Гейтинговозначный анализ и пучковые ассоциативные кольца

Гейтинговозначный анализ и, в частности, булевозначный анализ алгебраических структур представляют собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности, для доказательства независимости от аксиом некоторых гипотез теории множеств, например континуум-гипотезы. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализ могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем. Булевозначный анализ эффективно используется в связи с проблемами функционального анализа. Гейтинговозначный и булевозначный анализы применяются также для решении чисто алгебраических проблем теории доказательств и теории моделей. Например, В.А. Любецкий, развивая метод гейттинговозначного анализа, изучал две традиционные логические проблемы: о переходе от выводимости в классической теории к выводимости в соответствующей интуиционистской теории и о построении модельного компаньона. На основе исследования этих проблем В.А. Любецким получены алгоритмы, компьютерно-реализуемые в «реальное время» и связанные как с задачей эффективизации доказательства, так и с задачей обобщенного описания.

Методами булевозначного анализа изучались алгебры мер на локально-компактных группах. В частности, там доказана независимость некоторого утверждения о локально-компактных группах от аксиом множеств Цермело-Френкеля ZF. Озава, основываясь на результатах Такеути, доказал неоднозначность степеней однородности для AW ^* – алгебр. К.И. Бейдар и А.В. Михалев разработали метод ортогональной полноты, который связан с булевозначным анализом, хотя не использует булевозначный универсум и имеет другие существенные отличия от гейтинговозначного и булевозначного анализов.

Пучки и оценки в алгебраических системах

Рассмотрим конструкцию пучка, определенного на решетке, и связанную с ней терминологию. Любая решетка Ω рассматривается как категория, объектами которой являются все элементы решетки и в которой определяются с помощью отношения порядка: если u,v ∈ Ω и u ≤ v, то Hom(u,v) ↔ {1}, а если u , то Hom(u, v) ↔ ∅ , где смысл знака ↔ здесь и дальше «равно по определению» или «эквивалентно по определению». Предпучком на решетке Ω называется любой кон-травариантный функтор F(⋅) , определенный на категории, соответствующей решетке Ω со значениями в какой-то подкатегории C категории всех множеств Set . Классическим примером предпучка является предпучок на решетке, состоящей из всех открытых подмножеств произвольного фиксиро- ванного топологического пространства X . Такая решетка τ называется топологией; конечно, в этом случае <71 < <72 ^ (с1 с <72). Пучком на решетке fi называется любой предпучок на этой решетке, обладающий свойством:

V{ka} V{ua }

α

Vave(Pu_aл ue (ka) = Pu„ л ue (ke)) ^ 3! k g F (u )(Va(p_Ua (k) = ka))), где p^vv (в случае u< v) - морфизм категории C, являющийся значением предпучка на единственном морфизме u в v . Иногда вместо p_u (k) пишут k u .

Оцениванием (оценкой) в данном языке для фиксированной решетки называется сопоставление каждой формуле ф этого языка элемента решетки fi (обозначаемого [ф]_fiили короче [ф]), при котором логические связки языка моделируются операциями в fi. Последнее означает, что [ф v ф]=[ф]v[ф ], [ф л ф]=[ф]л[ф ], [—ф] = —[ф], [ф ^ ф]=[ф]^[ф ], где в левых частях равенств те же символы v,л, —, ^ (одноименные со связками) суть операции в решетке fi . И так далее для всех других пропозициональных связок. Кванторы (связанные переменные), кроме решетки fi, требуют еще указания некоторого фиксированного множества D - множества параметров данного языка. Тогда [3хф] = U {[ф(k)] | k g D} и [Vхф] = П {[ф(k)] | k g D} также для других связок кванторного типа. Здесь операции U, v применяются уже к подмножествам решетки fi. Обычно операции U, v и л, П - это точные верхние и нижние грани в решетке fi . Чтобы подчеркнуть выбор множества параметров D, оценку иногда обозначают [-]_{n D} или [•]_D . Обозначим 1 = Ufi.

