Гидроупругая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 2, 2019PNRPU MECHANICS BULLETIN

Электроупругие материалы, внедренные в инженерные конструкции или присоединенные к ним, уже значительное время используются в различных областях техники с целью повышения эксплуатационных характеристик изделий в целом. Построенные на их основе интеллектуальные системы пассивного или активного управления динамическим поведением способствуют снижению уровня механических колебаний или акустического шума. Библиография основных работ с описанием различных подходов, используемых при моделировании конструкций с пьзоэлементами, как и примеры их практического использования, изложены в монографии [1]. В [2] отмечается, что успешное практическое применение пьезоэлектриков, контактирующих с жидкой или газообразной средой, возможно только при надлежащем описании их совместного отклика. В случае тонкостенных конструкций для этих целей может быть использована предложенная в работе [3] модель, которая основана на однослойном представлении перемещений упругого тела и послойном описании пьезоэлектрических свойств. Данный подход был использован как при моделировании пластин и оболочек, в том числе контактирующих с неподвижной жидкостью, так и упругих конструкций с внешними накладками, полностью или частично изготовленных из электроупругого материала [4–7]. В случае конечно- элементного моделирования и линейного распределения электрических свойств по толщине тела описанный метод позволяет упростить решение за счет исключения электрических составляющих на элементном уровне. Исследование конструкций с текущей жидкостью осуществлено в работах [8, 9]. В первой из них продемонстрирована возможность активного демпфирования колебаний слоистой оболочки с накладками из пьезокерамики с помощью системы с обратной связью. Во второй в рамках трехмерной теории упругости и линейной теории пьезоупругости анализируется влияние электрических граничных условий на критические скорости потери устойчивости оболочки, состоящей из электроупру-гого материала.

Содержащие жидкость или газ коаксиальные цилиндрические оболочки уже значительное время выступают в качестве объекта разнообразных теоретических исследований. Бесконечно длинные оболочки рассматриваются в статьях [10, 11]. В первой из них определяются критические скорости потока газа, текущего между двумя оболочками, одна из которых является абсолютно жесткой. Во второй впервые предложено аналитическое решение для такой системы, при которой несжимаемая жидкость течет не только в кольцевом канале, но и во внутренней оболочке. Коаксиальные оболочки конечной длины, как с абсолютно жесткой, так и с упругой наружной оболочкой, были наиболее полно исследованы в [12, 13] в случае жесткого закреп- ления с двух торцов и консольного закрепления. В работах [13] и [14] рассматриваются конструкции с аналогичными граничными условиями, но в рассмотрение вводятся стационарные силы вязкого сопротивления. Показано, что они оказывают существенное влияние на критические скорости течения жидкости. В рамках аналогичной модели в [15] выполнено исследование влияния на устойчивость ряда системных параметров при кольцевом течении жидкости. Расхождение аналитических и экспериментальных результатов, обусловленное несовершенствами формы оболочки, выявлено в [16]. В [17] решение трехмерных линеаризованных уравнений Навье–Стокса, описывающих движение вязкой жидкости, ищется в виде суммы скалярного и векторного потенциалов. Здесь анализируются сложности в реализации граничных условий, задаваемых на стенке оболочки при моделировании течения вязкой жидкости. Показано, что для свободно опертых оболочек влияние нестационарных вязкостных сил возрастает с уменьшением ширины кольцевого канала. В работе [18] предложена и обоснована возможность использования простой приближенной теории для оценки динамического поведения системы опертых коаксиальных оболочек, взаимодействующих с несжимаемой жидкостью. В [19] представлена модель, учитывающая как стационарные, так и нестационарные силы вязкого сопротивления, которые определяются из линеаризованных уравнений Навье–Стокса с использованием численной процедуры, основанной на конечно-разностном методе. Показано, что эта модель лучше согласуется с экспериментальными данными, представленными в работах [16, 20], чем модель, учитывающая только стационарные силы вязкого сопротивления. Исследование колебаний оболочек с неоднородными ограничениями в кольцевом потоке в случае как невязкой, так и вязкой жидкости осуществлено в [21, 22]. Для этих целей применяется метод Релея–Ритца, в котором в качестве допустимых функций использованы формы колебаний свободно опертых оболочек в вакууме. Численное решение задачи методом конечных элементов (МКЭ) представлено в работах [23–25]. В первых двух выявлено существенное расхождение с известными численно-аналитическими решениями для тех случаев, когда потеря устойчивости осуществляется на высоких модах колебаний. Параметрический анализ устойчивости коаксиальных оболочек, имеющих разнообразные комбинации граничных условий и взаимодействующих с двумя потоками идеальной сжимаемой жидкости, выполнен в [25]. Исследование коаксиальных оболочек, содержащих идеальную или вязкую жидкость, текущую только в кольцевом канале, в том числе с учетом влияния температурных эффектов, представлено в работах [26, 27]. Динамическое поведение горизонтально ориентированных соосных оболочек, кольцевой цилиндрический зазор между которыми полностью или частично заполнен текущей сжимаемой жидкостью, изучено в трехмерной постановке в недавно опубликованной работе [28]. Более обширная библио-

графия, посвященная анализу коаксиальных оболочек, взаимодействующих как с неподвижной, так и с текущей жидкостью, представлена в монографии [29].

