Формирование пучков в аподизаторе с квадратной зубчатой диафрагмой

Пионерской теоретической и экспериментальной работой по использованию аподизаторов с зубчатой входной диафрагмой (ЗД) для формирования в мощных лазерных системах пучков с плоской вершиной и заданным плавным переходом от плато к резко спадающим крыльям (платообразных пучков) считается работа Ауэрбаха и Карпенко [1]. По их утверждению, официальная история ЗД началась намного раньше, с предложения таких аподизаторов в 1978 г. для американской лазерной термоядерной установки Nova (частное сообщение). Упоминание о возможности применения ЗД встречалось и за 2 года до 1978 г. – в тезисах конференции [2] и 2 года позже [3]. Это направление аподизации получило широкое развитие и дальнейшее изучение [4, 5]. В большинстве работ и экспериментов речь шла о квадратных ЗД (включая [1]), а для круглых предлагались соответствующие поправки. Теоретическое рассмотрение делалось либо оценочно методом прямого и обратного Фурье-преобразований с применением теоремы о свертке в предположении дифракции Фраунгофера [1], либо упрощенными двухмерными расчетами параболического уравнения (ПУ) на сетке [4, 6].

Оптическая схема рассматриваемого аподизатора состоит из ЗД и пространственного фильтра (ПФ). В таком аподизаторе ЗД и сглаживает плато выходного пучка, и формирует профиль его крыльев.

В [7, 8] мы рассмотрели применение ЗД-ПФ в круглой геометрии аподизатора, в соответствии с задачами в гибридных фемтосекундных лазерных системах видимого диапазона [9– 13]. В предположении на входе ПФ у лазерного пучка плоского фазового фронта и радиальной симметрии амплитуды (Гаусс, однородный пучок) из известного точного решения ПУ было получено приближенное интегральное решение для поля на выходе ПФ, сводящее расчеты к вычислению однократного интеграла и позволяющее проследить за структурой полученного поля, подобрать для него адекватное аналитическое представление и разработать методы улучшения профиля пучка [14, 15]. Это представление позволяет аналитически рассчитать дифракционные искажения пучка за ПФ.

Здесь аналогичная методика расчета применена к аподизатору с квадратной ЗД. Особое внимание уделено различиям для круглой и квадратной ЗД.

Все расчеты делались с помощью программы Wolfram Mathematica.

1.    Теоретическая модель

На рис. 1 показана схема аподизатора, состоящего из ЗД на входе и ПФ (фильтра нежелательных пространственных частот) в виде телескопа Кеплера с ограничивающей диафрагмой (ОД) в общем фокусе объектива и окуляра. ОД обрезает поперечную из-за ЗД структуру пучка. Полагаем на входе ЗД-ПФ монохроматическое поле с плоским фазовым фронтом.

Рис. 1. Cхема аподизатора из ЗД и ПФ на базе телескопа Кеплера с ОД в общем фокусе объектива и окуляра.

Обозначены поля и их аргументы на границах ПУ и за ПФ

Поле в ПФ и за ним рассчитывается из интегральных решений ПУ (4πi / λ)(∂U / ∂z)+Δx,yU =0 в прямо- угольной декартовой системе координат {x, y, z} [16] (рис. 1; Δx,y – поперечный лапласиан, z – продольное направление, λ – длина волны излучения) и представлено в безразмерном по всем координатам виде. Решение U1 из ПУ-1 в фокусе телескопа (z = f) будет

^U M Z , f ) __e Г.ц² + Z²' — exp i ( - i о )         [ 4 no

JJ U _z e - - ^{, ц}^^{+ y n )} d Z d n ,     (1)

где σ = a2 / λf – число Френеля ЗД в фокусе телескопа, амплитуды поля U1 и UΣ нормированы на максимум UΣ на входе ПФ; поперечные координаты {ξ, η} на входе ПФ (z =0), отсчитываемые от центра Σ ЗД, – на половину a внутренней части ЗД по краям зубцов; а координаты {μ, ζ} в фокусе ПФ (z = f) – по формулам ц — 2nxa / Xf; Z — 2nya / Xf.(2)

Тогда ограничение на (2) от ОД (2 x 0 ×2 x 0 ) будет

Цо — Z 0 — 2n ax о/ Xf.(3)

В (1) подставляем нормированное поле U Σ на входе ПФ, предполагаемое в виде

Uz — Uo(Z)Uo(n)exp [-i nc(Z2 +n2)],(4)

где U 0 (ξ) U 0 (η) – амплитуда U Σ в виде произведения одинаковых четных по ξ и η функций U 0 с максимумом 1, а фазовый множитель (4) учитывает прохождение первой линзы телескопа с фокусным расстоянием f. Линзу считаем абсолютно тонкой и совпадающей с плоскостью квадратной ЗД, симметричной по ξ и η; μ и ζ отсчитываем от центра квадрата ОД. Далее приведены расчеты для однородной амплитуды поля U 0 = 1. Обобщение на случай Гауссового пучка, как в [7, 8, 14, 15], полученных выводов не меняет.

Зубцы отверстия ЗД (будем далее говорить о зубцах именно отверстия для единообразия с зубцами в углах) полагаем одинаковыми, симметричными, одинаково расположенными на сторонах квадрата симметрично относительно их центров – рис. 2. Их безразмерные параметры равны l — L / a; h — H / a,                                 (5)

где H и L – высота и ширина зубца отверстия.

