Функция восстановления и оптимизация стратегий эксплуатации технических систем при наработках, распределенных как смесь распределений

Рассматриваются три характерные задачи математической теории надежности восстанавливаемых технических систем. Это выбор функции распределения наработок элементов до отказа в процессе восстановления, нахождение функции восстановления и определение оптимальной стратегии эксплуатации по критерию минимума интенсивности эксплуатационных затрат. Для многих классических законов распределения, например экспоненциального, Вейбулла-Гнеденко, Эрланга, гамма-распределения, нормального, усеченного нормального, логарифмически нормального, обратного гауссовского, Релея, эти задач хорошо исследованы, Вместе с тем эти законы не могут описать разнообразие распределений наработок элементов технических систем при их эксплуатации. Например, плотности вероятности перечисленных законов не более чем одномодальны, хотя у наработок плотности могут быть бимодальными (двугорбыми) и даже полимодальными, или когда функция распределения наработки до отказа является смесью двух или большего числа функций распределения из множества известных законов распределений. В связи с этим перечисленные задачи изучаются для случая, когда наработки распределены в виде смеси функций распределений. Особое внимание уделено смеси экспоненциальных распределений. Это объясняется тем, что у интенсивности отказов такой смеси имеется период приработки, который характерен для начального периода эксплуатации многих технических систем, после которого интенсивность отказов почти постоянна. Это ее важное отличие от широко применяемого в теории надежности экспоненциального распределения, у которого интенсивность отказов постоянна, а период приработки отсутствует. Для простого процесса восстановления в явном виде получены функции восстановления (математическое ожидание числа отказов на промежутке от нуля до ) для смесей двух экспоненциальных и двух нормальных распределений. Для общего процесса, когда первая функция распределения наработки - смесь , а вторая и следующие - смесь двух экспоненциальных распределений, также получена в явном виде функция восстановления. Для трех стратегий эксплуатации технических систем (в двух из них наряду с аварийными проводятся профилактические восстановления) при наработках, распределенных как смесь экспоненциальных распределений, рассмотрена задача выбора оптимальной по критерию минимума интенсивности эксплуатационных затрат. Методом моментов получены явные формулы точечных оценок трех параметров, входящих в смесь двух распределений Эрланга порядка