, построенная в рамках теории сожаления, используется только для обоснования выбора между двумя альтернативами. Однако эту модель можно применить и для обоснования выбора из некоторой группы альтернатив. Допустим, что есть некоторая альтернатива A ^∗ , с которой при выборе происходит сравнение всех альтернатив. Например, если альтернативы представляют собой инвестиционные портфели, то альтернатива A ^∗ может представлять собой вложение денежных средств в банковский депозит.

Рассмотрим некоторое непрерывное пространство из активов и портфелей. Портфель характеризуется в этом пространстве набором чисел w i , ..., w k , являющихся весами активов, входящих в состав портфеля; таким образом, считая невозможными короткие продажи, 0 6 W k 6 1 V k , P K =i W k = 1 . Далее введём в рассмотрение безальтернативную функцию полезности C (w i , ..., w k ) , которая принимает значения c i (w i , ..., w k ), ..., c n (w i , ..., w k ) в зависимости от реализовавшегося состояния природы. Данная функция сопоставляет некоторому активу или портфелю число, которое и принимается за безальтернативную полезность. Будем считать, что полезность актива A ^∗ равна c ^∗ .

Введём в рассмотрение функцию R(x) , удовлетворяющую всем условиям, накладываемым на функцию удовлетворения-сожаления в исходной модели, и рассмотрим задачу агента:

E = P N i P j ^Q(c j ^- c * )   ^ maX w i ,...,wK ,

P K —i w k - 1    =       0,                             (1)

,                w k           >         0        V k.

Функцию E можно рассматривать как измеритель благосостояния инвестора, показывающий его выгоду от вложения в альтернативу A по отношению к выгоде от вложения в альтернативу A ^∗ . Решая задачу (1), получаем следующее выражение для предельной нормы замещения:

MR™e=P m,n     EN=1 Pjddj [1 + R(Cj - c*) + R(c* - Cj )] ,

∂c где ∂wj — производная безальтернативной функции полезности по весу wn при условии, что реализовалось состояние природы sj , pj — вероятность реализации состояния природы sj . Это выражение имеет смысл предельной нормы замещения для предпочтений агента, подверженного влиянию эффекта сожаления, и показывает, от какого количества актива n готов отказаться агент при увеличении количества актива m на единицу.

При этом если предположить отсутствие нерациональности в действиях агента ( R(x) = 0 ) и решить аналогичную (1) задачу, то можно получить следующее условие:

rational M RS _m,n

P N     ^дс з

=    j = 1 p j dW m

N       ∂c j .

j =1 ^{P j} dW n

Здесь используются те же обозначения. Это выражение имеет смысл предельной нормы замещения для предпочтений рационального агента. Проведём сравнение этих условий, вычтя из выражения (2) выражение (3):

P N₁ Pj ^dc^- [...],•

1КЛ R Яregree   д д p raeuh,onal    ^3 —1 ^jd dwm *- ^j

^MR S m,n     M RS m,n      v^N     dc - r i

Ъ j —i p jdw n ^[—^]j'

-

P N     ^8c 3

bj = 1 p j dW m =

P N _n - ^8сз j =1 p jdw n

P N ∂cj       P N ∂cj    P N    ∂cj P N ∂cj

_ j = 1 p j dWm L — J j ^X j =j= j p j dWn    2^j =1 p j dWm ^X j p j dWn ^[."^] j _

PN    ∂cj      PN

2= j =1 p jdWn ^[.“ Ь ^X Aj =1 p jdWn

PN    ∂cj    PN    ∂cj   PN    ∂ci PN

_ 2= i =1 p jdwm H«Lj=1 p jdWn   2 =1 = 1 Piaw m Aj = 1 p jdWn 1"^.Ь _

PN    ∂cj      PN

2= j = 1 p jdWn ^[."^] j ^X 2 =j = j p jdWn

P N P N      ∂cj ∂ci       P N P N      ∂ci ∂cj

N     ∂cj           N     ∂cj

2= j =1 p j dw n Wj ^X Ej=1 p j dw n

Здесь [...] j _ 1 + R' ( c j — c * ) + R 0 (c * — c j ) . Так как знаменатель полученного выражения больше нуля, то можно перейти к рассмотрению:

NN         NN

∂c j ∂c i                      ∂c i ∂c j

• XXX X X X p i p j dw n »w m ^{w< —} XXX X p i p j -   ■-   ^[~^{b v} °-                  ⁽⁴⁾

Проведём замену переменных в (4):

∂c            ∂c

P i я--- _ a i , P i-— _ в 1 , 1 + R (c i — c) + R (c — C i ) _ l i .