Целью настоящей работы является исследование влияния электрических граничных условий на границы устойчивости тонкостенных коаксиальных оболочек, в кольцевом зазоре между которыми течет идеальная сжимаемая жидкость.

1. Постановка задачи и основные соотношения

Рассматриваются выполненные из электроупругого материала (пьезокерамики) коаксиальные оболочки длиной L, радиусами R ⁽¹⁾ и R (2) , толщинами h ⁽¹⁾ и h *²⁾ (рис. 1). Пространство между ними заполнено сжимаемой жидкостью, текущей со скоростью U . Здесь и далее верхние индексы «(1)» и «(2)» характеризуют внутреннюю и внешнюю оболочки соответственно. Необходимо исследовать влияние электрических граничных условий, задаваемых для оболочек, на критические скорости потери устойчивости при различных кинематических граничных условиях, величине кольцевого зазора между оболочками и геометрических размерах.

Рис. 1. Пьезоэлектрические коаксиальные цилиндрические оболочки, взаимодействующие с кольцевым потоком жидкости

Fig. 1. Piezoelectric coaxial cylindrical shells interacting with an annular fluid flow

Потенциальное движение идеальной сжимаемой жидкости описывается волновым уравнением, которое в цилиндрических координатах ( r , 6 , x ) записывается в виде [30]

n = f|+ д r

1 д 2ф  д 2ф  1 дф r2 дб2   дx2   r дr

c2

А₊ и Al²

d t     d x

ф ,  (1)

где ф - потенциал возмущения скорости; c - скорость звука в жидкой среде.

Потенциал возмущения скорости на входе и выходе из кольцевого канала между оболочками подчиняется следующим граничным условиям:

x — 0: ф = 0, x — L : дф[д x — 0.         (2)

На смоченных поверхностях 5(i) = Sy A S(i) (i — 1,2 ) задаются условия непроницаемости дф    ( д w(1)     д w(1)

— —-I---+ U--- д n    I д t        д x

дф д n

Г д w⁽²⁾

I 8 t

для внутренней и внешней оболочек соответственно. Здесь w(i) - нормальная компонента вектора перемещений внутренней и внешней оболочек; Sf , S(1) - по верхности, ограничивающие объем жидкости Vf и оболочек.

Гидродинамическое давление p , действующее со стороны жидкости на оболочки, вычисляется из уравнения Бернулли

о — се - e T E ,	(7)
D — es + dE ,	(8)
div D — 0,	(9)
E — - grad y .	(10)

Здесь о , е , E , D - векторы напряжений, линейной деформации, напряженности электрического поля и электрической индукции; c , e , d - матрицы упругих констант, пьезоэлектрических и диэлектрических коэффициентов; у - электростатический потенциал. В случае тонкостенных тел с радиальной поляризацией, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, соотношения (7)–(10) могут быть упрощены. В частности, в векторах напряженности электрического поля и электрической индукции отличными от нуля остаются только компоненты E_z и D_z , а уравнения (7) и (8) в координатной системе ( s , 0 , z ) записываются следующим образом [34-35]:

p ¹ =±р f

'ф./фф

I                            , дt    8x J

где Ру - плотность жидкости, а знак перед формулой зависит от направления вектора нормали к внешней поверхности оболочек.

Уравнение (1) вместе с граничными условиями (2)(4) преобразуются с помощью метода Бубнова-Галёр-кина к слабой форме [31]

' 0 1 " 0    0   0" h s 1 "0  0   0 " [01 « 0 r— 0 0 0 1 =. r+ 0  0  0 1 0 r,  (12) _ Dz .^31   ^32   0J [£ s О _0  0 d,3 _ Ez где    Clk — clk   cl3Ck3 /сзз ( l,k — 1,2);    e3l = e31   e33Cl3 /c33

Г"^?8 F L ₊ 1 дф а д ^Fk ■ \ д r д r r ² д0 д0 V _f

/      ? \ дф dF,

( 1 - M ² )- ^{ф а}-k- I dV +

'        ' д x д x )

+ f 2 U 5 ^{ф а} + r ^ d^ — j S w? +

J c ² д x д t ^k 1 c ² a t ^{2    k} J    a t    ^k

V f                         V f                         ^S a

^{( l} — 1, 2 ); c 66 — c 66 , d 33 — d 33 ^{+ е} зз / ^с зз .

Предполагается, что поверхности оболочек покрыты тонкими невесомыми электродами, которые могут быть либо закорочены, что соответствует граничному условию у — 0 (Вариант «А»), либо разомкнуты, D_z — 0 (Вариант «В»). Из уравнений (8)-(10) может быть получено следующее интегральное соотношение [5]:

⁺ J ^U ^FdS ⁺ J

_S (1)         x                _S (2)

8 w (²⁾

д t

F_kdS -

_J es S E dV + _J dE 8 E dV — 0,          (13)

V s V s

- [ Uw F_kdS — 0, ^k

S (2)      ^{д x}

к — 1, m_f .

Здесь ф a , w ^ ¹ ) - аппроксимации потенциала возмущения скорости и нормальных компонент вектора перемещений оболочек; F_k , m , - базисные функции и их количество; M = U/с - число Маха.

В общем случае поведение электроупругого тела описывается уравнениями состояния, пьезоэффекта и соотношениями электростатики [32, 33]

где V - объем, занимаемый упругим телом.

