Фрактальная математическая модель срока эксплуатации силовых трансформаторов распределительных электрических сетей 6-10 кВ

Материалы и методы

Для определения зависимости изменения АЧХ силового трансформатора от наличия дефекта его активной части [2], а также срока и условий его эксплуатации, были проведены измерения с записью АЧХ группы силовых трансформаторов ТМГ 400/6 (рис. 1), которые эксплуатировались в условиях умеренного и арктического климата [7]. Анализ АЧХ новых силовых трансформаторов показал, что их графики АЧХ в той или иной степени подобны графикам, полученным в результате моделирования. Однако, в зависимости от мощности силового трансформатора – амплитуда и частота резонансных пиков существенно отличается от результатов моделирования. В той же мере на результаты повлияли условия и методы, повышающие эффективность эксплуатации силовых трансформаторов [8].

Для сравнительного анализа АЧХ воспользовались методом исследования самоподобия графиков и определения индекса фрактальности для каждого из них. Полученные индексы фрактальности графиков АЧХ исследуемых новых силовых трансформаторов изменяются нелинейно в зависимости от срока и условий эксплуатации силовых трансформаторов, оставаясь практически неизменными при средних значениях срока эксплуатации трансформаторов от 0 до 60 лет (таблица 1).

Таблица 1

Индексы фрактальности силовых трансформаторов с повреждениями

МАРКА	СРОК ЭКСПЛУАТАЦИИ, лет	ИНДЕКС ФРАКТАЛЬНОСТИ	ПРИМЕЧАНИЕ
ТМГ 400/6	0	0,35	-
ТМГ 400/6	5	0,352	Воздействие ВГ
ТМГ 400/6	10	0,37	Воздействие пониженных температур
ТМ 400/6	16	0,377	Воздействие пониженных температур
ТМГ 400/6	22	0,386	Воздействие ВГ
ТМЗ 400/6	28	0,391	Воздействие ВГ
ТМЗ 400/6	32	0,41	Воздействие ВГ
ТМГ 400/6	34	0,42	Воздействие ВГ
ТМ 400/6	37	0,492	Воздействие пониженных температур

МАРКА	СРОК ЭКСПЛУАТАЦИИ, лет	ИНДЕКС ФРАКТАЛЬНОСТИ	ПРИМЕЧАНИЕ
ТМ 400/6	45	0,5	Воздействие ВГ
ТМГ 400/6	48	0,613	Воздействие ВГ
ТМ 400/6	60	0,618	Воздействие ВГ

Примечание. Воздействие пониженных температур при длительной эксплуатации СТ в равной степени снижает остаточный ресурс подобно воздействию высших гармоник (ВГ) [10], [24].

Рисунок 1. Сравнение АЧХ силовых трансформаторов мощностью 400 кВА

Из графика на рисунке 1 видно, что при возникновении повреждений в активной части силовых трансформаторов марок ТМ, ТМГ, ТМЗ мощностью 400 кВА, таких как: межвитковые замыкания, нарушение главной и продольной изоляции обмоток, смещение обмоток, нарушение изоляции между отдельными листами шихтованной стали магнитопровода, - частоты резонансов, а также их амплитуды изменяются. При этом, наблюдается уменьшение количества пиков резонансов и увеличение амплитуды резонансов при наличии повреждений в среднем на 22,3%.

Для исследования двух графиков рассчитаны их индексы фрактальности с помощью клеточного анализа (метода фрактального анализа). Для графика «Новый СТ» индекс фрактальности составил 0,32. Для графика «СТ с повреждениями» индекс фрактальности составил 0,58. Для определения конкретных видов повреждений СТ необходимы исследования зависимости индекса фрактальности от изменения параметров схемы замещения силового трансформатора (емкости, индуктивности).

Для решения поставленной задачи определения резонансов АЧХ нового силового трансформатора проведено исследование универсальной расчетной модели силового трансформатора с усредненными параметрами схемы замещения силовых трансформаторов 6-10 кВ марок ТМ, ТМГ, ТМЗ с мощностью 400 кВА в ПО Multisim (рис 2) [18]. Под «усредненными параметрами» приняты средние арифметические значения электрических параметров схемы замещения группы исследуемых силовых трансформаторов.

Рисунок 2. АЧХ модели нового силового трансформатора в ПО Multisim

Как видно из рисунка 2, амплитудные пики расчетной модели силового трансформатора в ПО Multisim соответствуют экспериментальным исследованиям (рисунок 1), проведенным на новых силовых трансформаторах марок ТМ-400, ТМГ-400, ТМЗ-400.

