Геометрическая модель физического сплайна
Автор: Короткий Виктор Анатольевич, Витовтов Игорь Георгиевич
Рубрика: Инженерная геометрия и компьютерная графика
Статья в выпуске: 3 т.21, 2021 года.
Бесплатный доступ
Физическим сплайном называют упругий стержень, размеры поперечного сечения которого весьма малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны его оси. Пример физического сплайна - тонкая металлическая линейка. Такая линейка, проходя через заданные точки, естественным образом приобретает «природоподобную» форму, характеризующуюся минимальной энергией внутренних напряжений и минимальной средней кривизной. Поиск уравнения упругой линии представляет собой сложную математическую задачу, не имеющую элементарного решения. В статье рассматриваются полиномиальные и параметрические способы геометрического моделирования физического сплайна, проходящего через наперед заданные точки. Упругая линия физического сплайна получена экспериментально. Показано, что полиномиальная модель заметно отличается от экспериментально полученного физического сплайна, что ставит под сомнение возможность использования кубических полиномов для моделирования упругой линии с большими прогибами. Параметризованная модель на основе кривых Фергюсона дает высокую точность аппроксимации, если в базисных точках заданы касательные к упругой линии физического сплайна. Рассмотрены примеры моделирования физического сплайна со свободными и защемленными концами. В случае свободного сплайна погрешность параметрической модели составила 0,4 %, для сплайна с защемленными концами получена погрешность менее 1,5 %. Вычисления выполнены с помощью программного средства SMath Studio.
Аффинное сжатие, кубическая кривая, кривая фергюсона, полиномиальная модель, параметрическая модель, векторная производная, графическое дифференцирование
Короткий адрес: https://sciup.org/147235327
IDR: 147235327 | УДК: 514.851 | DOI: 10.14529/build210308
Geometric model of a physical spline
A physical spline is an elastic bar, the cross-sectional dimensions of which are extremely small compared to the length and radius of curvature of its axis. An example of a physical spline is a thin metal ruler. Such a ruler, when going through given points, immediately acquires a “nature-like” shape, characterized by a minimum energy of internal stresses and a minimum average curvature. Finding the equation of an elastic line is a complex mathematical problem that does not have an elementary solution. The article considers polynomial and parametric methods for geometric modeling of a physical spline going through predetermined points. The elastic line of the physical spline is obtained experimentally. It is shown that the polynomial model significantly differs from the experimentally obtained physical spline, which makes it difficult to use cubic polynomials for modeling an elastic line with big deflections. A parameterized model based on Ferguson curves gives high accuracy of approximation if tangents to the elastic line of the physical spline are specified at the base points. The examples of the physical spline modeling with free and restrained ends are considered. In the case of a free spline, the error of the parametric model was 0.4 %, and in the case of a spline with pinched ends, the error was less than 1.5 %. Calculations were performed using the SMath Studio software tool.
Список литературы Геометрическая модель физического сплайна
- Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. - 472 с.
- Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии /Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. -157 с.
- Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. - Springer Spektrum, 2014. - 508pp. DOI 10.1007/978-3-642-41852-5
- Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. -М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.
- Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней /Е.П. Попов. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 172 с.
- Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. - М.: Мир, 1982. - 304 с.
- Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. - 2018. - Т. 6, № 3. - С. 20-32. DOI: 10.12737/article 5bc457ece18491.72807735
- Любчинов, Е.В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». - 2020. - Т. 20, № 1. - С. 52-62. DOI: 10.14529/build200106
- Понтрягин, Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1984. - № 3. - С. 10-14, 32.
- Уокер, Р. Алгебраические кривые /Р. Уокер. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 240 с.
- Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. - Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с.
- Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. - М.: Высшая школа, 1968. - 266 с.
- Прасолов, В.В. Геометрия /В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. - М.: Изд-во МЦНМО, 2013. - 336 с.
- Савелов, А.А. Плоские кривые/А.А. Савелов. -М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 296 с.
- Короткий, В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В.А. Короткий //Геометрия и графика. - 2020. Т. 8, № 3. - С. 3-24. DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24
