Геометрическая модель физического сплайна

Физическим сплайном называют упругий стержень, размеры поперечного сечения которого весьма малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны его оси. Пример физического сплайна - тонкая металлическая линейка. Такая линейка, проходя через заданные точки, естественным образом приобретает «природоподобную» форму, характеризующуюся минимальной энергией внутренних напряжений и минимальной средней кривизной. Поиск уравнения упругой линии представляет собой сложную математическую задачу, не имеющую элементарного решения. В статье рассматриваются полиномиальные и параметрические способы геометрического моделирования физического сплайна, проходящего через наперед заданные точки. Упругая линия физического сплайна получена экспериментально. Показано, что полиномиальная модель заметно отличается от экспериментально полученного физического сплайна, что ставит под сомнение возможность использования кубических полиномов для моделирования упругой линии с большими прогибами. Параметризованная модель на основе кривых Фергюсона дает высокую точность аппроксимации, если в базисных точках заданы касательные к упругой линии физического сплайна. Рассмотрены примеры моделирования физического сплайна со свободными и защемленными концами. В случае свободного сплайна погрешность параметрической модели составила 0,4 %, для сплайна с защемленными концами получена погрешность менее 1,5 %. Вычисления выполнены с помощью программного средства SMath Studio.