Гипергеометрический базис для трехмерных гармонических функций, однородных по Эйлеру с нецелочисленными степенями однородности

Введение в проблему*

Полезным инструментом при синтезе электронно- и ионно-оптических систем специального вида являются электрические и магнитные поля, однородные по Эйлеру [2–7]. Для полей, однородных по Эйлеру, напряженность электрического поля E и/или индукция магнитного поля B должны удовлетворять не только уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, но и тождеству однородности:

V k >  0: E ( lx , ky , kz ) = k m ^{- 1} E ( x , y , z ) ,

V k >  0: B ( lx , ky , kz ) = k m - 1 B ( x , y , z ) ,

где m — степень однородности поля (не обязательно целочисленная). Траектории движения заряженных частиц в электростатических и магнитостатических полях, однородных по Эйлеру, подчиняются принципу подобия траекторий Ю.К. Голикова [8, 9]. Отсюда следуют уникальные оптические свойства устройств, управляющих движением заряженных частиц, если эти устройства используют однородные по Эйлеру электрические и магнитные поля [2–6, 10–18].

Однородные по Эйлеру электрические или магнитные поля, подчиняющиеся тождеству (1), характеризуются скалярным электрическим или магнитным потенциалом в виде гармонической функции, которая будет однородной (точнее, положительно однородной) по Эйлеру в смысле, который придается этому термину в классическом математическом анализе [19, 20]:

V k >  0: U ( kx , ky , kz ) = 1 ^m U ( x , y , z ) , (2)

где m — степень однородности функции, совпадающая со степенью однородности электрического или магнитного поля, как она определена с помощью тождеств (1). Единственным исключением из данного общего правила являются поля с нулевой степенью однородности — для таких полей скалярный потенциал U в самом общем случае имеет вид:

U ( x , y , z ) = U 0 ( x , y , z ) + A In ( z + 4x 2 + У 2 + z 2 ) , (3)

где U ₀ является однородной гармонической функцией нулевой степени, а A — произвольная константа. Очевидно, что при A ^ 0 выражение (3) больше не является однородной по Эйлеру функцией, хотя градиент функции (3) и подчиняется условиям однородности (1) для электрического либо магнитного поля. Вопрос об однородности скалярных и/или векторных потенциалов для полей, однородных по Эйлеру, подробно исследуется в [21].

Исследования Ю.К. Голикова [4, 22, 23] наглядно демонстрируют, каким удобным и эффективным инструментом при синтезе новых электронно- и ионно-оптических систем являются аналитические методы и, в частности, аналитические выражения для потенциалов электрических и магнитных полей. В случае однородных электрических и магнитных полей при получении аналитических выражений для их скалярных потенциалов требуется предпринимать дополнительные и целенаправленные усилия, поскольку таких функций в некотором смысле "много меньше", чем обычных гармонических функций.

Действительно, трехмерная гармоническая функция общего вида U ( x , y , z ) полностью определяется двумя произвольными функциями двух переменных — например, значением U ^{( 0 )} ( x , y ) = = U ( x , y ,0 ) функции U ( x , y , z ) вдоль плоскости z = 0 и значением U ^iOn * ( x , y ) = d U ( x , y ,0 )/d z нормальной производной функции U ( x , y , z ) вдоль плоскости z = 0 . Это следует из того факта, что решение такой задачи Коши для трехмерного уравнения Лапласа однозначным образом находится (по крайней мере, в окрестности плоскости z = 0 ) с помощью ряда Шерцера по переменной z :

U ( x , y , z ) = U ^{( 0 )} ( x , y ) + zU ^{( 0,n} ) ( x , y ) -

• -1! (Ux° (x, y)+Uy0 ’ (x, y))-

• - "3! (Ux,)(x, y) + Uy0,n)( x, y)) +

+—ft/⁽⁰⁾ (x v} + 2U⁽⁰⁾ (x   + [/⁽⁰⁾ (x +

⁺ 4! ( xxxx ⁽ , y ) xxyy ⁽ , y )      yyyy ⁽ , y ) )

+ z ! ( U x n ¹ ( x . y ) + 2 U x,y; ¹ ( x , y ) + ^U ; y n ' ( x , y ) ) - - ,

(4) где коэффициенты перед степенями переменной z выражаются однозначным образом через функции U ^{( 0 )} , U ^{( 0,n} ) и их частные производные, поскольку функция U обязана удовлетворять уравнению Лапласа.