Отметим первое отличие круглой и квадратной ЗД. У круглой симметрия пучка за ЗД осевая порядка n (n – число зубцов). ОД обрезает поперечную структура пучка, возвращая ему входную радиальную симметрию. Из-за углов у квадратной ЗД и после обрезания ОД поперечной структуры пучок не восстанавливает форму в виде произведения одинаковых функций U (x, y) = U(x)U(y). Форма углов ЗД может влиять на детали выходного пучка. В описанном в [1] эксперименте в Ливерморской лаборатории [17] углы ЗД закруглены с зубцами по кругу. В [4, 5], судя по их картинкам, у металлической ЗД лазерной резки в углах зубцов нет, а у фотолитографической ЗД на стеклянной подложке в углах была сетка из скрещенных зубцов.

а)

б)

Рис. 2. (а) Варианты углов квадратной ЗД. В квадрантах III (ЗД-3) углы закруглены с равномерно вырезанными M 0 зубцами (от 0 до 5); показаны M 0 = 1 и M 0 = 4.

В квадрантах III-IV в углах нет зубцов и зубцы у углов смыкаются: в IV (ЗД-1) они симметричны, в III (ЗД-2) – нет (0 < Δ < L/2). Штриховыми линиями ЗД разбита для интегрирования в (1): на 5 частей в ЗД-1, на 13 – в ЗД-2, на 9 – в ЗД-3. (б) Определение формы ползубца по сторонам ЗД (не закрашен). Ордината отсчитывается от центра зубца

Рассмотрены 3 формы углов ЗД (рис. 2 а ): 2 варианта без зубцов и закругления (ЗД-1 и ЗД-2 в квадрантах III и IV) и с закруглением в четверть окружности, где вырезано разное число одинаковых симметричных зубцов, – как в [1, 17] (ЗД-3 в квадрантах I, II). У ЗД-1 зубцы у углов точно смыкаются (2 а равно целому числу L ). У ЗД-2 размеры а и L не согласованы и для смыкания в углах крайние зубцы несимметричны. У ЗД-3 в углах было от 0 (закругление без зубцов) до 5 зубцов. Форма зубцов (рис. 2 б ) бралась разной, в том числе разной по сторонам и в углах (если они там были). На схематическом рис. 2 а все зубцы треугольные. Подробно рассмотрен случай ЗД-1, дающий простой вид поля. Для ЗД-2, 3 рассчитаны поправки.

• 2.    Поле на выходе аподизатора

  • 2.1.    Поле при аподизаторе с ЗД-1

Интегрирование в (1) с ЗД-1 дает для поля U 1

iU 1 ( ц , Z , f ) exp [- i ( ц ² + Z ² ) / 4 ло] / о — 1 1 + 1 23 ,   (6)

где I 1 – интеграл по квадрату 2 a ×2 a . При U 0 = 1 он равен (sinc( x ) = sin( x ) / x )

1 1 ( ц , Z ) = 4sinc ( ц ) sinc ( Z ) ,                          (7)

а I 23 (μ, ζ) = I 2 (μ, ζ)+ I 3 (μ, ζ) – интегралы соответственно по верхнему с нижним и левому с правым прямоугольникам 2 a × H на рис. 2 а . I 2 (μ, ζ) = I 3 (ζ, μ) рассчитываются суммированием по пропусканию через все зубцы [18], и при U 0 = 1 каждый из них равен

I з ( ц ,0 =

1+h.            sinc [Z 1 ф <^)/2l

= 4sinc(Z) f Ф©cos(ц^)---.L]

^J1                     sinc ( Z 1 /2 )

Ф

Нормированную на максимум в (9) половину зубца Φ (t) (t = η или ξ; рис. 2б) назовем формой зубца. ОД обрезает колебательную структуру, обусловленную зубцами ЗД [1], и, очевидно, должна «убрать» зависимость (8) от l, т.е. обеспечить выполнение

F (q) =

sinc Г q Ф (t)] sinc (q)

»1,0 <Ф( t) < 1,

где q = ζl /2. Сравнив при Φ(t) ≤ 1 и разных q и h F(q) с 1 и интеграл в (8) с интегралом в предположении (10), мы получили, что F(q) – 1≤ 0,1 при q ≤ 0,75 и F(q) – 1 ≤ 0,01 при q ≤ 0,25. При q = 0,75 отличие интегралов – до 5 %, при q = 1 – до 9%, а при q = 1,5 возрастает до 20 %. Эти оценки не зависят от h. Т.е. вполне приемлемо ограничение q ≤ 1 – погрешность за счет (10) в (8) ниже 10 %. Отсюда вытекает ограничение на ОД (3)

Цо =Zo < 2/1. (11)

Условие (11) в 1,5 раза сильнее, чем ограничение на ОД в [1]. С учетом (10) получаем для поля U1 (6) в фокусе ПФ приближенное выражение iU1(ц, Z, f )exp [-i (ц2 + Z2) / 4nc] / 4g =

= sinc ц sinc Z +

1+h sincц J Ф(t)cos(Zt)dt +

1+h

+ sincZJ Ф(t)cos(цt)dt

которое подставляется как начальное в ПУ-2 на рис. 1 для расчета поля U2 на выходе ПФ. При (10) в (12) μ и ζ разделены в каждом слагаемом, а не во всей функции, как на входе ПФ. Из ПУ-2 поле на выходе ПФ (z = f + f1), с учетом набега фазы после линзы f1, будет

Ho

-U2(u,v, f + f1 )(п2 /4) = Jcos(цu)dцх xjiU1(ц,Z,f) exp(i5(ц2 + Z2))cos(ZV)dZ ,

G

где к безразмерным координатам в фокусе (2) добавлены безразмерные координаты на выходе ПФ u = (f / af1) x;    v = (f / af1) y,                    (14)

