Фракталы. Построение фрактальных множеств

Вся компьютерная графика делиться на: растровую, векторную и фрактальную. В школьном курсе информатики выделяют только первые два вида, а фрактальной не уделяют должного внимания.

Фракталы стали известны с конца 70-х годов. Создателем «фрактала» является Бенуа Мандельброт. Они изучены на достаточном уровне и имеют различные применения в жизни. Фрактал, как явление, построен на основе очень простой идеи: получение бесконечно красивых и разнообразных фигур из сравнительно простых конструкций. В этом помогают две операции: копирование и масштабирование.

У понятия «фрактал» нет строгого определения. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• •    обладает сложной структурой при любом увеличении;

• •    является (приближенно) самоподобной;

• •    обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;

• •    может быть построена рекурсивными процедурами.

Фракталы классифицируют на:

• 1)    Геометрические – не дифференцируемые в каждой точке функции. Очень наглядные. (триадная кривая Коха или по-другому «снежинка Коха», "дракон" Хартера-Хейтуэя, ковер Серпинского и др.),

• 2)    Алгебраические – строятся с помощью алгебраических формул. (множество Мандельброта, множества Жюлиа, фрактал Галлея, фрактал Ньютона ).

• 3)    Стохастические. Они получаются, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры.

Применение фракталов

• •    Компьютерная графика.

• •   Анализ рынков .

• •   Физика и другие естественные наук и.

• •    Фрактальные антенны.

• •    Сжатие изображений.

• •    Децентрализованные сети.

Для построения фракталов существует ряд программ, таких как : Apophysis, Art Dabbler, Ultra Fractal, ChaosPro и другие.

При изучении Microsoft Excel для учащихся был составлен алгоритм построения «природного» фрактала. Он показывает, что красоту можно получить и в обычной офисной программе.

Алгоритм построение фрактала «Лист папоротника» в Microsoft Excel.

• 1.    Записать a, b, c, d, e, f, p, p_накопленная соответственно в ячейки A, B, C, D, E, F, G, H;

• 2.    Записать «рандом» в ячейку A8;

• 3.    В ячейки В7, С7 записать соответственно х0, у0;

• 4.    В ячейки B8, C8 записать 0;

• 5.    В ячейку A2 записать 0,85;

• 6.    В ячейку A3 записать -0.15;

• 7.    В ячейку A4 записать 0,2;

• 8.    В ячейку A5 записать 0;

• 9.    В ячейку B2 записать 0,04;

• 10.    В ячейку B3 записать 0,28;

• 11.    В ячейку B4 записать -0,26;

• 12.    В ячейку B5 записать 0;

• 13.    В ячейку C2 записать -0,004;

• 14.    В ячейку C3 записать 0,26;

• 15.    В ячейку C4 записать 0,23;

• 16.    В ячейку C5 записать 0;

• 17.    В ячейку D2 записать 0,85;

• 18.    В ячейку D3 записать 0,24;

• 19.    В ячейку D4 записать 0,22;

• 20.    В ячейку D5 записать 0,16;

• 21.    В ячейки с E2 по E5 записать 0;

• 22.    В ячейку F2 записать 1,6;

• 23.    В ячейку F3 записать 0,44;

• 24.    В ячейку F4 записать 0,6;

• 25.    В ячейку F5 записать 0;

• 26.    В ячейку G2 записать 0,85;

• 27.    В ячейку G3 записать 0,07;

• 28.    В ячейку G4 записать 0,07;

• 29.    В ячейку G5 записать 0,01;

• 30.    В ячейку H2 записать формулу =$G2/CyMM($G$2:$G$5)*100;

• 31.    В ячейку H3 записать формулу =$G3/СУММ($G$2:$G$5)*100+H2;

• 32.    Растянуть ячейку Н3 до ячейки Н5;

• 33.    Записать в ячейку A9 формулу =СЛУЧМЕЖДУ(1;100);

• 34.    Копируем формулу из ячейки A9 до ячейки A20000;

• 35.    В ячейку B9 записываем формулу

• 36.    В ячейку С9 записываем формулу

=ЕСЛИ($A9<=$H$2;$A$2*$B8+$B$2*$C8+$E$2;ЕСЛИ($A9<=$H$3;$A$ 3*$B8+$B$3*$C8+$E$3;ЕСЛИ($A9<=$H$4;$A$4*$B8+$B$4*$C8+$E$4;

ЕСЛИ(A9<=$H$5;$A$5*$B8+$B$5*$C8+ $E$5))));

=ЕСЛИ($A9<=$H$2;$C$2*$B8+$D$2*$C8+$F$2;ЕСЛИ($A9<=$H$3;$C$3 *$B8+$D$3*$C8+$F$3;ЕСЛИ($A9<=$H$4;$C$4*$C8+$D$4*$C8+$F$4;Е СЛИ(A9<=$H$5;$C$5*$B8+$D$5*$C8+ $F$5))));

• 3    7. Растягиваем столбцы В9 и C9 до В20000 и C20000 соответственно;

• 3    8. На основе данных в ячейках B8:C20000 строим точечную диаграмму с маркерами.

Получаем вот такой график:

Лист папоротника

В хаосе, который окружает нас, на самом деле существуют идеальные формы. Природа является лучшим архитектором, идеальным строителем и инженером. Она устроена весьма логично, и если мы не можем найти закономерность, это не значит, что ее нет. Может быть, нужно искать в ином масштабе. С уверенностью можно сказать, что фракталы хранят еще немало секретов, которые нам только предстоит открыть .