Оболочки рассматриваются на основе гипотез Кирхгофа–Лява, согласно которым компоненты вектора деформации срединной поверхности, изменения кривизн и кручения записываются следующим образом [36]:

a		" C 11    C 12     0 "		£5		■ 0  0   ё 31"		' 0 2
a 0	r —	с 21    с 22     0	1	е 0	Г -	0  0   ё ,2	1	0	> , (11)
. c s 0		_ 0    0    С 66 _		_ е s 0		. 0  0   0 _		. E z

F ( ')_ ^UL   F(0_ Es     ds ’  £o = 1 R (^ dv(')      (f) -----+ w(') do V             7 , (/)_  1  d и (^   dv (i) .(')_  d 2 w( ) s0   R(') ao ds  " K S =      ? ds 2 K(') =     1 "d^ d2 w(') 1 0   RWR (') d0 V dO2  7 , к (i) _  1  Г dv(1)   d 2 w( 1)'

5^   R(') v d5     dsdO ,

Здесь и ⁽¹) , v ⁽¹) - меридиональные и окружные составляющие вектора перемещений оболочек.

С учетом принятых упрощений физические соотношения, устанавливающие связь между вектором обобщенных усилий и моментов Т ⁽ ' ) = { т ⁽ ' ) , T, ' ' ) , T g ) , M*' ) , M g¹) , M*' ) } , векторами обобщенных деформаций

е(') = {с^'), е('), е($1, Ks), к(’), 2к(1) }   и напряженности электрического поля, представляются в матричном виде:

T ⁽ ' ) = D ⁽¹) е ⁽¹) - G ⁽ ' ) Е ^{( 1}'

A ⁽ⁱ⁾

B ⁽ ' )

B ^{( i )}

C ' )

s⁽⁰ — g w e ⁽o,

где коэффициенты, входящие в матрицы жесткостей D ^{( 1 )} , вычисляются как

⁽ⁱ⁾     C⁰'))-        z^c^dz

( A lk , B lk , C lk ) = J ( 1, ^z , z ) ^cik ^dz , ⁽ l , ^k = ¹,²,⁶⁾, h ⁽ⁱ⁾

а структура матриц G ^{( 1 )} будет представлена далее.

Математическая формулировка задачи динамики упругих тел основана на вариационном принципе возможных перемещений, который с учетом соотношений (5) и работы сил инерции в матричном виде записывается как

_J ( 5 s ⁽⁰ ) T T ^{( i )} dS + J p (° ( 8 u ^<0 ) ^T u ⁽⁰ dV -

S                    V '

- J ( 5 u (° ) ^T P (° dS = 0,               (16)

S«> где ps') - плотность материалов оболочек; uw и P (° = {0, 0, P(')}  - векторы обобщенных перемещений и поверхностных нагрузок.

2. Численная реализация

Следуя [5], разобьем оболочки по толщине на N слоев и для каждого слоя k представим компоненту поля E в следующем виде (опустив нижний индекс):

E^ =- V ' ih               (17)

где h ^ = z (^ - z (^ - толщина слоя; z^ - координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки - h⁽' ) /2 <  z⁽' ) <  h⁽' )/ 2 ; V^ш = v^ - vV', - разница между электростатическими потенциалами на верхней и нижней поверхностях слоя, которая вместе с компонентами вектора перемещений оболочек и потенциалом возмущения скорости становится искомой величиной.

Численное решение задачи осуществляется с использованием полуаналитического варианта МКЭ [37], основанного на представлении решения в виде ряда Фурье по окружной координате O .

( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ' ) tz(

( и ⁽ ) , w ( ) , ф ⁽ ) , V k J = ^ j = ₀ ( U j , w j , Ф j V j ) cos J ^O ,

v ⁽ ' ) = X y= 0 v J ) sin J O ,              ⁽¹⁸⁾

где j – номер гармоники.

Выражая в (18) искомые переменные через их узловые значения, получим матричные соотношения (опуская нижний индекс j )

U ⁽⁰ = { u ⁽ ' ) , v ⁽ ' ) , w ⁽⁾ } ^T = N ⁽⁰ u (° ,   ф = Ff e ,

£(0 = B(o u' ,  E(o = -B(°Ф( , e ’      e           v e ’

где N ⁽ ' ) и F - матрицы функций формы конечных элементов оболочек и потенциала возмущения скорости; u ^{( z )} и f ^e - векторы узловых значений; B - матрица связи деформаций ε с узловыми значениями; е ( '^ =1е⁽'^} iz^ iz^V • ф⁽° =(к⁽° к⁽⁰ v ⁽⁰1^т • ^E e { E 1 ,• -- E k ,• E N } } ; ^ф e { V 1 ,' V ^Kk ,' V ^KN } ; B V ) = diag (V h ^,..., 1/h k' ^^.^V h NN) ) . С учетом (15) и (16) матрица G ( ' ) в уравнении (13) формируется следующим образом:

G) ••     z1k       • (') • •    z1} (') (') (') ^^21 ••    z2k    • z2 N 0 . 0     . 0 G(,) = z^,? z(') ••    z1 k     • z °') • •    z1 N ,           (20) (') (') —(') z 21     • z2k    • • •   z 2 N _ 0    . 0     . 0 J гле z(') ^/z'0^0m и z(0 - z^221 ё(0m где zlm   hm e31   и zlm = V 2 L( zm )   (zm-1 ) J e31  "

Дискретизация оболочки осуществляется с использованием высокоточного конечного элемента в виде усеченного конуса с аппроксимацией меридиональной и окружной компонент вектора перемещений кубическим полиномом, а нормальной компоненты – полиномом седьмой степени [38]. Для жидкости применяется треугольный конечный элемент с линейной аппроксимацией потенциала возмущения скорости [37].