а к безразмерным параметрам (3, 5) – параметр фазы

5 = (1 + f / f1)/(4nG).                           (15)

Поле U2 (13) и его аргументы (u, v) (14) по сравнению с UΣ(ξ, η) дополнительно нормированы на коэффициент увеличения телескопа f / f1: U2 нормировано на поле U0²f / f1, а аргументы – на поперечный размер пучка (af1 / f) в приближении геометрической оптики (ГО). Тогда U2(u, v) имеет платообразную форму с плато ≈ 1 и шириной ≈ 1 от центра; она симметрична и четна по u и v. Далее будем следить за u, v ≥ 0. Функция Φ и параметры h, μ0, δ (3, 5, 15) полностью определяют U2. Крылья U2 зависят от Φ, а детали плато – от h, μ0, δ. Как и с круглой ЗД [7, 8, 14], у U2 есть небольшие амплитудно-фазовые наросты на краю плато.

В [1], согласно их данным, h = 0,25; l = 0,04; μ0=76, δ≈ 0,002; в [4] – h =0,17; l =0,05 и 0,033; μ0 = 15÷170. В расчетах будем ориентироваться на эти величины.

Если в (13) (полагая μ0= ζ0) подставить (12), то получим для U2

• -U2( U, V, f + fx) = J (v) J (u) -1 (v) I (u),(16)

2 цо

I(u) = — Jcos(цu)e5" dц j" (t)cos(цt)dt,(17)

п 01

2 цг,

J(u) =— [sincц-cos(цu)e5ц dц +1(u),(18)

п 0

где (18) хорошо описывает поперечный срез пучка (16) на плато по v. А произведение крыльев (17) I (u) I (v) в (16) вычитает из произведения (18) часть угловой структуры крыльев. Если положить 5 = 0, то интеграл, описывающий плато в (18), вычисляется [18] и дает (Si(x) – интегральный синус)

J (u) = [Si(1 - u )ц0 + Si(1 + u )ц0 ] / п +1 (u).        (19)

Если в (16) положить μ0 →∞ и δ =0 (ГО), то

• -U2( u, v, f + f1) =[1, (u\,|v| < 1)] +

+ [(v|),(|u\< 1) n (1 < |v| < 1 + h)]+                (20)

+ [<ф (|u I), (| v| < 1)n (1 < |u| <1 + h)], т.к. при x → ∞ Si(bx) =(π /2) sign b [18] и lim (sin xy / y) = πδ ( y), где δ ( y) – дельта-функция [19]. У (20) квадратное плато 2×2, углы крыльев пучка полностью вырезаны в четверть круга и профиль крыльев по бокам совпадает с профилем Φ (u). В этом второе отличие круглых и квадратных ЗД: для круг- лых форма крыльев в приближении ГО совпадала с функцией Φ (u)/ u.

При конечных μ0 вид (20) сглажен. Мы смотрели несколько видов Φ (t) в (12) – рис. 3. Часть Φ(t) взята из [8] – рис. 3а (треугольник, выпуклая и вогнутая параболы, косинус и треугольник со скосами острия и впадины). У треугольного зубца Φ (t) равно

Ф l (t) = (1 + h -t)/h.

И добавлены к этому (рис. 3б) еще зубец с профилем интеграла ошибок erf(x) [19] (c – крутизна спада)

^Фerf⁽t) = 2 ⁺

erf {c [1 - 2( t -1)/h ]/2}

2erf(c/2)        ^,

и прямоугольный зубец шириной 2 (1– с) (как в [4])

Ф rect (t) = 1 - c,  1 < t< 1 + h .

а)

б)

Рис. 3. (а) Φ̃(t) при h = 0,6 из [8]. (б) Φ̃(t) (22, 23) при h = 0,3, где сплошные линии – модели зубцов ΦLmod (t) (см.(25)): для Φ̃erf (c = 6) l1 = 1,09, l2 = 1,21; для Φ̃rect (c = 1/3) l1 = 1,06,

l2 = 1,34

Примеры J(u) (19) – срезов U2(u, v) (16) вдоль u при |v|< 1, когда [Si(μ0(1– v))+Si(μ0(1+v))] / π≈ 1, для Φ(̃ t) с рис. 3 и сравнение их с (20) показаны на рис. 4. Крылья (19) при 1 ≤ | u | ≤ 1+ h близки Φ (u). Чем больше μ0 и h, тем плато ближе к 1 и крылья – к Φ (u). Исследуем влияние μ0 и h на связь J (u) и I (u) с Φ (u). Интеграл

‘r                      X ^T=t - t 0

F (ц) = J f (‘)cos (ц ‘) d ‘ = t₀

‘ 1- ‘ 0

• = cos(цtо) J f(tо +t)cos(цт)dt-              (24)

‘1- ‘ о

• - sin (цtо) J f (tо +t)sin (цт) d t , 0

при μ → 0 приближенно равен (cos (μt) ≈ 1; sin (μt) ≈ μt) F (μ) ≈ I0 cos (μt0) – μ (I1– t0 I0) sin (μt0),      где      I0,1 – моменты 0 и 1 для f (t) от t0 до t1; а при μ→ ∞, опираясь на [20], F (μ) ≈ cos (μt0) f ʹ(t0) / μ2–sin(μt0) f (t0) / μ≈ – sin (μt0) f(t0) / μ.