Для получения трехмерной однородной гармонической функции степени m необходимо и достаточно, чтобы функции U ^{( 0 )} ( x , y ) = U ( x , y ,0 ) и U ^{( 0,n} ) ( x , y ) = d U ( x , y ,0 )/d z были однородными по Эйлеру со степенями однородности m и ( m - 1 ) соответственно (достаточность следует из формулы (4) и того факта, что частные производные однородных функций U ^{( 0 )} ( x , y ) и U ^{( 0,n )} ( x , y ) сами являются однородными функциями соответствующей степени [19, 20]). Однако однородная по Эйлеру функция двух переменных задается с помощью произвольной функции одного переменного, как это следует из ее представления в виде f ( x , y ) = x k g ( y/x ) [19, 20]. Тем самым трехмерные однородные функции однозначным образом определяются через две произвольные функции всего лишь одного вещественного переменного в отличие от трехмерных гармонических функций общего вида, для однозначного определения которых в соответствии с формулой (4) требуется задать две произвольные функции двух переменных.

Текущее состояние

Для параметризации однородных гармонических функций 0-й степени и степени - 1 используются явные формулы Донкина [2, 3, 12, 13, 24– 28]:

V 0 ( ^x , у , ^z ) = H f- x ", - y ") ,         ⁽⁵⁾

V z + r z + r J

• V - , ( x , y , z ) = - H ^f      , )          (6)

r V z + r z + r J

(здесь и далее для упрощения формул используется подстановка r = ^x2 + y2 + z2 ). Эти формулы устанавливают взаимно-однозначное соответствие между решениями H (p, q) двумерного уравнения Лапласа Hpp + Hqq = 0 и трехмерными однородными гармоническими функциями со степенями однородности 0 и -1 (где для упрощения внешнего вида формул нижние индексы обозначают частные производные по соответствующим переменным). Переход от формулы (5) к формуле (6) и обратно может быть выполнен с помощью формулы Томсона для однородных гармонических функций [29–42]:

• V - m - 1 ( x , У , z ) = r - 2 m ^{- 1 V} m ( x , У , z ) , ⁽⁷⁾ где V m ( x , у , z ) и V - _{m - 1} ( x , y , z ) — это трехмерные гармонические функции, однородные по Эйлеру с соответствующими степенями однородности.

Задача вычисления однородных гармонических функций с целочисленными степенями однородности может считаться полностью решенной. С помощью дифференциальных операторов Томсона—Донкина первого порядка [39–42] либо с помощью теоремы о дифференцировании однородных гармонических функций [24, 27, 57] в комбинации с формулой Томсона для трехмерных гармонических функций [29–42] имеется возможность получать из алгебраических формул Донкина (5), (6) алгебраически-дифференциаль-ные формулы для произвольной целочисленной степени однородности. Эти формулы позволяют выразить трехмерные однородные гармонические функции общего вида через решения двумерного уравнения Лапласа [24–27], причем гарантируется, что ни одна трехмерная однородная функция не будет пропущена. Публикации [25, 26] являются, по всей видимости, первыми, в которых исчерпывающим образом решен вопрос о перечислении всех трехмерных однородных гармонических функций с целочисленными порядками однородности. Некоторым недостатком указанной процедуры является то, что для целочисленных степеней однородности, отличных от 0 и - 1, несовпадающие друг с другом решения двумерного уравнения Лапласа могут порождать одинаковые трехмерные однородные функции. При этом чем больше модуль степени однородности, тем выше коэффициент повторяемости для трехмерных однородных функций, генерируемых с помощью соответствующих алгебраически-дифференциаль-ных формул.

К сожалению, решение задачи полного и конструктивного перечисления трехмерных однородных функций с нецелочисленными степенями однородности на настоящий момент неизвестно. Некоторые полезные аналитические выражения для гармонических функций, однородных по Эйлеру, которые можно использовать в качестве скаляр- ных потенциалов, приводятся в [24, 43–49]. Ограниченную практическую применимость имеют интегральные выражения для однородных гармонических функций с нецелочисленными степенями однородности, которые приводятся в [45, 48, 49]. Однако, если ограничиваться лишь этими частичными аналитическими выражениями, то при оптимизации новых электронно- и ионно-оптических систем есть большой риск пропустить действительно оптимальное решение.