Стандартные операции МКЭ из соотношений (6), (13) и (16) с учетом (19)-(20) позволяют получить связанную систему уравнений, описывающую совместное взаимодействие электроупругих оболочек и жидкости, которая в матричной форме имеет следующий вид:

■ M ( D

M s ²⁾

M/

/г

■ K (1) s

( K )

VL

+

^A fs

u ⁽¹⁾

V ^(l - u ⁽²⁾ I

V'”

l Ф J

^K s v

^K V

A(2)

A _fs

⁽¹⁾ . C fs

K '

( ^K s V ' )

-A ⁽¹⁾

^A sf

(2) A _sf

A

где

с (2)

C _fs

⁽¹⁾ C sf

C f

Cr

^u (

V

..--L _v-= l Ф J

формы нормальных составляющих векторов перемещения оболочек; H(i) = diag(h'i}d*i)1,...,h(i)d

Выражая величины, связанные с электростатическим потенциалом, через перемещения оболочек v (i' =(-k SS) )-1 ( k sV)T u 01.

—К ^{(2) K} s V

K V ²⁾ 0

u ⁽¹⁾

V ⁽¹⁾

K

получим вместо (21) уравнения, записанные относительно степеней свободы упругих тел и жидкости:

M { u ⁽¹⁾. u ⁽²⁾. ф } + C { u ⁽¹⁾. u ⁽²⁾. ф } +

+ ( K + A ) { u ⁽¹⁾ . u ⁽²⁾ . ф }   = 0.

(1) K^(1) K"(1) 1 K'(1)

K = ^diag ( ^K s ^{+ K} s v ( K v )  ( ^K s v ) .

J/

u ⁽²⁾ > = 0, v ⁽²⁾

ф

⁽²⁾К^²) (k"^{(2) 1} (k'⁽²⁾

^K s ^{+ K} s v^{( K} V ) ^{( K} s V ) . ^K f ) .

M = diag { m s ¹*. M s ²⁾ . M _f } .

	Г 0	0	-А (1)"1 A sf		Г 0	0	(1) C sf
A =	0	0	А (2) A sf	. C =	0	0	C f	• (22)
	.— A f	А (2) A fs	A f _		.— C fs’	С (2) C fs	C f ,

K(i) = S J (B^i) )T D(i)B(i*dS, Kf = ms1) ss i)

n(SFT dF  1 dFT dF dF

I--+ -7--+I

I 5r dr   r2 50 50   dxd mf Vf

M ( i ) = _S J ( N ⁽ i ) ) ^T p ( i ) N ⁽ i ) dV , M_z =

m ⁽ i ) p i ) s_s

mf Vf c                     mS i) S

A "=-ZJ UF'   ' dS. A, = ms i > s

• 2 5FT dF _ _      r 2U 5FT,

• -/ MdV. Cf =

SV    ds 5s   ’ f ZJ c2 5x’

= “_S J F ^T N ⁽ i ) dS . K^ = _S J ( B ⁽ i ) ) ^T G ⁽ i ) B ^ i ) dV .

m ⁽ i ) У i )                                       m ⁽ i ) F⁽ i )

s O_a                                           s s

K S i ) = S J ( B V° ) ^T H ^{( i )} B S i ) dV •

m ⁽ i ) ^⁽ i ) s_s

Используя представление для движения оболочек и жидкости в виде ( u ⁽¹⁾ . u ⁽²⁾ . ф ) = ( u ⁽¹⁾ . u ⁽²⁾ . ф ) exp ( i X t ) . уравнение (22) может быть записано следующим образом:

( -X ² M + X C + K + A ) { u ⁽¹⁾ . u ⁽²⁾ . ф } ¹ = 0. (23) где d ⁽¹⁾ , d ⁽²⁾ и ф - некоторые функции координат, X = Xj + i X₂ - характеристический показатель, i = V—1 -мнимая единица.

Решение задачи о гидроупругой устойчивости электроупругих коаксиальных оболочек сводится к определению и анализу комплексных собственных значений X системы (23), для вычисления которых применяется итерационный алгоритм на основе метода Мюллера [39]. Для повышения его вычислительной эффективности использовалась перенумерация степеней свободы системы (23), основанная на обратном алгоритме Катхилла-Макки [40].

3. Результаты расчетов

Здесь m^i ) - число конечных элементов, на которые разбиваются оболочки; ф и V ⁽ i ) — векторы узловых значений потенциала возмущения скорости и разниц электростатических потенциалов оболочек; N ⁽ i ) - матрицы функций

В рассмотренных далее примерах анализируются коаксиальные цилиндрические оболочки ( L = 1 м, R ⁽²⁾ = 0.1 м, h ⁽¹⁾ = h ⁽²⁾ = h ), взаимодействующие со сжимаемой жидкостью ( p f = 1000 кг/м³, c = 1500 м/с). Одинаковые комбинации граничных условий в виде свободного опирания ( v = w = 0; SS) и жесткой заделки ( u = v = = w = d w / d s = 0; CC) на обоих краях ( x = 0, L ), или консольного закрепления (CF), задаются для обеих оболо-

чек, выполненных из пьезокерамики PZT-5H со следующими физико-механическими характеристиками [5]:

си = c-n = 126 ГПа, сп = 79,5 ГПа, си = с2з = 84,1 ГПа, с33 = 117 ГПа, с66 = 23,3 ГПа, e31 = е32 =-6,5 Кл/м2, е33 = 23,3 Кл/м2, d33 = 130х10-10 ф/м, р = 7500 кг/м3.