б)

в)

Рис. 4. J(u) (19) при разных P = μ0h для Φerf (22) при с = 6 (а); ΦTr (рис. 3а) (б) и Φrect (23) при с = 1/3 (в). Сплошные кривые – функции Φ(u). Штриховые кривые J(u) на (а) взяты при

разных μ0; на (б, в) – при многих разных наборах μ0 и h из указанного диапазона (кривые с одинаковыми P слились)

В [8] была исследована аналогичная (24) свертка с нулевой функцией Бесселя J0 вместо косинуса и показано, что для f (t) вида Φ на рис. 3 свертки хорошо воспроизводятся интегралами от похожей функции, имеющей с f (t) одинаковые нужные моменты и f (t0). В качестве такой функции удобно взять кусочно-линейную функцию. Расчеты при h ≤ 0,8 показали, что эта схема применима и к (24) для интеграла I(u) (17).

Заменим (17) интегралом, где вместо Φ(t) стоит ΦLmod(t) – треугольный зубец с размерами l1 и l2 вместо 1 и 1+h (l2,1 = 1+I0 ± {3 [2(I1– I0)– I0²]}^½), сдвинутым вдоль t внутрь (l1 < 1) или наружу (l1 > 1). ΦLmod подбиралась из равенства с Φ её I0,1 и значения в начале интервала (l1 или 1). Выбор ΦLmod (t) продиктован простотой; можно взять функцию и другого вида.

При l1 > 1 ΦLmod принимает вид

Ф Lmod (‘) ={1,1 < ‘< 11}

, l1< t< ¹2

При l1 < 1 левая граница по t у ΦLmod меньше, чем у Φ. Тогда при l1 ≤ t ≤ 1+h заменяется интеграл от f (t)= {1, l1 ≤ t ≤ 1}+{Φ̃ (t), 1 ≤ t ≤ 1+h} в (17) на интеграл от fmod (t)=(l2– t) /(l2– l1) при l1 ≤ t ≤ l2 (обе функции равны 1 при t = l1). Для (21) обе модели совпадают с (21).

Для Φ̃p1,с l1> 1, для Φ̃p2,Tr l1< 1. Для (22) l1<(≥)1 при c < (≥) 2,17. Для (23) l1 < (≥)1 при c < (≥) 0,4.

У плавных Φ (на рис. 3 это все, кроме ΦTr и (23)) функции ΦLmod (t) близки Φ(t). При изломах в Φ(t) отличие может быть даже качественным. Но важнее качество аппроксимации (17, 19) при замене Φ на ΦLmod. Для ФLmod интеграл (17) при 5 = 0 равен [18]

Il mod (u) = -[Si (цо(1 - u)) + Si (цо(1 + u))] / п +

J(12 ± u )Si (po( 12 ± u ))±[-( 11 ± u )Si (po( 11 ± u))

+         ^--sin(M12 -li)/2)x

(12 - 11)П    Ц0

xSsin (ц₀( 1₂+l₁ ± 2 u )/2)

а JLmod (u) в (19) равно (26) без первого слагаемого.

Для плавных Φ (t) J(u) ≈ JLmod (u) при любых h и μ0, но вид их меняется: с ростом Р = μ0h крылья обоих J приближаются к Φ (u) (рис. 4а; все J ≈ JLmod). Для Φ (t) с изломами близкие при малых Р (на рис. 4в при Р =3) J расходятся с ростом Р: крылья JLmod (u) приближаются к ΦLmod (u), а у точной J (u) проявляются искажения, близкие изломам Φ (u) (рис. 4б, в). Разберем вид кривых на рис. 4. Перепишем I(u) (17) при 5 = 0 как

I (u) = - j Ф (xh +1) ^п0

sin (цо(1 + h x + u)) + 1 + hx + u

+ sin (цо(1 + h x-u)) 1 + hx - u d x«

• ¹    - ,      , sin (P(x- 5))

•'Ф(xh +1) dx ,

0             (x-5 )

где χ =(t –1)/ h и s =(u –1)/h. Мы пренебрегли первым, заметно меньшим слагаемым в квадратной скобке (27), полагая u ≥ 1. В (27) появился параметр Р с рис. 4

P = ц₀h.

Для всех зубцов рис. 3, кроме Φp1, Φ(t), как и их ΦLmod(t), зависят лишь от χ. Поэтому (27) зависят лишь от P и s. Для Φp1 остается зависимость и от h. Тогда при данном P и Φ, зависящих лишь от χ , крыло пучка, описываемое J(u), имеет одинаковый вид от s ростом P у J и JLmod в крыльях проявляется отличие Φ и ΦLmod. Эти граничные P ≈ 5 ÷ 8 слегка зависят от Φ, а P, при которых спад J близок Φ, – десятки. Хотя и тогда некоторое отличие остается.

Схожее поведение и у функций (19) для ΦP1(t), зависящей и от P, и от h. Здесь такая же картина примерно при тех же значениях P, но поведение J (u = sh + 1) (19) зависит отчасти и от h.

Наличие параметра P и его роль в форме крыльев пучка на выходе ПФ – третье отличие для круглой и квадратной ЗД. Для круглой ЗД такого параметра нет.

Если исходить из P ≥ 12 как условия приближения крыла J (sh +1) к Φ (sh +1) и отличия его от крыла для Jmod (sh +1), то вместе с (11) это будет H/L ≥ 6, что и фигурирует в [1] (по данным [1] P ≈ 19 и H/L= 6,25). Однако даже при бόльших P, когда крыло J(sh +1) близко Φ̃ (sh +1), а крыло Jmod (sh +1)– Φ̃Lmod (sh +1), отличие этих функций именно на спаде невелико. Оно проявляется на переходе от плато к крылу, внизу крыла и для зубцов с изломами типа ΦTr и (23) – в местах изломов. Поэтому при больших P зубцы должны быть плавной формы без дефектов, а при P ≤ 5 крылья пучка будут сглажены даже у простого треугольного зубца. Это видно в [4], где сравниваются крылья пучков с квадратным профилем зубцов и с профилем, подогнанным под супергаусс порядка 14, близкий (22) при h ≈ 0,17 и с ≈ 6,7. В обоих случаях у них H/L =5, h ≈ 0,17, и, полагая, что их угол дифракционной расходимости пучка отвечает x0 = λf /2a в (11), для него μ0=π и P меняется в диапазоне 2,5÷28,3.