в)

Рисунок 3. АЧХ схемы замещения нового СТ

Для получения АЧХ схемы замещения СТ в ПО Multisim проведено моделирование данной схемы с получением графиков АЧХ и их исследования на предмет резонансов. На рисунке 3 представлен график АЧХ с маркерами, установленными в точках наибольшей амплитуды: а) первый резонанс, б) и в) - второй и третий резонансы соответственно. Полученные значения в токах резонансов будут являться базовыми при проведении сравнительного анализа значений в точках резонансов для графиков с измененными параметрами емкости и индуктивности. Параметры резонансов представлены в таблице 2.

а)                               б)                               в)

Рисунок 4. АЧХ схемы замещения СТ с измененными емкостями

Таблица 2

Параметры резонансов АЧХ схемы замещения СТ

График АЧХ	Частота, кГц	Уровень, дБ
а)	29,5	29,2
б)	56,2	42,4
в)	87,1	36,3

АЧХ схемы замещения СТ с измененными параметрами, соответствующими наличию таких дефектов в активной части СТ как межобмоточные замыкания, нарушение главной изоляции СТ, вызывают изменение емкости в схеме замещения СТ, в свою очередь межвитковые, межслойные замыкания, а также нарушение изоляции шихтованной стали магнитопровода, вызывают изменение индуктивности в схеме замещения СТ. На рисунке 4 представлен график АЧХ схемы замещения СТ с измененными емкостями, где: а) первый резонанс б) и в) второй и третий резонансы соответственно. Параметры данных резонансов представлены в таблице 3.

Таблица 3

Параметры резонансов АЧХ схемы замещения СТ с измененными емкостями

График АЧХ	Частота, кГц	Уровень, дБ
а)	29,5	31,6
б)	55,0	17,4
в)	87,1	27,7

Из приведенных данных в таблице 3 видно, что увеличение значений проходных межобмоточных емкостей на величину не более 5% от исходных приводит к смещению второго резонанса вниз по частоте более чем на 1кГц, а изменение сигнала по уровню – более чем в 2 раза, что является показателем изменений в системе межобмоточной изоляции трансформатора [19].

б)

Рис. 5. АЧХ схемы замещения СТ с измененными индуктивностями

Таблица 4

Параметры резонансов АЧХ схемы замещения СТ с измененными индуктивностями

График АЧХ	Частота, кГц	Уровень, дБ
а)	29,5	29,6
б)	56,2	29,7
в)	87,1	31,4

Из приведенных данных в таблице 4, в соответствии с рисунком 5, видно, что изменение значения индуктивности одной из обмоток не влияет на частоты резонансов, однако, приводит к изменению всех трех величин резонансов по уровню, что является показателем изменений механического состояния обмоток трансформатора. С целью выявления зависимости формы и структуры графика от наличия повреждений активной части исследуем полученные АЧХ силовых трансформаторов с помощью метода клеточного фрактального анализа (рисунок 6).

Рисунок 6. Построение минимального клеточного покрытия графика осциллограммы (выходной сигнал), где f(t) – амплитуда сигнала в мВ, t, с – время в секундах.

Для исследования фрактальной структуры, полученных в ходе проведения исследования осциллограмм новых СТ и с повреждениями, предлагается использовать вычисление их фрактальной размерности путем определения их клеточной размерности Dc. Dc – размер наименьшей клетки со стороной ε, на которые можно разбить плоскость графика, каждая из которых содержит хотя бы одну точку графика. Для этого необходимо разбить плоскость графика полученной осциллограммы на клетки размером ε и определить число клеток N(ε), в которых определена хотя бы одна точ- ка графика. Для определения числа клеток выбран конечный участок, определяемый отрезком [a, b] на горизонтальной оси. График функции покрываем прямоугольниками с основанием ε и высотой равной амплитуде колебаний Ai(ε), определяющей разности максимального и минимального значения функции на отрезке ε.

Таким образом, для вычисления величин индексов фрактальности использовано выражение:

Тогда полную площадь минимального покрытия Sµ( ε) можно записать в виде: Sµ( ε) = V ƒ ( ε) ε. Поэтому из соотношения S( ε)~ε^2-D следует, что V ƒ ( ε)~ ε^{- µ} при ε → 0, где . Назовем размерность D _µ размерностью минимального покрытия.