Расчеты выполнялись при различной величине кольцевого зазора между внешней и наружной оболочками к = ( R ⁽²⁾ - R ⁽¹⁾ )/ R ⁽¹⁾ . Все вычисления осуществлены при 40 конечных элементах для каждого из упругих тел. Количество элементов для жидкости определялось величиной зазора к и не превышало 1000.

В представлении полученных результатов используются безразмерные критические скорости потери устойчивости Л ,

Л = U ^х 10 ³ , ^р ,К .

В случае пьезоупругого материала верификация описанного численного алгоритма осуществляется для пустой и заполненной неподвижной жидкостью одиночной оболочки ( L = 5 м, R = 1 м, h = 0,02 м), свободно опертой на обоих краях. Характеристики материала и жидкой среды приведены выше. В табл. 1 показаны собственные частоты колебаний Х₃ (Гц), полученные в настоящей работе и статье [5] для различных электрических граничных условий. Здесь через m обозначено число полуволн в меридиональном направлении. Граничные условия для жидкости были приняты следующими: ф = 0 при x = 0 и x = L . В [5] решение задачи также осуществляется в рамках полуаналитического варианта метода конечных элементов, но поведение жидкости описывается линеаризованными уравнениями Эйлера, в которых в качестве искомой величины выступает давление. Имеющиеся незначительные расхождения могут быть в том числе объяснены и тем, что в [5] не указаны формулы, согласно которым осуществляется перевычисление коэффициентов, входящих в матрицы уравнений (11) и (12).

• 3.1.    Тестирование алгоритма

Таблица 1

Сравнение собственных частот колебаний Х3 (Гц) свободно опертой пьезоэлектрической оболочки с различными электрическими граничными условиями

Comparison of natural vibrations Х3 (Hz) of simply supported piezoelectric coaxial shells for different electric boundary condition

Table 1

j	Пустая оболочка					Оболочка с жидкостью
	m	Условие «А»		Условие «В»		m	Условие «А»		Условие «В»
		Работа [5]	Расчет	Работа [5]	Расчет		Работа [5]	Расчет	Работа [5]	Расчет
1	1	87,8060	88,0205	93,3700	93,6699	1	45,4450	44,5981	49,4910	48,0973
	2	216,127	216,945	228,162	229,269	2	108,920	107,937	115,311	116,127
	0	278,711	280,221	278,711	280,522	3	154,565	155,584	166,237	167,428
	3	312,564	313,596	331,697	333,099	4	191,016	191,679	209,635	206,467
	4	368,995	369,815	383,703	384,658	5	220,018	220,451	236,253	237,719
2	1	36,7050	36,7003	39,4890	39,8654	1	19,6370	19,5347	21,0010	21,2789
	2	113,540	113,764	121,979	122,559	2	62,4970	62,3163	66,9280	67,4525
	3	193,357	193,896	207,472	208,586	3	108,109	108,818	116,416	117,645
	4	259,338	260,112	278,508	280,049	4	148,610	150,039	161,251	162,178
	5	308,942	309,680	332,121	333,941	5	182,892	184,675	197,330	199,684

Оценка достоверности в случае течения жидкости только в кольцевом канале затруднена в связи с тем, что в случае осесимметричной постановки отсутствуют публикации с доказанной достоверностью представленных результатов. Вместо этого осуществлено сравнение с результатами работы [28], где решение аналогичной задачи для изотропных оболочек (h = 5х10—4 м, E(1) = E(2) = E = 2х1011 Па, v(1) = v(2) = v = 0,3 , р/ = = Р(2) = Ps = 7800 кг/м3) осуществлено в пространственной постановке. Дополнительно рассматривается конфигурация, при которой внешняя оболочка является абсолютно жесткой (из уравнения (23) исключаются неизвестные с верхним индексом «2»). Результаты приведены в табл. 2, где показаны безразмерные критические скорости кольцевого потока жидкости Л (^ = [Ps(1 -v2)/E]0.5), полученные для жестко закрепленных коаксиальных оболочек различными методами.

Таблица 2

Сравнение безразмерных критических скоростей течения в кольцевом канале Лх 10 ^{- 1} для различных методов решения

Table 2

Comparison of dimensionless critical velocities in the annular channel Лх 10 ^{- 1} for different methods of solution

Метод решения	Упругая и жесткая оболочки			Обе оболочки упругие
	Кольцевой зазор κ
	1/2	1/10	1/100	1/2	1/10	1/100
2D, МКЭ, расчет	2,808	1,349	0,432	2,044	0,951	0,305
3D, МКЭ, [28]	2,826	1,356	0,433	2,053	0,955	0,306

На основании анализа результатов, приведенных в табл. 2, можно заключить, что критические скорости, вычисленные в рамках осесимметричной реализации, хорошо согласуются с данными, полученными с помощью пространственной модели. Незначительные расхождения в результатах могут быть объяснены тем, что в трехмерной постановке в связи со значительным ростом размерности разрешающей системы уравнений оптимальный выбор между точностью решения и его эффективностью имеет существенное значение.