Обозначим ^(D) множество всех предложений языка ^ с множеством параметров D. Тогда оценивание - одноместная функция вида [•]: ^(D) ^ fi , удовлетворяющая отмеченным выше индуктивным условиям. Часто множество ^(D) обозначают просто ^ , а формулы с параметрами из множества D называют просто формулами. Если функция [•] определена только на атомарных формулах языка, то она однозначно продолжается на все множество ^(D). Итак, кроме обычной истинности суждения ф в некоторой математической структуре K (обозначаемой K ^ ф ) возникает новый вид истинности (новая семантика) [ф]_fi= 1 (обозначаемая иногда ^Q, D^ ^ ф) или короче fi ^ ф , или иногда D ^ ф . Здесь [J_fiD - фиксированная оценка, некоторым образом связанная с исходной структурой K. Предикат fi ^ ф называют глобальной истинностью суждения ф ; иногда он читается « ф значимо в решетке fi ».

Обычно исходная структура K допускает неоднозначный выбор соответствующей решетки fi = fi(K) (в качестве D обычно берется носитель структуры K) и неоднозначный выбор соответствующей оценки [•] (в этом случае оценку удобно обозначать [•]K ). При этом мы хотим, чтобы для многих формул ф выполнялось [ф]K = 1 (хотя, быть может, K ^ ф ). Класс формул ф, для которых [ф]K = 1 обозначим Ф+ (K). С другой стороны, обозначим Ф- (K) класс формул ф , для которых выполняется: если [ф]K = 1, то K 1“ ф . Обычно оценка [•]K замкнута относительно некоторой выводимости (зависящей прежде всего решетки fi и в этом смысле обозначаемой ^ ). Под замкнуто-fi стью мы понимаем: если ф^-ф и [ф]K = 1, то [ф]K = 1.

Типичное и, возможно, основное применение гейтинговозначного анализа состоит в следующем.

Если ф g Ф _(K), то в K может все-таки выполняться определенное утверждение ф , где ф -формула исходного языка, тесно связанная с формулой ф ; например, ф эквивалентна глобальной истинности формулы / . Можно сказать, что следствия / и / , мифических для структуры свойств ϕ1 ,...,ϕn , истинны в структуре (уже в самом обычном смысле). Такую ситуацию называют теоремой переноса. Здесь естественно возникают и теоремы переноса «по логике»: утверждение в посылке рассматриваются в интуиционистской логике.

В рамках этой общей схемы теорем переноса возникают конкретные направления исследований. Во-первых, исследуется, каким образом по заданному алгебраическому объекту K следует выбирать полную гейтингову алгебру Q(K): и оценку [•]K . Вторая проблема - отыскание классов формул Ф₊(K) и Ф_ (K) и нахождение общих схем теорем переноса и конкретных содержательных примеров теорем переноса.

В настоящей работе получены результаты в этих направлениях. По первому направлению известен следующий общий ответ: для алгебраической системы методы гейтинговозначного анализа особенно эффективны, если удается построить такой содержательный пучок F(•) на полной гейтинговой алгебре Q, что K = F (1) («пучок F (•) представляет систему K »). В связи с этим важен вопрос о наличии такого пучка F(•). Примеры таких пучков можно найти в [2-5]; однако все эти пучки заданы на топологии т некоторого пространства, связанного с системой K. Таким пучкам F(•) соответствуют оценки [J_t, замкнутые относительно интуиционистской выводимости (так как [фV—ф]_т< 1 практически для всех формул ф). Поэтому особый интерес вызывают пучки F(•), определенные на полных булевых алгебрах B . В этом случае пучку F(•) соответствует оценка [•]B , которая замкнута относительно классической выводимости. Последнее обстоятельство, конечно, весьма существенно, так как вопрос о том, что интуиционистски выводимо (а что не выводимо), сам по себе весьма сложен.

Булевы оценки в пучковых ассоциативных кольцах

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, а B = B(R) булева алгебра его центральных идемпотентов. Тогда естественным образом определяется предпучок F(•) на B. А именно, полагаем F(e) = eR, где e е B, а также если e1< e₂, то pe1^e2= e1 r , где e1, e₂е B и r е F(e₂). Этот предпучок называется каноническим предпучком на B .