Итак, видно, что для квадратной ЗД-1, как и для круглой [7, 8, 14, 15], на выходе ЗД-ПФ образуется платообразный пучок с плавным переходом от плато к крыльям и профилем, при P ≤ 5 хорошо описываемым (19, 26) для модели треугольного зубца ΦLmod. Плавный профиль этого крыла можно подобрать под нужный вид. При P ≥ 12 профиль крыла близок Φ(sh +1); и тогда уже профиль зубцов ЗД надо подгонять под желательный профиль крыла.

• 2 .2. Поле при аподизаторе с ЗД-2

Оценим поправки к U2 в (16) при ЗД-2 (рис. 2а), также полагая падающее на ПФ поле однородным с плоским фазовым фронтом, δ =0 и срезом углов ЗД по прямым. У ЗД-2 зубцы в углах ỳже L /2. Обозначим Δ/a = kl /2, где 0< k< 1. Интеграл в (1) разбит на 13 частей. Интегрирование в квадрате 2a×2a дает (7), а вклад в (1) от боковых прямоугольников (4 по 2(a – Δ)×H и 8 по Δ×H) даст для I3(μ, ζ) вместо (8)

J(u) = [Si(1 - u)ц₀ + Si(1 + u)ц₀ ] / п +1(u) ®

«[Si( Ps)/п +1/2] +1 (u = sh +1).

13 (ц, ^, k) = 4 sinc(Z) x

Расчеты это подтверждают (рис. 4): J(u) (19) (для u ≥ 0), представленные на рис. 4б, в от аргумента s, почти совпадают при одинаковых P. При P малых J и JLmod близки и их крылья не повторяют Φ и ΦLmod. С

1+h x j ®cos(ц^)

sinc

sinc q

d ^ +

где q = ζl /2, а G1,2(Φ̃(ξ), k, q) – поправки к (8). При k = 1 G1,2 =0; при k =0 ЗД-2 можно переделать в ЗД-1, сдвинув зубцы на полпериода. Точные функции G1,2 имеют громоздкий вид и мало информативны. Они хранят «память» о зубцах ЗД – зависят от l через q. Мы численно рассчитали при Ф = ФL, hе[0,1; 0,6], q ≤ 1 и всех k поправку от G1 в (30) и в поле на выходе ПФ. Вклад G1 в отличие квадратной скобки в (30) от 1 оказался малым по сравнению с первым слагаемым.

Вклад от G2 был оценен подбором при Φ = ΦL хорошего приближения для G2 и явной зависимости второго слагаемого в (30) от параметров и аргументов

4cosZ¹⁺8cosZ •

• —-— J G2 ■ cos (ц^) d Z« 3 sin q х

^{Z 1                        Z}(31)

(1 - к²)h [ Ас cos ц + As sin ц],

где α = μh, Αc =– 1/(32/21+α³/70), Αs = α /(96/11+α³/35). Модуль (31) ≤ 0,23l(1– k²)h, учитывая (11), q ≤ 1 и затухающие колебания с амплитудой ≤ 0,7 в квадратной скобке (31) при всех μ и h. В поле U2 (u, v) (16) на выходе ПФ функция (31) дает добавку ΔUG2

AUg, « 8⁽ , к )h J1(v,q,цо)J2(u,h,Цо),          (32)

3n²

J1( v,q,Цо) = J 0

cosZ ( q |

—— sin q sin²1 2 I cos(Zv)d Z ®

11(ц, Z, d) = 4sinc ц^ sinc Z-111 +112,

где d=D / a, 111(ц, Z, d) — интеграл по четырем вырезанным по углам квадратам D×D, I12(μ, ζ, d) – интеграл по четырем вставленным четвертям кругов. Расчеты показали, что разница (33) и (7) незначительна.

б)

Рис. 5. Функции Ĵ1 (v, q, μ0) / q³ (а) и Ĵ2 (u, h, μ0) (б) из (32). μ0 = 50

Вместо I23 в (6) будет теперь

123 (ц, Z, d) = 1231 (ц, Z, d) + 1232 (ц, Z, d),              (34)

где I231 – интегралы типа I23 в (6) по полоскам H×2(a – D) (вместо H×2a) (полагаем, ширина зубцов подогнана под 2(a – D)), а I232 – интегралы по зубцам в углах d+h

1232(ц,Z,d) = 4 J ^(P)^(ц,Z,d,P)dp, (35) d где Ψ(ρ) – аналог Φ(t) в (9) в углах ЗД: половина суммы всех зубцов в 1 /4 кольца на расстоянии ρ от центра кольца; оба pe[d, d+h] и T(p)e[nd/4,0] нормированы на a. Т.к. вид Ψ(ρ) мало влияет на I232, в основном использовалась линейная модель Ψ(ρ)

Yl (p) = nd (d + h -p)/4h.

