Функции многих переменных и системы уравнений

Пусть дана функция F(x, у, z,„., u) п переменных с областью определения D(FY Упорядоченный набор и - 1 чисел (х, z..... и) назовем допустимым для F(x, у, z,..., м), если найдется число у такое, что упорядоченный набор (х, у, z,..., и) е DCF).

Функцию FCx, у, 2,..., и) назовем строго возрастающей (строго убывающей, взаимно однозначной, четной, нечетной, периодической с основным периодом ТСх, 2,,.., и)) по переменной у на множестве У, если для любого допустимого фиксированного набора (х, 2,..., и) функция f(y) = F(x, у, z,.„, и) будет строго возрастающей на Y г* DC f) (соответственно строго убывающей на У n DC0, взаимно однозначной на У г» DCfX четной, нечетной, периодической с основным периодом ТСх, z,..., uD, где D(f) — область определения функции fCyY

Пусть одно из уравнений некоторой системы может быть записано как

F(x,gCx,y,z,...1u),z,...,u) =

= F(x,/2(x,y,z,...,u),z,...,u),   (1)

где F(x, у, z,.„, и), у (х, у, z,..., и), Л (х, у, z,..., и) — функции п переменных. Ясно, что оно является следствием уравнения

• 9 (х, у, г,..., и) ^h (х, у, г,..., и).

Очевидно также, что если F(x₁, у, z^,..., Mj) = const, то любой упорядоченный набор (x_t, у, z а ,..., Uj ), содержащийся в ОДЗ уравнения (1), будет его решением.

Пусть (х₀, у₀, 2₀,..., и₀) — решение уравнения (1). Тогда оно будет решением уравнения

F(xo,9(x,y,z,...,u),2O,...,uo) =

= F(xo,A(x,y,z,...,M),Zo,...,uo)- ^)

Справедливо следующее утверждение.

Если функция F(x, у, z.....и):

• а)    взаимно однозначна по переменной У.

• б)    четна и взаимно однозначна по переменной у на [0; «);

• в)    периодична по у с основным периодом ТСх, 2 .....и) и для любого допустимого набора (х, z,.. ., и) найдется число аСх, 2,..., и) такое, что или на (а (х, z,„., и); а (х, z.....и) + ТСх, г,..., и)] , или на [я(х, г,..., и); а (х, г,..., и) + ТСх, г,..., и)) функция F(x, у, z,..., и ) является взаимно однозначной по у;

• г)    четна и периодична по у с основным периодом ТСх, ?,..., ы) и взаимно однозначна по у либо на [0; ТСх, г,..., и) / 2), либо на (0; Г(х, z..... и) / 2],

то уравнение (1) на своей ОДЗ равносильно соответственно:

• а)    уравнению <7 (x, у, z,..., u) = h (x, y, z,.„, u);

• 6)    совокупности двух уравнений g (x, у, z,..., u) = ± h (x, y, z,..., u);

• в)    бесконечному семейству уравнений g (x, у, z,..., и) = h (x, y, z,..., u) + nT (x, z,..., u\ где n e Z;

• г)    бесконечной совокупности уравнений g (x, у, z.....и) = ± h (x, у, z .....u) + + nT(x, z>.„, и), где n e Z.

Действительно, пусть, например, функция Fkx, у, z..... м) является четной и взаимно однозначной по переменной у. Очевидно, что уравнение (1) на ОДЗ будет следствием совокупности уравнений gC.x.y.z,.,.,^ = *h^x,y,z,...,uY   (3)

Пусть (n, у₀, z₀,..., и₀) — решение уравнения (1). Тогда оно является решением уравнения (2). Поскольку функция Ду) = F(x₀, у, z₀,.„, ы₀) четная и взаимно однозначная, то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений (3). Поэтому (х₀, y_Q, Zq,..,, u₀) есть решение совокупности уравнений (3). Тем самым доказано, что уравнение (1) и совокупность уравнений (3) равносильны на ОДЗ уравнения (1).

Аналогично доказываются и остальные пункты утверждения.

• Пример 1. Решите систему уравнений

22^-22"^=1-х-у, 2х+»-4х+1=3(х-у) + 6.

Решение. Если положим

F(x, у) = х - Зу + 2^2х " У, д(х, у) = х + у, h(x, у) = 1, ц(х, у) = х - у, v (х, у) = - 2, то система может быть записана в виде

F(y(x,y),y) = F(A(x,y),y),

F(x,u(x,y)) = F(x,y(x,y)).   ^

Функция F(x, у) является строго возрастающей по переменной х и строго убывающей по у. Поэтому система эквивалентна системе уравнений

(х + у = 1,

[х - у = -2.

Решая ее, получаем х = - 1/2, у = 3/2.

Пример 2. Решите систему уравнений

^х + у + ^jx-y = ^Зу -1 + ^у+ 1, ^х + 3у + ^х-Зу = ^2х + 1 -1.

Решение. Если считать, что

F(x,y) = ^х + у + ^х-у, д(х,у) = х, А(х,у) = 2у + 1, и(х, у) = Зу, и(х, у) = х + 1, то система запишется в виде системы (4). Очевидно, что функция F(x, у) строго возрастает по переменной х и является четной по у. Так как F(0,y) = 0, то пары (О, у) будут решениями второго уравнения системы при любом у. Подставив их в первое уравнение, получим: у = 0. Поэтому (0,0) — решение системы.