∂w _m        ∂w _n

В итоге получим следующее выражение:

NN

XX a i e j [l i — l j ] V °. i =1 j =1

Для упрощения выкладок рассмотрим случай двух возможных состояний природы. Будем также считать, что состояния природы проиндексированы в соответствии с увеличением значения C(x) :

• ^а 1 ^в 2 ^{[ 1} 1 ^— l 2 ^{] — a} 2 ^1\l 2 ^— l 1 ^{] V} °.                                        ⁽⁵⁾

Окончательный вывод зависит в конечном счёте от вида функции R(x). Если принять гипо тезу Лумеса и Сагдена, то тогда 11 — I2 < °. Действительно, l1 — l2 < °,

R 0 (c 1 — c * ) + R 0 (c * — C 1 ) — R 0 (c 2 — c * ) — R 0 (c * — C 2 ) < °.

С учётом того, что состояния природы проиндексированы в соответствии с увеличением значения C (x) , получим

R 0 (c * — c 1 ) — R'(c* — c 2 )    R 0 (c 2 — c * ) — R 0 (c 1 — c * )

<, с 2 — с 1                        с 2 — с 1

R 0 (c * — c 2 ) — R'(c* — c 1 )    R 0 (c 2 — c * ) — R 0 (c 1 — c * )

^2 <.

Введём следующее обозначение:

с 2 — 0 1 _ A.

Тогда получим

R 0 (c * — c 1 — A) — R 0 (c * — c 1 )   R 0 (c 1 + A — c * ) — R ⁰ (c 1 — c * )

• — A          <           A          .

Так как значения c 1 и c 2 были взяты произвольно, то тогда если A ^ ° , то R ⁰⁰ (c * — c 1 ) < R ⁰⁰ (c 1 — c * ) .

Зная это, из формулы (5) получим а1в2 Л «2в1,

α1

β1

MRS ¹   ∧ MRS ² .

m,nm,n

Здесь M RSm1 ,n — предельная норма замещения, рассчитанная для безальтернативной функции полезности. Следовательно, если MRS1   < MRS2 , то M RSmregnret > M RSrational . То есть в m,n          m,n             ,m,n состоянии равновесия агент будет покупать несколько больше актива m, нежели в случае рациональности, и наоборот.

Естественно, что более  точное  описание  зависит  от  конкретного вида функций

C(wi, ..., wk) = С(rj(wi, ..., wk)) и R(x), где rj(wi, ..., wk) — доходность инвестиционно го портфеля в состоянии природы j. Пусть функция безальтернативной полезности C(rj) обладает следующим свойством: C0(rj) > 0. Тогда, зная, что rj(wi, ..., wk) = PKi wirj, имеем dwn = С0 (rj> £

r = r j

= С 0 ( rj H .

Здесь r _n ¹ — доходность актива n в состоянии природы 1. Пусть M RS _m ¹ _,n < M RS _m ² _,n . Тогда

^{С 0 ( r} 1 ^{) r} m < ^(r 2 )r m

^{С 0 ( r} 1 ^{) r} n      ^{С 0 ( г} 2 ^{) г} П ,

r

2 n

r _n

2 r _m

< 1 . r _m

Таким образом, агент будет склоняться в сторону актива с большим темпом прироста доходности при переходе от худшего состояния природы к лучшему.

Построенная модель показывает, что если поведение экономического агента будет подчиняться теории сожалений, то будут наблюдаться устойчивые сдвиги при формировании его инвестиционного портфеля.