Так как D _µ = D и для одномерной функции топологическая размерность Dt = 1, то из формулы µ = D _µ - 1, следует µ = D - Dt , где µ - индекс фрактальности, D _µ – размерность минимального покрытия, Dt – топологическая размерность, Ai – амплитуда функции ƒ(t) .

Полученные индексы фрактальности графиков АЧХ группы силовых трансформаторов ТМ, ТМЗ, ТМГ мощностью 400 кВА – новых и имеющих повреждения: межвит-ковые замыкания, нарушение главной и продольной изоляции обмоток, смещение обмоток, нарушение изоляции между отдельными листами шихтованной стали магнитопровода со сроком эксплуатации от 0 до 60 лет приведены в таблице 1 [11], [20].

Таблица 6

Динамика прироста индекса фрактальности на интервалах жизненного цикла массива СТ

№ п/п	Интервал, лет	µ , в год
1	0-10	0,0004
2	10-32	0,0025
3	32-48	0,00864
4	48-60	0,00641

Скорость прироста индекса фрактальности непостоянна на участках и показывает резкое увеличение индекса после значения 0,4 на этапе появления дефектов в активной части СТ в 1,5~2 раза.

Рисунок 7. Изменение индекса фрактальности на временных участках срока эксплуатации СТ

Темп прироста индекса фрактальности на участке 2 (10-32 лет) по отношению к предыдущему периоду эксплуатации на участке 1 (0-10 лет) составил 525 %, что означает увеличение индекса в 5,25 раз; в период эксплуатации на участке 3 (32 до 48 лет) по отношению к предыдущему участку 2 (10-32 лет) прирост индекса фрак-тальности составил 244 %, что означает увеличение индекса в 2,44 раза. В период эксплуатации на участке 4 (48-60 лет) по отношению к предыдущему периоду эксплуатации на участке 3 (32-48 лет) индекс фрактальности снизился на 25 %. Расчет прироста проводился по формуле (B * 100 / A) - 100 = C, где B – искомый участок, A – предыдущий участок.

Из графика на рисунке 7 видно, что наибольший абсолютный прирост индекса фрактальности наблюдается на участке 3 (32-48 лет), что означает наибольшее изменение эксплуатационных параметров (таблица 4), способных повлиять на дальнейшую вероятность отказа СТ.

Строим график изменения индекса фрактальности µ (t) по данным экспериментальных исследований парка СТ (таблица 1).

Рисунок 8. Изменение индекса фрактальности в период эксплуатации СТ

Индекс фрактальности для графика силовых трансформаторов мощностью 400 кВА (рис. 8) при эксплуатации до 30 лет составил в среднем 0,38, а для трансформаторов с неисправностями и достигших предельного состояния – 0,51 [13]. Исходя из данных приведенных в таблице 1 видно, что изменение индекса фрактальности имеет прямую зависимость от срока, условий эксплуатации и накопленных внутренних повреждений активной части СТ.

Результаты

Для визуализации данной зависимости построим гистограмму изменения индекса фрактальности от срока эксплуатации на участке от 0 до 60 лет (рис. 9).

Рисунок 9. Гистограмма изменения индекса фрактальности

Представленная гистограмма и полиноминальная аппроксимирующая распределения индекса фрактальности построена на основании данных 125 силовых трансформаторов марок ТМ, ТМЗ, ТМГ мощностью 400 кВА по объектам ООО «ЭККА», ЗАО «СГЭС». ПАО «Россети».

Кривая распределения индекса фрактальности исследованного массива СТ получена методом полиномиальной кубической интерполяции сплайном.

Уравнение (2) представляет собой сплайн, где коэффициенты a, b, c, d – коэффициенты полинома. Для определения математического закона изменения сплайна для каждого участка гистограммы разобьем его на соответствующие временные участки и произведем расчет коэффициентов a, b, c, d.

На каждом временном участке ' _ = функция сплайна S(t) представляет собой полином третьей степени S(t) , для определения коэффициентов которого запишем S(t) в виде:

5.(0 = а. + b^t - tj + q(t - ttY -Vd\t-t.)3

тогда

В соответствии с условиями непрерывности производных функция S(t) в пределах временного участка t _i-1 , t _i периода эксплуатации СТ значение функции не изменится. Аналогично и для второй производной функции S(t) скорость изменения значения функции на данном временном участке не изменится:

^t(^i-l)   ^i-l(^i-l)'