Формулировка задачи

Данная работа посвящена исследованию одного из возможных подходов к решению задачи о полном перечислении однородных гармонических функций с нецелочисленными степенями однородности. А именно, для разложения в ряд общего вида трехмерных однородных гармонических функций с произвольной степенью однородности будут сконструированы базисы из эталонных однородных гармонических функций, являющихся аналогом тригонометрического ряда Фурье. Как известно, с помощью ряда Фурье любую непрерывную периодическую функцию (возможно, обладающую конечным числом точек разрыва первого рода) можно однозначным образом разложить в ряд по тригонометрическим функциям. Аналогичным образом любую трехмерную однородную гармоническую функцию общего вида, у которой нет дополнительных сингулярных точек кроме, возможно, начала координат и/или лучей x = у = 0, z <  0 либо x = у = 0, z >  0, можно разложить в сходящийся ряд по рассматриваемым базисным функциям. Хотя такой подход и нельзя рассматривать как окончательное решение проблемы полного и конструктивного перечисления трехмерных однородных гармонических функций (поскольку при разложении в ряд достаточно простые алгебраические выражения способны превращаться в трудно обозримый бесконечный ряд с весьма сложной структурой), подобного рода базисы могут оказаться полезным инструментом при исследовании трехмерных однородных гармонических функций.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕХМЕРНЫМИ ОДНОРОДНЫМИ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ И ДВУМЕРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ

Для дальнейших выкладок потребуется взаимно-однозначный переход от трехмерных однородных гармонических функций к двумерным функциям, которые удовлетворяют некоторым вспомогательным двумерным эллиптическим уравнениям. Данная операция представляет определенный интерес и сама по себе, поэтому рассмотрим этот момент подробнее.

Для трехмерных гармонических функций степени 0 и степени - 1 имеются формулы Донкина (5), (6), которые устанавливают взаимнооднозначное соответствие между решениями H ( p , q ) двумерного уравнения Лапласа H_pp + H_qq = 0 и трехмерными однородными гармоническими функциями со степенями однородности 0 и - 1. По аналогии любую однородную функцию U ( x , y , z ) степени m с помощью взаимно-однозначной замены переменных Донкина

x

Р =----, z + r

x =

2 pλ

q = —, z + r

о

У =

,

1 + p ² + q ² 2 qλ

X = r ,

z =

,

1 + p ² + q ²

I ( 1 ^- p ^{2 -} q ² )

1 + p ² + q²

чем функция H ( p , q ) обязана будет подчиняться уравнению (10);

• б)    если функция H ( p , q ) подчиняется уравнению (10), то функция U ( x , y , z ) , вычисленная в соответствии с правилом (9), будет однородной гармонической функцией степени m ;

• в)    разным функциям U ( x , y , z ) соответствуют разные функции H ( p , q ) , а при выборе разных функций H ( p , q ) получаются разные функции U ( x , y , z ) .

Например, если требуется проанализировать некоторое соотношение между однородной гармонической функцией U ( x , y , z ) степени m и однородной гармонической функцией V ( x , y , z ) степени j , то подстановка

U ( x , y , z ) = r ^m H ^f , ) ,

V z + r z + r j

можно представить в виде

V ( x , y , z ) = r^jJ

xy z + r ’ z + r

U ( x , y , z ) = r ^m H I —,

V z + r z + r

(это представление является слегка модифицированной формой универсального представления f(x1,x2,.xn) = xmh(x2/X],...xn/xj) для однородных функций степени m [20, 21]). С помощью подстановки выражения (9) в трехмерное уравнение Лапласа Uv + U,„, + U„ = 0 легко можно уста-xx yy zz новить, что для того, чтобы функция (9) была гармонической (удовлетворяла трехмерному уравнению Лапласа), необходимо и достаточно, чтобы функция H (p, q) удовлетворяла двумерному эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных определенного вида:

позволяет без потери общности свести задачу к анализу эквивалентного соотношения между функциями двух переменных H ( p , q ) и J ( p , q ) , подчиняющимися уравнениям

d ² H ( p , q ) d p²

d ² H ( p , q ) ⁺   a q q

^{d 2 J} ( p , q ) d p²

. ^{d 2 J} ( p , q ) d q²

+

+

d ² H ( p , q ) + d ² H ( p , q ) + d p ²           d q²

4 m ( m + 1 ) ( 1 + p ² + q ² ) 2

^H ( p , q ) = 0.