Функция W (μ, ζ, d, ρ) в (35) – сумма интегралов по М0 угловым зубцам. При М0 =0 в углах зубцов нет и W =0. W и I232 в (35) растут с ростом d и заметно зависят от М0, влияя на отличие U1 в (6, 12) от суммы

• ^iU1^(ц, ^Z, f, ^d)/ O = 11 ^-111 + 112 + I231 + I232 ,       ⁽³⁷⁾

тем самым качественно влияя на профиль пучка U2 в (13). Подстановка (37) в (13) дает для U2 (u, v) при δ = 0

• -U 2( u, v, f + fi) = Ud (u, v, f + fi) + A U,         (38)

где Ud – результат интегрирования в (13) без I232 (35) (т.е. при М0=0), а ΔU – вклад от I232

∆U(u,v) =^{1 µ0}cos(µu) dµ^ζ0I232 ⋅cos(ζv)dζ.      (39)

^π00

Срезы по v у (38, 39) в сравнении с U2 (16) рассчитывались для М0 =0÷5 при μ0∈[10; 40], d∈[0,1; 0,3] и h∈[0,2; 0,4]. Примеры приведены на рис. 6. Плато U2 мало зависят от вида Ψ(ρ) и Φ (t), поэтому в основном для них брались функции (36) и (21). Как видно, ΔU заметно проявляется в U2 на краю плато, где у U2 (16) для ЗД-1 имеется небольшой амплитудный нарост, роль которого не мала при круглых ЗД [14, 15]. В зависимости от μ0, h, d и М0 ΔU может уменьшить, увеличить или сдвинуть нарост, деформируя края плато. Вклад ΔU волнообразный по поперечной координате. При М0 =0 (нет зубцов в углах ЗД и ΔU = 0) у ЗД-3 вырез углов меньше, чем у ЗД-1, что тоже влияет на край плато, где с ростом d нарост может даже стать выемкой. При всех М0 все эффекты усиливаются с ростом d; роль μ0 и h слабее. Вклад ΔU в U2 обычно максимален при М0 = 1 и падает с ростом М0.

б)

а)

Рис. 6. Срезы по v = 0 функций ΔU (u, v) (39) и – U2 (u, v, f+f1) (38) при ΨL (ρ) (36), Φ̃L (t) (21), h = 0,3, d = 0,1

Влияние зубцов в углах ЗД на пучок на выходе ПФ надо оценивать конкретно в каждом случае.

3.    Разделение переменных у поля на выходе ПФ

Для квадратных ЗД переменные пóля на выходе ПФ не разделяются, в отличие от входного поля. Оценим роль второго слагаемого в (16) у поля на выходе ПФ для ЗД-1 при δ =0 и зубцах вида (21).

В приближении ГО поле (20) в углах крыльев пучка нулевое. Профили срезов по v совпадают при v ≤ 1 – единичное плато и крылья Φ(u), и прямоугольные с плато Φ(v) при v > 1. При конечном μ0 U2 в (16) – это промежуточное положение от произведения (19) к вырезу углов крыльев в (20). Типичные примеры срезов по v у U2 (16) при μ0∈[20, 60] и h∈[0,2; 0,4]

показаны на рис. 7. Срезы нормированы на 1 в центре. При v< 1 (плато по v) все срезы от u почти сливаются и описываются (19). А на краю плато и на спаде по v это не так. Наибольшее отличие для абсолютных величин – при v ≈ 1 (край плато). При v ≥ 1 значения U2 (u =0) (на которые кривые нормированы на рис. 7) близки значениям (19) от v. На спаде (по крайней мере, до v ≤ 1+ h) относительные кривые сближаются, как на плато, иногда почти сливаются, но с более крутым спадом по u, чем в (19). Чем больше μ0, тем на меньшем интервале спада по v происходит переход от одного семейства близких по виду функций к другому. При μ0 ≤ 30 (рис. 7а) переход захватывает почти весь интервал v ≥ 1, а при μ0 ≥ 40 нормированные кривые, например, на рис. 7б слились уже при v ≥ 1,1.

а)        0.4     0.6     0.8      1       1.2     1.4 И

б)        0.4     0.6     0.8      1       1.2      1.4 И

Рис. 7. Срезы по v нормированных кривых U2 (u, v, f+f1) (16) для ЗД-1 при δ = 0 и Φ̃ = Φ̃L

4.    Приближение Френеля

До сих пор мы пренебрегали фазовым параметром δ (15) и его влиянием на пучок U2 (13). Для данных [1] δ ≈ 0,002. В [7, 8] для круглой ЗД расчеты показали, что δ ≤ 0,005 мало влияет на амплитуду выходного пучка, и нулевой фронт на входе остается почти таким же на выходе. Для квадратной ЗД-1 мы рассчитали поправки за счет δ≤ 0,003 в (16) при h ≤ 0,5 и μ0 ≤ 60.

При δ ≠ 0 у пучка на краю плато появляется фазовый нарост (до ≈ 10 ÷ 15% от π /2) и может измениться нарост амплитуды. Фазовый нарост растет с ростом μ0 и δ и уменьшением h. На плато фаза остается близкой нулю. Нарост амплитуды при δ ≠ 0 слабо увеличивается с ростом δ, сильно уменьшается с ростом h и почти не зависит от μ0 по величине. С ростом h и μ0 он сужается и сдвигается к краю плато. Расчеты показали, что эти изменения пучка почти не влияют на его искажение за ПФ и приближение δ =0 оправдано. На рис. 8 показаны примеры влияния δ на поперечный срез U2 (u, v) на плато (совпадающий с (18)).

Из рис. 8 видно, что с ростом h уменьшаются и амплитудный нарост на плато, и его деформация, и увеличение наклона крыльев пучка (слабо зависящее от μ0) с ростом δ. Они мало заметны уже при h ≥ 0,2.

