Формирование волновых фронтов в продольно-неоднородных асимметричных градиентных волноводах

• △ Ф + к^ап^аФ = 0,                                                        (1)

где к = 2п/Х.

Уравнение (1) допускает точное решение в квадратурах лишь для ограниченного числа функций n(z) - эталонных профилей показателя преломления, обзор которых дан в [1].

Градиентные волноводы с симметричным профилем обычно аппроксимируются параболическим распределением показателя преломления. При этом уравнение (1) в параксиальном приближении эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора с переменной частотой. Это позволяет Для его исследования использовать хорошо развитые методы квантовой механики. Например, в [4] были найдены коэффициенты связи между модами начального и конечного продольно-однородных участков при наличии в волноводе регулярных продольных неоднородностей. Полученные выражения по- зволяют определить волновой фронт пучка на выходе волновода, если он известен на входе. При этом формирование требуемого волнового фронта можно проводить путем введения необходимых продольных неоднородностей среды.

С другой стороны, по известным параметрам пучка в таких волноводах можно решить обратную задачу - определять параметры неоднородностей среды. Так, в [5] для нахождения изменения градиентного параметра волновода и величины поперечного смещения оси предлагается использовать экспериментально полученные относительные интенсивности мод, а в [б] по измерениям конечной ширины пучка при различных начальных находить закон изменения продольных неоднородностей волновода.

Аналогичные задачи для асимметричных градиентных волноводов до сих пор не рассматривались, хотя и представляет интерес, так как ряд градиентных волноводов характеризуется ярко выраженной асимметрией. Такими волноводами являются большинство подводных звуковых каналов (ПЗК) глубокого и мелкого океана (например, ПЗК Средиземного моря [7]), а также ионосферные радиоканалы [2]. Асимметрия в поперечном распределении показателя преломления наблюдается также в диффузных интегрально-оптических световодах и активных волноводах, возникающих в поперечной плоскости гетероструктурных лазеров [з].

В данной работе для исследования формирования волновых фронтов в асимметричных волноводах предлагается использовать новый эталонный профиль, учитывающий продольные неоднородности градиентной среды. На основе предложенного модельного профиля исследуются задачи:

• -    влияние параметров продольных неоднородностей на волновой фронт излучения;

• -    восстановление параметров неоднородностей по известным параметрам излучения.

Для простоты рассматривается двумерный волновод и вводится эталонный профиль показателя преломления:

na(x; z) = na(x0; z) - ша(ха-х=) - 2 g - 1,) х>0, q>0        (2)

где:

хо - координата оси волновода;

n(xo; z) - показатель преломления на оси;

со - градиент показателя преломления; g - параметр асимметрии.

Уравнение (1) в параксиальном приближении для профиля (2) эквивалентно уравнению Шредингера для сингулярного осциллятора, что позволяет для его исследования использовать методы квантовой механики [8].

Произвольное поле |Ф> в волноводе (2) можно разложить по модам, причем квадраты модулей коэффициентов разложения |<п|Ф>|а задают распределение поля между модами. Если среда однородна в продольном направ- пении, то в параксиальном приближении все моды распространяются с одинаковыми групповыми скоростями (спектр постоянных распространения мод эквидистантен [9]) и начальный фазовый фронт возбуждающего пучка периодически восстанавливает свою форму. Причем в промежутках между значениями z, при которых восстанавливается фронт пучка, зная параметры среды, легко рассчитать фазовый волновой фронт пучка.

Наличие продольно-неоднородного участка в среде (2) приводит к пе рераспределению энергии между модами, т.е. к изменению амплитуды поля волны.

Авторами найдены коэффициенты связи мод и реккурентные соотношения для их расчета при стыковке двух асимметричных градиентных волноводов.

Полученные соотношения позволяют определить волновой фронт пучка во втором волноводе, если он известен в первом.

Приведем выражение для интегралов перекрытия мод

a +n+l 2

m+1

2v'~to~toT , .             to. > .     „ х a +m+l,

Tn = (___l^J^+^^r—)г(а1~а2> (ГГ—---- m to1+to2                 'to2               L n+1,

Ha^J+l                                  2Ul 2co2

x rF-----;------5-1 • F (^ (a +a )+l; -n, -m; a +1, a +1;—-—,      - ) ,

¹ L a+1, a₂+l^J a 1 a          '1'2 to^a^ to₁ +w₂

где:

|m>, In> соответственно моды первого и второго волноводов;

а , а , 1 '      2 '

Ь , Ь ,

'Ь1

Р          1

= П Г (а. )/ П Г(Ь ) ;

k=i к г=1

F(t) - гамма-функция;

F2 - функция Коэффициенты перекрытия между

Аппеля двух переменных.

связи Wn определяются квадратами модулей интегралов m модами, координата оси волновода связана с парамет-

i=l,2.

а смещение оси волновода также полностью определяется через заданные

Далее исследуется влияние регулярного продольного изменения гра диента среды на волновой фронт пучка при a=const. В этом случае также найдены коэффициенты связи между модами и реккурентные соотношения для их расчета. Коэффициенты связи симметричны W^=W^ и полностью определяются численными параметрами: R - коэффициентом надбарьерного отражения [4] и а - параметром асимметрии среды (2).

Для экспериментального определения данных численных параметров можно использовать относительные интенсивности мод q(m, n)=Wm/W° n °

R - Йот - 4(1.0)] a,                                  (6)

, , q^a(l,0) - q(2,0)   .                                        ,„

q(2,0) - q2(l,0)/2

В случае стыковки двух волноводов при a=const и различными о^ , ш₂ градиентными параметрами можно оценить параметр R.R = ——--- = -г- . Тогда из (6) получаем оценку изменения градиентного параметра.

В заключение метод восстановления закона продольных неоднородностей волновода с параболическим профилем показателя преломления, который предложен в [б] , обобщается на асимметричные волноводы (2).

Данная задача сводится к решению интегрального уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко:

К(х, у) + F(x+y) + "к(х, y)F(t+y)dt=0, х<у,

X где: F(x)=n 1 Re/r (со)е ^шхбш - спектральная функция; 9

• г(ш)=R^•eⁱ^⁶2~®i) - коэффициент отражения.

Для определения спектральной функции необходимо найти коэффициент отражения при различных ширинах падающего на неоднородный участок пучка. Коэффициент отражения можно вычислить, используя выражение [9];

• <х²> = —^^----{(1+R) ^a+4Rcos26 -4r²cos6 [cos(2to₊E+26 -6 )+Rcos (2to₊g-6 )])

kto+(l-R)2         11       12

Данное выражение связывает конечную ширину пучка с коэффициентом отражения. Определяя таким образом спектральную функцию и решая интегральное уравнение, находим К(х, у) и восстанавливаем неизвестный ша(Е) = - д^К(х, х).