Подстановка (9), (10) является взаимнооднозначной. Действительно:

а) если U ( x , y , z ) является однородной гармонической функцией степени m , то существует такая функция H ( p , q ) , с помощью которой функция U может быть представлена в виде (9), при-

4 m ( m + 1 ) ( 1 + p² + q ² ) 2

4 j (j +1) (1 + p2 + q2 )2

^H ( p , q ) = ⁰

^J ( p , q ) = 0.

Подстановка (9) не является единственно возможной. В равной степени можно использовать подстановки

U ( x , y , z ) = ( z + r ) m H

xy z + r ’ z + r

U ( x , y , z ) = r ^m H I - , y | , V r r j

U ( x , y , z ) = z ^m H

xy _z , _z

которые, как и формула (9), являются взаимнооднозначным способом параметризации трехмерных однородных функций общего вида с помощью

произвольных вспомогательных двумерных функций H ( p , q ) . Для того, чтобы функция вида (11) была однородной гармонической функцией, двумерная функция H ( p , q ) должна удовлетворять эллиптическому уравнению

( 1 + Р p

⁺ q ² )

Г д ² H   д ² H )

■

l дp    д q J

.     дH     . 2 _ТТ „

- 4 mq --+ 4 m H = 0.

д q л   дH

- 4 mp-- д p

ности с центром в начале координат. При этом полупространство z <  0 отображается на внешнюю часть p ² + q ² >  1 этой же окружности, а плоскость z = 0 отображается на саму окружность p ² + q ² = 1.

Перейдем в уравнении (10) от декартовых переменных ( p , q ) к полярным координатам ( ц, ф ) :

ц = J p² + q² ,         [ p = Ц cos ф ,

° 1

ф = arctg ( q/p )         [ q = Ц ^sin ф .

Для того чтобы функция вида (12) была однородной гармонической функцией, двумерная функция H ( p , q ) должна удовлетворять эллиптическому уравнению

(1 - p-)

д2 н дp2

. д2 H

2 pq дp д q

+

(1 - q2)

д2 н д q2

-

После такой замены переменных решения H_m ( p , q ) уравнения (10), полученного для трехмерных однородных гармонических функций степени m , преобразуются в решения Ф _m ( ц,ф ) эквивалентного линейного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных:

дн  . д н   ,        _Л

- 2 p --2 q --+ m ( m + 1 ) H = 0.

дp     д q

Наконец, для того чтобы функция вида (13) была однородной гармонической функцией, двумерная функция H ( p , q ) должна удовлетворять эллиптическому уравнению

h   2\д2 н _ д2 H h   2\д2 H

(1+ p )+ 2pq     +(1+ q )? 2 - х ' дp        дpдq х ' дq

- 2 ( m - 1 ) p~~ - 2 ( m - 1 ) q~~ + m ( m - 1 ) H = 0. (16)

Приведенные здесь способы параметризации однородных гармонических функций являются, по-видимому, самыми очевидными, но далеко не единственными. Выбор того, какую именно подстановку следует использовать для решения конкретной задачи, определяется удобством манипулирования тем или иным двумерным эллиптическим уравнением в частных производных применительно к рассматриваемой задаче, а также эстетическими предпочтениями исследователя.

КОНСТРУИРОВАНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ КРУГА

Рассмотрим параметризацию трехмерных однородных гармонических функций в форме (9), (10). С помощью замены переменных (8) трехмерное полупространство z > 0 отображается на внутреннюю часть p2 + q2 < 1 единичной окруж- д 2Ф 1 а2Ф 1 5Ф 4 m(m +1)

m +m- +     m +ф = 0

д ц ² ц ² д ф ² ц д ф (1 + ц ² ) ² m

Предположим, что функция H_m ( p , q ) не имеет особых точек внутри единичного круга p ² + q ² <  1. Тогда функцию Ф _m ( ц , ф ) , которая является периодической по переменной ϕ с периодом 2 π , можно разложить в сходящийся ряд Фурье

Фm (ц,ф)= c0Фm,0 (ц) +

+ ЕФ m, к ( ц )( ck cos кф + sk sin кф ), (19) к=1,го где ck и sk — произвольные константы, а функции Ф mk (ц) в соответствии с условием (18) обязаны будут удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению фm, к(ц)+1- фm, к(ц)+ µ

4 m ( m + 1 ) к К"        , х             хгхххх

■^ ( Т + ц ⁷ )"² - ц 2Г ■ , * ^{( ц} ) = 0.     ⁽

У уравнения (20) имеется единственное (с точностью до множителя) решение, не имеющее сингулярности в точке ц = 0. Это решение можно записать как

фm,к (ц ) = ц* (1+ ц2)m+1 х х 2 7^(1 + m, 1 + m + k ;1 + k; - ц2), (21) где 2 F1 (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция [50–52].

Гипергеометрическая функция, обозначаемая как ₂ F ( a , b ; c ; z ) , где a , b , c — параметры, а z — переменная, вообще говоря, комплексная, удовлетворяет гипергеометрическому уравнению Эйлера

z (1 - z)F"(z) + [c -(a + b +1) z]F'(z)-

- abF ( z ) = 0. (22)

Если c ^ 0,-1, -2,™, то гипергеометрическая функция разлагается в сходящийся при |z| < 1 гипергеометрический ряд ab z

2 ^F ( ^a , b ; c ; z ) = ¹ + —- + c 1!

a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) z ^г c ( c + 1 )       2! ⁺.

(a + s)(b + s)

..

= 1 + Е П

J = 1, » L s = 0, J - 1

( 1 + s )( c + s ) _

z^J =

Г(c)   у Г(a + J)Г(b + J) J

Г( a )Г( b )Д Г( c + J) J!, а при условии сходимости рассматриваемого ниже интеграла (т.е. при Re(c) > Re(b) > 0) может быть представлена как

XГ

• 2    F (a, b; c; z )=         ,-x

• ^{2    1V }} Г ( b ) Г ( c - b )

xjT-1 (1 - т)c-b-1 (1 - tz)-a dT.(23)

Формула (23) обеспечивает при Re( c ) > >  Re( b ) >  0 корректное аналитическое продолжение гипергеометрического ряда на всю комплексную плоскость с разрезом на действительной оси от 1 до +да и, в частности, позволяет вычислять такую гипергеометрическую функцию конструктивным образом при любых вещественных значениях z , удовлетворяющих условию -да <  z <  1.

Для гипергеометрических функций с параметрами, используемыми в формуле (21), интеграл (23) расходится, если m < -1 либо m > 0. Однако с учетом того, что с помощью линейных дифференциальных операторов Томсона—Донкина первого порядка [39–42] можно неограниченно понижать либо повышать степень однородности m в соответствии с правилами m ^ m +1 и m ^ m -1, а при m = 0 и m = -1 однородные гармонические функции исчерпывающим образом могут быть описаны с помощью алгебраических формул Донкина (5) и (6), то возможность конструктивно вычислять функции (21) лишь при -1 < m < 0 представляется вполне достаточной. Для упрощения вычисления решений (21) и/или для вычисления решений (21) при степенях однородности m , отличных от интервала значений -1 < m < 0 , обеспечивающего сходимость для интеграла (23), можно использовать разнообразные линейные и квадратичные гипергеометрические тождества [50–52], позволяющие достаточно гибко изменять аргументы гипергеометрических функций.

Функции ^ф m ,0 ( ц ) , ^ф m , _к ( ц ) cos k^, ^ф m , k ( ц ) sin ^кф, заданные с помощью формул (21), образуют базис для решений Ф _m ( ц , ф ) уравнения (18), не имеющих сингулярных точек внутри круга p ² + q ² <  1. После обратной замены переменных (17) и обратной "донкиновской" подстановки (8) эти функции образуют базис из однородных гармонических функций.