Напомним, что полупервичным называется кольцо, у которого пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Идеал I называется первичным, если I ^ R и VI1, VI₂ (I1 • I₂сI ОI1 сIVI₂сI, где I₁ ,I₂произвольные идеалы в R . Правый идеал I кольца R называется плотным, если для каждого элемента r е R левые аннуляторы множеств {5 е R |r • 5 е I} равны нулю; кольцо R - называется рационально полным, если для любого плотного правогоd идеала D и любого гомоморфизма f е H om_r (D, R) найдется элемент r е R такой, что Vd е D(f (d) = dr).

Пусть R – полупервичное кольцо, идеал I кольца R . Тогда известны следующие свойства:

• 1.    Левый аннулятор идеала I равен его правому аннулятору, т.е * I = I * .

• 2.    I плотный идеал тогда и только тогда, когда I* = {0} .

• 3.    I n I* = {0}, I +1 * плотный идеал кольца R .

Предложение 1. Если R – полупервичное рационально полное кольцо, то любой аннуляторный идеал выделяется прямым слагаемым.

Доказательство. Пусть I – идеал кольца R , I * – правый аннулятор идеала I в R . Определим отображение h: I +1 * ^ R по правилу h (a + b) = b, где a е I, b е I * . Отображение h корректно определено, так как I +1 * прямая сумма. Легко проверить, что h есть гомоморфизм R -модулей. По условию кольцо R рационально полное, значит, 3 и е R такой, что h(c) = и • c, где c е I +1 *. Покажем, что и - центральный идемпотент кольца R . Пусть b е R, buc = bh(c) = h(bc) = ubc . Следова- тельно, (bu - ub) • c = 0 для всех c е I +I *. Из плотности идеала I +I * следует bu = ub . Осталось показать, что u2 = u . Итак, u2c = uh(c) = h(uc) = uc , так как uc е I *. Действительно, так как c е I +1 *, то 3 c1 е I, Я c2 е I * . Выполнены uc1 = 0, uc2 = c2. Значит, uc = uc1 + uc2 = uc2 е I *. Следовательно, (u2 - u) • c = 0 для всех c е I +1 *. Докажем, что I * = uR . Действительно, ura = 0 для всех a е I. Если r • I = 0 , то r е I * и ur = r. Предложение доказано.

Определение 1. Кольцо R называется B -кольцом, если B(R) полная булева функция.

Определение 2. Кольцо R называется пучковым, если оно B -кольцо и канонический предпучок F (•) на В является пучком.

Мы приведем широкий класс пучковых колец, а именно, класс полупервичных рационально полных колец.

Для любого пучкового кольца R определяется отображение Ж(R) ^ В(R), где Ж(R) -множество всех предложений в языке колец с множеством с в качестве множества параметров. Это отображение называется В -оценкой и обозначается [[•]] . Для атомарного предложения r = s оценка определяется следующим образом: [[r = s]] = v{е е В(Rer = es)}. Если r,s - полиномы, то они заменяются на их значения, вычисленные в кольце R . Затем это отображение продолжается на все множество    Ж(R)     обычным образом:     [[^ л ^]] = [[^]] л[[^]],

[[ЯДф]]_д = v {[[^(r)]]_дr е R} и аналогично для всех других пропозициональных связок и квантора V . Оценка [[•]] замкнута относительно классической выводимости в теории колец.

Теорема 1. Пусть R – полупервичное рационально полное кольцо. Тогда R пучковое кольцо и [[R первичное кольцо ]] = IB, где IB - наибольший элемент булевой алгебры В(R).