• 3.2.    Устойчивость коаксиальных оболочек

В отличие от варианта с неподвижной жидкостью, устойчивость коаксиальных оболочек только с кольцевым потоком текущей жидкости остается фактически не исследованной. В имеющихся единичных работах (например, [26, 27]) отсутствует полноценное исследование ряда системных параметров, а достоверность решений не подтверждается представленными результатами. В частности, не оценено влияние размера кольцевого зазора на границы устойчивости. Такое исследование в случае пьезоэлектрических оболочек с закороченными электродами (Вариант «А») будет представлено ниже ( R⁽²⁾/h = 200, LR ⁽²⁾ = 10).

Известно [29], что характер неустойчивости оболочек, взаимодействующих с текущей средой, строго зависит от граничных условий, задаваемых на краях как оболочек, так и потока жидкости. Оболочки, жестко защемленные или свободно опертые с двух краев, теряют устойчивость в виде дивергенции. При увеличении скорости течения жидкости собственные значения уменьшаются до тех пор, пока действительная часть какой-либо моды не станет равной нулю. При этом у этого собственного значения появляется пара одинаковых, но противоположных по знаку мнимых частей, что и означает наступление потери устойчивости в виде дивергенции. Оболочки, защемленные на краю, где входит поток, и свободные на другом, обладают демпфированием даже при минимальной скорости среды и теряют устойчивость в виде флаттера по одной форме колебаний. В этом случае рост скорости приводит к появлению отрицательной мнимой части у какого-либо собственного значения. Задание для потенциала возмущения скорости граничных условий (2) обеспечивает потерю устойчивости в виде флаттера по одной форме колебаний, наблюдаемой в экспериментальных исследованиях консольных оболочек [29]. Аналогичная зависимость вида неустойчивости от граничных условий имеет место и в случае коаксиальных оболочек с тем отличием, что в случае узких зазоров характер потери устойчивости может изменяться, в том числе и на критических гармониках (т.е. таких гармониках, где скорость жидкости имеет минимальное значение).

При анализе конструкций с двумя упругими оболочками необходимо отметить характерные особенности собственных форм колебаний, присущих таким системам. О них впервые было заявлено при анализе осесимметричных тел, содержащих неподвижную жидкость, в статье [41], где было продемонстрировано существование синфазных (направление и количество меридиональных полуволн m совпадает для обеих оболочек) и противофазных (направления противоположны) форм колебаний. В дополнение к ним в работе [42] установлена возможность появления смешанных (количество меридиональных полуволн не совпадает для обеих оболочек) форм. Как установлено авторами, возникновение смешанных форм возможно и для оболочек с текущей жидкостью, что существенно усложняет анализ устойчивости в связи с возможностью миграции от одной формы потери устойчивости к другой даже при достаточно близких по величине кольцевых зазорах. Еще один вид форм колебаний выявлен в [43] при решении задачи в пространственной постановке. Здесь показано, что при частичном заполнении кольцевого зазора количество окружных волн для внутренней и наружной оболочек может различаться и, следовательно, необходимо говорить о смешанных формах в окружном направлении.

На рис. 2 показаны зависимости безразмерных критических скоростей Λ от номера гармоники в окружном направлении j, полученные при различной величине кольцевого зазора κ для оболочек с разными граничными условиями. Представленные данные демонстрируют существенное отличие в поведении систем с дивергентной (рис. 2, а) и флаттерной (рис. 2, б) потерей устойчивости. В частности, зависимости для жестко закрепленных оболочек обладают ярко выраженным локальным минимумом, который не меняется с уменьшением зазора. Наоборот, при консольном закреплении критические скорости потери устойчивости близки для ряда гармоник, и этот диапазон смещается в более высокую область вместе со снижением размера зазора. Немонотонный характер кривой для этих же граничных условий при κ = 1/2 обусловлен различной степенью влияния размера зазора на условия возникновения неустойчивости для разных гармоник. Динамика изменения частоты колебаний, соответствующей форме потере устойчивости, весьма об- ширна. Ее низкое значение на низших гармониках (j < 2) скачкообразно увеличивается при переходе к средним (3 < j < 7), а затем обратно снижается при высоких номерах j (j > 8). Данное поведение может быть еще более сложным для других зазоров, что отражается на границе устойчивости, приведенной ниже.

Более детально зависимость безразмерной скорости Л от безразмерного кольцевого зазора   R ^<2)/ R ⁽¹⁾

представлена на рис. 3. Здесь показаны границы устойчивости, определенные для конструкций с различными вариантами граничных условий. Для оболочек с дивергентной потерей устойчивости (CC, SS) характерно наличие диапазона зазоров с минимальным снижением критических скоростей, который сменяется участком с их монотонным падением. В случае консольного за- крепления (CF) наблюдается более сложное поведение. После незначительного понижения происходит рост критической скорости и, следовательно, сужающийся кольцевой зазор до определенного размера оказывает стабилизирующее воздействие. Скачкообразное возрастание Λ на этом диапазоне отражает многообразие форм потери устойчивости для различных окружных гармоник, вплоть до того, что на некоторых участках приобретает пилообразный характер (на рисунке не отражено). За расширенным диапазоном зазоров, стабилизирующих систему, следует участок с более резким падением критической скорости, на котором флаттер-ный вид потери устойчивости сменяется дивергентным (отмечено пунктирной линией), а критический номер гармоники возрастает до j = 10.