Однородная гармоническая функция, порождаемая функцией Ф _{m 0} ( ц ) , соответствует трехмерному осесимметричному решению. Однородные гармонические функции, порождаемые функциями Ф _mk ( ц ) cos кф , Ф _mk ( ц ) sin кф , можно интерпретировать как трехмерные мультипольные гармоники, характеризующие однородные гармонические функции соответствующей степени.

С помощью полученного базиса любая однородная гармоническая функция степени m , не имеющая дополнительных особых точек на полупространстве z >  0 , за исключением неизбежной особой точки в начале координат и составленного из особых точек луча x = у = 0, z <  0 (результат использования "донкиновских" аргументов в формуле (9)), может быть представлена в виде сходящегося ряда. Особыми точками считаются точки с сингулярным поведением функции, а также точки, в окрестности которых функция не может быть разложена в сходящийся ряд Тейлора, т.е. не является аналитической.

КОНСТРУИРОВАНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ КОЛЬЦА

У уравнения (20) существует еще одно решение Т _mk ( ц ) , линейно независимое от приведенного ранее решения Ф _mk ( ц ) , не имеющего сингулярности в точке ц = 0, которое демонстрирует сингулярное поведение при ц ^ 0 . С учетом того, что вронскиан

W ( Ц ) = Ф' ,к ( Ц )* m, к ( Ц ) - Ф m, к ( Ц К, к ( Ц ) =

= ( * .,( ц ) ) 2-г ^Ф " '

d Ц V* . , к ( Ц )/

составленный из решений линейного дифференциального уравнения (20), удовлетворяет уравне нию

W'( ц ) + - W ( ц ) = 0, µ это решение может быть представлено в соответствии с формулой Лиувилля—Остроградского в интегральной форме как

* -,к(Ц   : m,k( Ц)Ц фдй т

С помощью специальных функций парное решение * _mk ( ц ) выражается как

* : , к ( Ц ) = G 02 — Ц 2 к

^{{ }      { -} к ^- Ж , ^- m }"

{—к,0} {}          J

где

G l , n p , q

{ a_x, ^ , a n } , { a n + 1 , . , a p Р

{ b i , ^ , b l } , { b l +1,..., b q } ^

=

2 π i _L

ln

Пг( bj- * )ПГ(1 - a,+ ’)

j = 1 j = 1

qp

Пг(1 -bj+ ’)ПГ(a, -т)

j = ^{l + 1}                      j = n ^{+ 1}

z ^s d s

это — G -функция Мейера ([51, п. 5.3]). (Здесь контур интегрирования L выбирается как разрез вдоль мнимой оси от -да до +да, возможно, с захватом некоторого участка действительной оси, при котором все полюсы функций г ( b j - т ) , где 1 <  j <  l , остаются справа от разреза, а все полюсы функций Г ( 1 - a j + т ) , где 1 <  j <  n , остаются слева от разреза.) При к ^ 0 решение, линейно независимое * _mk ( ц ) с сингулярностью при ц = 0, может быть также выражено с помощью гипергеометрической функции

*-,к (Ц )=

= ц ( 1 + ц )    2 F ( 1 + : ,1 + : - к ;1 - к ; - ц ) , (25)

конструктивное вычисление которой, впрочем, сопряжено с определенными техническими трудностями (интегральная формула (23) для вычисления гипергеометрической функции, которая используется в формуле (25), не может быть использована, поскольку при таких параметрах в случае к > 1 интеграл (23) расходится).

Однако можно поступить проще. Непосредственной проверкой можно убедиться, что если функция Ф ( ц ) удовлетворяет уравнению (20), то этому же уравнению обязана будет удовлетворять также и функция Ф ( 1/ ц ) . (Отсюда, в частности, следует, что если функция H ( p , q ) удовлетворяет уравнению (10), то и функция

H (p/(p2 + q2), q/(p2 + q2)), получаемая после замены переменных, имеющей смысл инверсии плоскости ( p, q) относительно единичного круга с центром в начале координат, также удовлетворяет уравнению (10).) Поэтому в качестве дополняющего базиса, позволяющего разлагать решения уравнения (18) в кольце 0 < s < ц < 1, можно использовать функции

*., к (Ц )=

. Г 1 " ■ +¹ _(                .      .     1 "

= ц 11 +—у |   2F111 + :,1 + : + кД + к; —у |. (26)

к ц ) V                   ц )