Доказательство. Пусть R – полупервичное рационально полное кольцо, тогда по предложению имеем В(R) = В * (R), где В * (R) - полная булева алгебра аннуляторных идеалов кольца R . Проверим, что канонический предпучок F(•) на В(R) является пучком. Пусть {е_а} разбиение единицы и ea • sa^еF⁽ca )• Тогда ^{v(1 -}ea ) = ⁰, так как ^Vea = 1. ^Значит, (£ e„R )* = П(1 - e„ ) R = 0, т.е. V _еR^-α                       α                      α      _αα                _α

α

α плотный идеал в R. Это прямая сумма, так как по дизъюнктивности семейства {ea} из е1 r1 +... + enrn = 0 следует, что е1 r1 = 0,...,enrn = 0. Положим, f (е1 r1 +... + enrn) = е1 s1 r1 +... + ensnrn . Тогда f е HomR (^eaR, R). Из рациональной полноты кольца R следует существование такого эле-α мента s е R, что е1 s1 r1 +... + ensnrn = s(e1 r1 +... + enrn) . Отсюда имеем Va(easa = eas) . Такой элемент s определяется однозначно. Действительно, если Va(easa = eas'), тогда Va(easa = eas). Значит, (^eaR)(s - s) = 0. Отсюда s =s. Осталось показать, что [[R первичное кольцо ]] = 1. Для этого α нам необходимо проверить, что оценка [[ Vr е R(arb = 0) ^ a = 0 v b = 0]] = 1, которая равносильна Vr е R(arb = 0) < [[a = 0]] v [[b = 0]] . Пусть e е В(R) и e • rab = 0 для всех r е R . Покажем, что [[a = 0]] v [[b = 0]] > e . Рассмотрим I = b^ главный идеал, порожденный элементом b кольца R , I * аннулятор идеала I. Тогда I +1 * - плотный идеал кольца R и I n I* = 0 . Определим отображение h: I +1 * ^ R по правилу h (r1 + r2) = r1 , где r1 е I, r2 е I * . Отображение корректно определено, так как I +1 * - прямая сумма. Непосредственно проверяется, что h гомоморфизм R -модулей. Следовательно, существует элемент u из R такой, что h(s) = us для всех s е I +1 *. Покажем, что u является центральным идемпотентом кольца R . Пусть r е R , тогда rus = rh(s) = h(rs) = urs для s g I +1 *. Значит, (ru - ur) • s = 0 для всех s g I +1 *. Из плотности идеала I +1 * следует ur = ru . Далее, u2s = uh(s0 = h(us) = us , так как us g I. Действительно, из us g I следует, что 3s1 g 1, 3s2 g I, (s = s1 + s2). Значит, us = u(s1 + s2) = us1. Из определения отображения h следует ub = b. По условию eaRb = 0. Значит, ea g I * . Следовательно, u • ea = 0. Тогда [[b = 0]] > 1 - u, [[ea = 0]] > u. Значит, [[b = 0]]vQea = 0]] = 1 (*). Проверим соотношение e [[ea = 0]] = e [[a = 0]] . Действительно, по определению оценки ^[J] и из пучковости кольца R имеем: [[ea = 0]]- ea = 0,   [[a = 0]]- a = 0. Отсюда получим e •[[ea = 0]] < [[a = 0]],

e • [[ea = 0]] < e • [[a = 0]] . Очевидно, что [[a = 0]] < [[ea = 0]] . Значит, e • [[ea = 0]] = e • [[a = 0]]. Соотношение (*) умножим на e. Имеем e • ([[b = 0]] v[[ea = 0]]) = e, e •[[b = 0]] v e •[[ea = e]] = e, e • [[b = 0]] < e • [[a = 0]] = e, [[a = 0]] v [[b = 0]] > e. Теорема доказана.

Поскольку все известные теоремы о первичных кольцах могут быть доказаны в ZFC, то их булевы оценки равны 1_B . Данное обстоятельство позволяет в силу доказанной теоремы переносить некоторые результаты о первичных кольцах на полупервичные рационально полные кольца. Здесь приведем лишь простое следствие.

Следствие 1. Хорновы теории классов полупервичных рационально полных колец и первичных колец совпадают.

Заключение

Все вышесказанное без изменений переносится на случай, если язык колец расширить новыми предикатными и функциональными символами. Известно, что любое строго гармоничное кольцо можно представить соответствующим пучком ассоциативных колец с единицей над булевым пространством. Слоями данного пучка являются локальные кольца. Следовательно, все V3 - хорновы свойства класса локальных колец истинны в классе строго гармоничных колец.