Рис. 2. Зависимости безразмерной критической скорости Λ от номера гармоники j , полученные при различной величине кольцевого зазора κ для жестко закрепленных ( a ) и консольных ( б ) коаксиальных оболочек

Fig. 2. Plots of dimensionless critical velocity Λ versus harmonic number j , obtained at different values of the annular gap κ for rigidly clamped ( a ) and cantilevered ( b ) coaxial shells

Рис. 3. Зависимости безразмерной критической скорости Λ от безразмерного зазора R ⁽²⁾/ R ⁽¹⁾, полученные для коаксиальных оболочек с различными граничными условиями

Fig. 3. Plots of dimensionless critical velocity Λ versus dimensionless gap R ⁽²⁾/ R ⁽¹⁾, obtained for coaxial shells with different boundary conditions

3.3. Исследование влияния электрических граничных условий

В табл. 3–5 приведены безразмерные критические скорости кольцевого потока жидкости Λ в системе коаксиальных цилиндрических оболочек с разными вариантами кинематических граничных условий. Представленные данные получены при различных значениях кольцевого зазора κ и линейных размерах (длина L и радиус внешней оболочки R ⁽²⁾ остаются неизменными, остальные размеры варьируются). В таблицах в столбцах ЭГУ указаны варианты электрических граничных условий, задаваемых для каждой из оболочек.

В скобках приведены соответствующие номера окружных гармоник j .

Из представленных в таблицах данных следует, что электрические граничные условия в виде разомкнутых электродов (условие «B») оказывают стабилизирующее воздействие, что качественно совпадает с результатами, полученными в случае одиночной оболочки в работе [9]. Рост критической скорости может достигать 20 %, если указанный вид граничных условий задан для обеих оболочек одновременно. В этом случае совокупное увеличение скорости значительно превышает те значения, которые имеют место при задании условия «B» отдельно для каждой оболочки, следовательно, оно носит аддитивный характер. Влияние условия «B», задаваемого для оболочек по отдельности, зависит от конкретной конфигурации. В случае узких зазоров в тонкостенных оболочках комбинация граничных условий «AB» приводит, как правило, к большему повышению границы устойчивости, чем комбинация «BA». Тогда как для более широких зазоров в толстостенных оболочках эта зависимость носит противоположный характер. В большей степени такое поведение определяется различием в радиусах внутренней и наружной оболочек. Возможны конфигурации, при которых электрическое граничное условие «B», заданное для внутренней оболочки, оказывает незначительное дестабилизирующее воздействие. Из табличных результатов также можно заключить, что качественные отличия во влиянии электрических граничных условий на критические скорости потери устойчивости не прослеживаются для оболочек с различными кинематическими ограничениями.

Отметим, что отличия между оболочками с разными граничными условиями проявляются в форме потери устойчивости. Если для свободно опертых или жестко закрепленных оболочек электрические граничные условия фактически не оказывают влияния на форму потери устойчивости, то в случае консольных оболочек такое влияние, как правило, присутствует. Приведенные в табл. 4 критические номера окружных гармоник позволяют оценить многообразие комбинаций волновых чисел ( j , m ), определяемых линейными размерами, жесткостью оболочек и присутствием в системе гидродинамического демпфирования, при которых консольно закрепленные оболочки могут терять устойчивость. В частности, можно отметить, что короткие коаксиальные оболочки с узким кольцевым зазором ведут себя подобно балке (см. табл. 4, L/ R ⁽²⁾ = 5, к <  1/10 ).

Таблица 3

Безразмерные критические скорости Л системы жестко закрепленных коаксиальных оболочек (CC) при различных геометрических размерах и электрических граничных условиях

Table 3

Dimensionless critical velocities Л of the system of clamped coaxial shells (CC) with different geometrical dimensions and electric boundary conditions

к	ЭГУ	LR (2) ( R (2)/ h = 200)			R (2)/ h ( LR (2) = 10)
		5	10	15	100	300	500
1/2	AA	19,28 (4)	14,49 (3)	11,91 (2)	24,42 (2)	10,61 (3)	7,133 (4)
	AB	19,74 (4)	14,94 (3)	12,87 (2)	25,75 (2)	11,08 (3)	7,250 (4)
	BA	20,79 (4)	15,59 (3)	12,87 (2)	25,37 (2)	11,21 (3)	7,661 (3)
	BB	21,52 (4)	16,24 (3)	13,15 (2)	26,92 (2)	11,83 (3)	8,027 (4)
1/10	AA	9,559 (4)	6,742 (3)	5,974 (2)	12,23 (3)	5,108 (3)	3,476 (4)
	AB	10,06 (4)	7,109 (3)	6,240 (2)	12,84 (2)	5,360 (3)	3,676 (4)
	BA	10,05 (4)	7,097 (3)	6,216 (2)	12,79 (2)	5,340 (3)	3,681 (4)
	BB	10,64 (4)	7,530 (3)	6,516 (2)	13,40 (2)	5,630 (3)	3,921 (4)
1/100	AA	3,085 (4)	2,162 (3)	1,902 (3)	3,822 (3)	1,661 (3)	1,105 (4)
	AB	3,240 (4)	2,274 (3)	2,023 (3)	4,062 (3)	1,738 (3)	1,167 (4)
	BA	3,239 (4)	2,273 (3)	2,024 (3)	4,064 (3)	1,737 (3)	1,167 (4)
	BB	3,419 (4)	2,404 (3)	2,135 (2)	4,353 (3)	1,825 (3)	1,240 (4)