а)

б)

Рис. 8. Зависимость |U2 (u, v = 0, f+f1)| (16) от δ при μ0 = 40, h = 0,1 (а) и h = 0,3 (б); Φ̃ = Φ̃L

5.    Распространение пучка за ПФ

Как и для круглых ЗД в [14, 15], платообразные поперечные профили пучков U2 (u, v) (13) близки функциям сплюснутого Гаусса (flattened Gauss) [21], медленно искажающимся при распространении nk

U_FG(n, p,u) =e^-pu2P_n(рu²) =e^-pu2∑   u^2k, (40)

k=0 k!

где Pn(рu²) – полином степени n из первых членов ряда Тейлора для exp (pu²). Это позволяет для расчета поля за ПФ моделировать поле на выходе ПФ из (40) с поправками. Сделаем это для ЗД-1 при Φ = ΦL и δ =0, поскольку в [14, 15] показано, что фазовый нарост у U2(u, v) при δ ≤ 0,003 дает малую поправку поля за ПФ. Мы сопоставили (40) с поперечными сечениями U2 на плато (в виде (19)). Были разобраны 3 примера подбора n и p в (40) под спад (19), определяемый в основном h: (n; p) = (65; 54) для (μ0; h) =(30; 0,2); (n; p) =(35; 27) для (μ0; h) =(20; 0,3) и (n; p) =(21; 15) для (μ0; h) = (40; 0,4). На рис. 9 показаны два из них. Заметим, что т.к. спад крыльев при квадратных ЗД близок Φ (u), а не Φ (u)/ u, как при круглых, то для равных μ0 и h спад в первом случае немного круче, т.е. n больше.

Мы рассчитали поле за ПФ из ПУ-3 (рис. 1) без учета амплитудного нароста, определяемого как Ah = | J |– UFG, а потом оценили вклад Ah с помощью разных моделей поля U2 (u, v) и Ah. Из рис. 7 и (16) видно, что модель М-1 поля U2 (u, v) на выходе ПФ в виде UFG (n, p, u)×UFG (n, p, v) не учитывает уменьшения поля в углах на крыльях. Поэтому были взяты еще две модели: предельная М-2, в которой у крыльев поля М-1 полностью вырезаны углы, как в ГО (20); и промежуточная М-3 в виде UFG (u)×UFG (v)– I (u)×I (v) (как в (16)), где, согласно (19), I (u, μ0)= UFG (u)– [Si (μ0 (1 – u)) + Si (μ0(1+ u))] / π и для вычитаемого при u ≥ 0 и μ0 ≥ 30 использовано хорошее приближение из [22] в виде соединения 5 аналитических кусков. Срезы поля в углах М-3 оказались весьма близкими точным кривым типа на рис. 7.

а)

б)

Рис. 9. Аппроксимация J (u, μ0, h) (19) при Φ = ΦL и δ = 0 как UFG (40) и UFG+Ah,exp. Для Ah,exp (42) в (а) b0 = 0,022;

u0 = 0,96; k0 = 326,5; в (б) b0 = 0,037; u0 = 0,98; k0 = 285,71

В решении ПУ-3 U3(α, β, z̃)= Û(α, z̃)×Û(β, z̃) для поля М-1 переменные разделены, как в М-1, а Û (α, z̃) (одномерное решение ПУ для UFG; срез U3 по β) выражается аналитически через полиномы Эрмита [16, 18]. Это поле нормировано, как в (13), а из координат {x, y, z} за ПФ поперечные {x, y} – как {u, v} в (14): α = (af1 / f ) x, β = (af1 /f ) y, а z – на число Френеля за ПФ NF =(af1/ f )2/ λz z = Xz(f / af1)2/2п = 1/2nNF.                  (41)

По данным [1], для z =50 м z̃ ≈ 0,02 (NF ≈ 8). В [14, 15] для круглых ЗД максимум был z̃ ≈ 0,1 (NF ≈ 1,6). В этом интервале и рассмотрим срезы U3 (α, β, z̃) по поперечной координате. Изменения Û (α, z̃) при разных (n, p) с ростом z̃ (41) качественно одинаковы и различаются количественно. Фаза (вначале нулевая) появляется и растет на краю плато и на спаде. Спад становится более пологим с почти локализованной при |Û | ≈ 0,5 точкой, и на краю плато растет выступ, сначала двигающийся к центру, а потом и ломающий плато на ряд провалов и выступов (сплошные линии на рис. 10).

Сравнение срезов U3 (α, β, z̃) для М-1,2,3 показало, что при z̃ = 0,02 ÷ 0,1 отличия U3 (α, β, z̃) малы и на плато, и на крыльях. На рис. 10 это показано для двух вышеупомянутых примеров. Кривые для М-2 и М-3 почти везде неразличимы. Т.е. вид U2 (u, v, f +f1) в углах спадов от модели М-3 до нуля не сказывается на поле за ПФ. Вполне можно брать модель М-3 (даже

М-1) для описания плато пучка за ПФ и влияния на него Ah.

Для изучения влияния Ah мы добавили к (40) в моделях М-1,3 разные виды Ah, подобранные под разницу (40) и (19): Гауссоиду (рис. 9) и 2 модели с быстро и медленно затухающими колебаниями у Ah по обе стороны от основного максимума – в виде J0 и sinc

Ah,exp(u ± u0) = bо exp[-kо (u ± uо)2 ],(42)

Ah jo( u ± u о) = bо J [ kо( u ± u о)],(43)

Ah,sinc(u ± uо) = bo sinc[kо(u ± uо)].(44)

а)

в)

г)

Рис. 10. Срезы |U3 (α, β = β0, z̃)| от α при разных β0 и моделях М-1,2,3 поля на выходе ПФ: (а),(б) – с Û (n = 21, p = 15) для (μ0; h) = (40; 0,4); (в),(г) – с Û(n = 65,p = 54)

для (μ0; h) = (30; 0,2)

Тогда для U2 (u, v, f +f1) в М-1,2,3 (40) меняется на UFG (n, p, u) +Ah (u – u0)+ Ah (u + u0). Для нароста Ah,exp интеграл в ПУ-3 рассчитывается аналитически [18].