Пусть далее х * 0. Ясно, что F(x, у) непрерывна по переменной у и

F^=^

1 1

^(х + у)2 ^(х-у)2

при х * ± у. Если х > 0, у > 0 и х * у, то х + у > X - у, X + у > у - X. Тогда ]х + у] > |х - у| и, значит, (х +у)² >

> (х - у)2. Поэтому Fy(x,y)<0. Если же х < 0, у>0их*-у, тох + у > > х - у, - (х + у) > х - у. Тогда |х --у| > |х + у! и, следовательно, (х + у)2 < < (х - у)2 Отсюда вытекает, что Fy (х, у) > 0. Поэтому, если х > 0, то функция F(x, у) строго убывает по переменной у на [0; =); если же х < 0, то F(x, у) строго возрастает по у на [0; »). Следовательно, функция F\x, у) является взаимно однозначной по переменной у на [0; со) при х * 0 и, значит, при х * 0 система равносильна совокупности двух систем х = 2у + 1, Зу = ±(х +1).

Решениями этой совокупности будут пары (5, 2) и (1/5, -2/5).

Б итоге получаем, что решения заданной системы уравнений — пары (0, 0), (5, 2) и <1/5,-2/5).

Пример 3* Решите систему уравнений

2(l + tg(x-y))-

= (cos2y + sin 2ж) cos 2у, 2(tg= (cos2y + cos4x)sin2x.

Решение, ОДЗ системы — множество всех пар (ж, у) таких, что х+у^л/2* + nk, х * пт, у - х ^ л/2 + тт, где к, т, п е Z, Если примем

F^x, у) = 2tg(x + у) - sin2xcos2y, д(х, у) = л/4 - у, h (.х, у) = -х, и(х, у) - у, и (ж, у) = л /2 - 2ж, то систему можно записать в виде системы (4). Функция F(x, у) является периодической с основным периодом л как по переменной х, так и по переменной у. Поскольку

^Uy) =--зТ" ~ cos (ж + у)

- 2cos2x cos2y > 0

при всех хе (-у-л/2; -у+л/2), X * "У и любом у и

Fy^y')^ —27—;⁺ ' cos (ж + у)

+ 2sin2xsin2y > 0

Пример 4. Решите систему уравнений

• 2 (cos у cos (ж + 2у) -

• - 2cos(x + 2уУ) = cos² у - 2, cos ж cos² (2ж + Зу) + 3cos(2x + Зу) - - cos ж -3.

Решение. Если положим

F(.X, у) = СО3²у COST + Зсозу - 2созж, д(х, у) - х + 2у, h(x, у) = л / 3, и(х, у) - 2х + Зу, у (ж, у) = л, то система запишется в виде системы (4).

Функция Е(х, у) является четной и периодической с основным периодом 2л как по переменной ж, так и по переменной у. Поскольку

F^(x,y) = sin х(2 -cos²y),

Fy (ж, у) = - sin у (2 cos у cos ж + 3), то Л^(ж, у) > 0 при всех же (0; л)и любом у и Fy(x, #) < 0 при каждом у е е (0; л) и всех х. Поэтому функция Е(х, у) строго возрастает по переменной х на [0; л] и строго убывает по у на этом же сегменте. Отсюда следует, что система равносильна бесконечному семейству систем линейных уравнений х + 2у = +л /3 + 2лт,

2ж + Зу = ± л + 2лп, где т, п е Z. Таким образом, решениями исходной системы уравнений будут пары ( л+ 2л (2п - 3m)), (±л/3 + 2л(2т - и)), т, п е Z.

В построении предыдущих систем уравнений использовалась одна функция F. Приведем пример системы, в составлении которой участвуют две функции.

Пример 5. Решите систему уравнений

^2х^+у + у = 2(jc² + |jr|),

• ■ д/20 + 2 т + г/ + ^20 - у =

= V30 + х + V10 + х.

Решение. Пусть

F^x.y) = V²^² *У ^У* h(,x_t у) = у, дЦс, у) = 2т²,

F^Xx, у) = ^20+ х + у + з/20 + х - у ,

и(,Х, у) = X + у, D^X, у) = 10.

Тогда система запишется в виде

F^x,g(.x,yY) = Р^х,Нх,уУ), F^Cx, иХх, у)) = F2 (х,и(х, у)).

Функция F^ (х, у) строго возрастает по переменной у, а функция Р₂ (х, у) является четной и строго убывающей по у на [0;+ “). Поэтому система уравнений на ОДЗ эквивалентна совокупности двух систем

, 2х² = у, х + у = ±10.

Решениями этой совокупности систем будут пары (2; 8) и (- 5/2; 25/2). Легко заметить, что они входят в ОДЗ исходной системы и, значит, являются ее решениями.

Рассмотренные методы обобщают изученные ранее в [1] и [2] методы решения уравнений и их систем, придают теории уравнений необходимую целостность, выявляют внутрипредметные и межпредметные связи.

Для студентов-математиков знакомство с этим материалом целесообразно по многим причинам. Во-первых, после изучения функций многих переменных понятие «свойство функции по переменной» не вызывает у них затруднений, так же как и понятие «частная производная». Во-вторых, благодаря указанным понятиям происходит осознанное использование уже известных понятий (монотонности, четности, периодичности и т. д.). В-третьих, специфика рассмотренных уравнений и систем позволяет быстро освоить технологию их конструирования, что очень важно для учителя математики. В-четвертых, данные понятия и методы решения формируют основу для последующей профессиональной деятельности, вооружая современными научными трактовками школьного курса и методами изложения школьной математики.