Таблица 4

Безразмерные критические скорости Л системы консольно закрепленных коаксиальных (CF) оболочек при различных геометрических размерах и электрических граничных условиях

Table 4

Dimensionless critical velocities Л of the system of cantilevered coaxial (CF) shells with different geometrical dimensions and electric boundary conditions

к	ЭГУ	LR (2) ( R (2)/ h = 200 )			R (2)/ h ( LR (2) = 10)
		5	10	15	100	300	500
1/2	AA	40,82 (6)	39,18 ( 5)	32,94 ( 2)	57,39 (4)	23,69 (15)	13,81 (16)

	AB	39,77 (6)	38,76 ( 5)	36,99 ( 4)	55,77 (4)	23,69 (15)	13,81 (16)
	BA	44,56 (4)	39,31 ( 3)	37,83 ( 2)	60,59 (2)	27,43 (15)	14,89 (15)
	BB	48,27 (7)	45,00 ( 3)	42,68 ( 4)	64,20 (2)	23,48 (13)	14,89 (15)
1/10	AA	39,75 (1)	27,90 (10)	22,29 (10)	48,59 (5)	20,14 (12)	13,35 (16)
	AB	41,99 (1)	29,13 (10)	23,47 (10)	50,56 (5)	20,97 (12)	14,03 (16)
	BA	42,62 (1)	29,33 (11)	23,34 (11)	51,20 (5)	21,05 (13)	13,87 (17)
	BB	45,41 (1)	30,49 (10)	24,64 (10)	53,47 (4)	22,23 (13)	14,51 (15)
1/100	AA	14,22 (1)	9,332 (10)	7,326 (10)	16,11 (4)	6,797 (12)	4,514 (17)
	AB	15,05 (1)	9,633 (10)	7,614 (10)	16,86 (4)	6,977 (13)	4,700 (16)
	BA	15,07 (1)	9,634 (11)	7,716 ( 9)	16,88 (4)	6,981 (13)	4,704 (17)
	BB	16,07 (1)	10,24 (10)	8,030 (10)	17,71 (4)	7,386 (12)	4,908 (16)

Таблица 5

Безразмерные критические скорости Л системы свободно опертых коаксиальных оболочек (SS) при различных геометрических размерах и электрических граничных условиях

Table 5

Dimensionless critical velocities Л of the system of simply supported coaxial shells (SS) with different geometrical dimensions and electric boundary conditions

К	ЭГУ	lJr (2) ( R (2) h = 200 )			R (T)! h ( Lr (2) = 10)
		5	10	15	100	300	500
1/2	AA	13,26 (3)	9,391 (2)	7,576 (2)	15,64 (2)	7,256 (3)	4,698 (3)
	AB	13,90 (3)	9,933 (2)	7,924 (2)	16,39 (2)	7,391 (3)	4,857 (3)
	BA	13,94 (3)	9,752 (2)	8,072 (2)	16,59 (2)	7,520 (2)	5,047 (3)
	BB	14,78 (3)	10,38 (2)	8,516 (2)	17,54 (2)	7,981 (2)	5,270 (3)
1/10	AA	6,542 (3)	4,739 (2)	3,410 (2)	7,166 (2)	3,300 (3)	2,181 (3)
	AB	6,854 (3)	4,949 (2)	3,589 (2)	7,531 (2)	3,500 (3)	2,297 (3)
	BA	6,827 (3)	4,929 (2)	3,575 (2)	7,502 (2)	3,512 (3)	2,289 (3)
	BB	7,185 (3)	5,168 (2)	3,784 (2)	7,926 (2)	3,758 (3)	2,426 (3)
1/100	AA	2,130 (4)	1,531 (3)	1,101 (2)	2,322 (2)	1,037 (3)	0,703 (3)
	AB	2,236 (3)	1,624 (2)	1,154 (2)	2,432 (2)	1,099 (3)	0,738 (3)
	BA	2,235 (3)	1,624 (2)	1,154 (2)	2,431 (2)	1,099 (3)	0,738 (3)
	BB	2,345 (3)	1,698 (2)	1,216 (2)	2,558 (2)	1,174 (3)	0,778 (3)

Заключение

Устойчивость пьезоупругих коаксиальных цилиндрических оболочек, взаимодействующих с кольцевым потоком сжимаемой жидкости, исследована в осесимметричной постановке с помощью предложенной математической модели и ее численной реализации на основе метода конечных элементов. Пространство внутренней оболочки заполнено вакуумом. Воздействие присоединенных электрических цепей не принималось во внимание. С использованием разработанного численного алгоритма проанализировано влияние размера кольцевого зазора и электрических граничных условий, задаваемых на электродированных поверхностях оболочек, на критические скорости потери устойчивости. Соответствующие зависимости и новые качественные закономерности получены при различных кинематических граничных условиях и геометрических параметрах. Установлено, что электрическое условие, эмули-