Добавки Ah увеличивают отклонение фазы от нуля и искажения амплитуды на краю плато U3 (α, β, z̃). Мы рассчитали для трех вышеприведенных примеров в

М-1,3 роль Ah на расстояниях z̃ =0,02÷0,1 при параметрах Ah, отвечающих реальным значениям и при b0 в (42-44) в 1,5 ^ 5 раз больше. Во всех случаях влияние Ah на U3(α, β, z̃) оказалось малым. Вид Ah (43, 44) с затухающими колебаниями по бокам основного экстремума позволяют оценить вклад наростов для ЗД-3, поскольку, как видно из поправок к амплитудам в этом случае, например, на рис. 6, амплитудный нарост может получить дополнительную колебательную структуру. Влияние таких Ah сильнее, чем (42), но все равно малó. Рассчитали мы вклад Ah вида (43, 44) и при b0 < 0, как это может быть с ЗД-3. Ah тогда уменьшает искажения в U3 (α, β, z̃), но тоже мало.

В итоге оказалось, что наросты при квадратной ЗД меньше, чем при круглой с близкими значениями μ0 и h, и их влияние на пучок за ПФ слабее, даже если взять наросты близких размеров. Искажения пучка на рассмотренных z̃ определяются функцией (40), амплитудные экстремумы на плато лишь слегка увеличиваются при b0 > 0 или уменьшаются при b0 < 0, а фронт пучка остается близким к плоскому. Сами Ah и их вклад растут с ростом h (уменьшением n).

Поэтому в отличие от случая круглой ЗД нет необходимости убирать амплитудный нарост: это мало изменит вид и глубину модуляции пучка на рассмотренных расстояниях. И вырезание зубцов в углах квадратной ЗД заметно не влияет на вид U3 (α, β, z̃).

Заключение

В продолжение работ [7, 8, 14, 15] для круглых ЗД путем последовательного решения трех ПУ рассчитано поле на выходе и за аподизатором, состоящим из квадратных ЗД и ПФ. Основное внимание уделено различию результатов для круглых и квадратных ЗД.

Как и с круглой ЗД, с квадратной ЗД поле на выходе аподизатора при безразмерных параметрах: отношении высоты зубца ЗД к размеру ЗД hе[о,1; о,6], размеру ОД в фокусе ПФ р_ое[Ю;бо] и фазе, учитывающей дифракцию Френеля, δ ≤ 0,003, – близко платообразному пучку вида сплюснутого Гаусса [21], медленно искажающемуся при распространении. И отличается от него на краю плато небольшим амплитудным Ah и (при δ ≠ 0) фазовыми наростами. Различие здесь для круглых и квадратных ЗД в следующем:

• 1)    При близких параметрах аподизаторов наросты с квадратной ЗД меньше и влияние их на искажение пучка за ПФ на расстояниях z =1/(2пNf)е[о,о2^о,1] (что отвечает числам Френеля за ПФ NF ≈ 8÷1,6) меньше даже при одинаковых размерах наростов.

• 2)    Крылья пучка на выходе ПФ с круглой ЗД в приближении ГО выражаются через форму Φ(t) зубца ЗД функцией Φ (u)/ u, а с квадратной ЗД – Φ(u). Поэтому с квадратной ЗД при конечных μ0 спад крыла круче, менее плавен вблизи нуля и ближе форме зубца.

• 3)    При круглых ЗД отношение ширины и высоты зубца ЗД H / L не определяет близость крыла пучка к форме зубца: внизу крыла знаменатель Φ (u) /u сглаживает Φ(u), а на переходе от плато к крылу сильно сказывается дифракция. При квадратных ЗД появляется параметр Р = μ0h. Граничное условие для близости формы крыла и Φ (u) – Р ≈ 8÷10. Вместе с ограничением на размер ОД у ПФ, требование Р > 12 трансформируется в H/L > 6, что совпадает с рекомендацией [1]. При выполнении обратного условия H/L ≤ 6 форма крыла пучка заметно отлична от Φ(u); нужного вида для нее можно добиться и с помощью простых, например, треугольных зубцов подбором его параметров. В круглых ЗД это возможно при всех H/L.

• 4)    После обрезания ОД аподизатора поперечной структуры поля от круглых ЗД пучок обретает исходную радиальную симметрию. В квадратных ЗД это не так: из-за наличия у нее углов исходное поле в виде произведения одинаковых функций по поперечным осям приобретает в лучшем случае вид суммы таких произведений. От вида углов ЗД поле на выходе ПФ меняется как раз в области края плато, где находятся вышеупомянутые аплитудно-фазовые наросты, и на крыльях. Видом углов ЗД можно не только убрать амплитудный нарост (что в круглых ЗД требует дополнительных приспособлений), но даже получить вместо нароста выемку. Однако, т.к. при квадратных ЗД и наросты, и их роль в деформации пучков за ПФ слабее, чем при круглых, нет особого смысла подбирать специальные вырезы углов ЗД. Рассмотрев 3 варианта ЗД, с зубцами в углах и без них, мы показали, что и простой срез углов заметно не ухудшает качества выходного пучка и не сказывается на его деформации на расстояниях NF ≈ 8 ÷1,6 в числах Френеля.