В итоге функции

^Ф : ,0 ( Ц ) , ^Ф : , к ( Ц ) cos ^кФ , ^Ф : , к ( Ц ) sin ^кФ ,

• * : ,0 ( Ц ) , * : , к ( Ц ) cos ^кФ , * : , к ( Ц ) sin ^кФ ,

заданные с помощью формул (21) и (24), (25) либо (26), образуют базис для тех решений Ф m ( ц , ф ) уравнения (18), которые не имеют сингулярных точек внутри кольца 0 <  s ² <  p ² + q ² <  1:

Фm (Ц,Ф) = c0Фm,0 (Ц) +

⁺ Е ^Ф m , к ( Ц )( ^С к cos ^кФ ^{+ т} к sin ^кФ ) ⁺ j = к , да

^{+ d} 0 * m ,0 ^{( Ц ) +}

⁺ Е * m , к ( Ц )( ^d k cos ^кФ ^{+ е} к sin ^кФ )•    ⁽²⁷⁾

j = к , да

После обратной замены переменных (17) и (8) эти функции образуют расширенный базис для однородных гармонических функций, а формула (27) переходит в разложение трехмерной однородной гармонической функции степени m. Для трехмерных однородных гармонических функций, которые можно представить с помощью ряда, получаемого из разложения (27) при обратном переходе к декартовым координатам (x, у, z), кроме особой точки в начале координат и состоящего из особых/сингулярных точек луча x = у = 0, z < 0, имеется также состоящий из сингулярных точек луч x = у = 0, z > 0, являющийся прообразом точки p = q = 0 на плоскости (p, q). Однако, никаких других сингулярных точек у этих трехмерных однородных гармонических функций быть не может, поэтому как ряд (19), так и ряд (27) не покрывают все возможные трехмерные однородные гармонические функции степени m.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА, ПОЛУЧАЕМЫЕ ДЛЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БАЗИСА

В публикациях [39–42] приводятся дифференциальные аналоги первого порядка формулы Томсона для трехмерных гармонических функций. Эти формулы преобразуют трехмерные гармонические функции в новые трехмерные гармонические функции, причем форма трансформирующих выражений сознательно выбрана таким образом, чтобы при подстановке в них однородных по Эйлеру функций на выходе получались новые однородные по Эйлеру функции, возможно, с другой степенью однородности. Указанный список формул выглядит следующим образом:

V(m)(x,У, z) = U(m)(x, У, z),

V(m-1)(x, у, z) = Uxm)(x,у, z),(29)

V(m-1)( x, у, z ) = Uym)(x, у, z),(30)

V(m-1)( x, у, z ) = Uz m)(x, у,z),

V ⁽ m ^{+ 1 )} ( x , у , z ) = xU ^{( m} ) ( x , у , z ) +

⁺ ( x ² - у ² - ^{z 2} ) U x m ) ( x , у , ^z ) ⁺

+ 2 xU ^m ) ( x , у , z ) + 2 xzU z^m ) ( x , у , z ) ,(32)

V ^{( m + 1 )} ( x , у , z ) = уи ^{( m} ) ( x , у , z ) +

+ 2 xyU X^m ) ( x , у , z ) +

+ ( - x ² + у ² - z ² ) U ^{m ) ( x , у , z ) + 2 yzU Zm ) ( x , у , z ) ,(33)

V ^{( m + r} ( x , у , z ) = zU ^{( m} ) ( x , у , z ) + 2 xzU x^m ) ( x , у , z ) +

+ 2 yzU ⁽ m ) ( x , у , z ) + ( - x ² - у ² + z ² ) U z^m ) ( x , у , z ) , (34)

V ⁽ m ) ( x , у , z ) =

= xUZm) (x,у,z) + уиуm) (x,у,z) + zUzm> (x,у, z), (35) V(m) (x, у, z) = yUX m) (x, у, z) - xUУm) (x, у, z),(36)

V(m) (x, у, z) = zUxm) (x, у, z) - xUzm) (x, у, z),(37)

V(m) (x, у, z) = zUУm) (x, у, z) - yUZ m) (x, у, z),(38)

V(" m-1) (x, у, z) = -m+iU U(m) (x, у, z),

r

V(" m)(x, у, z ) = ^m-i Uxm)(x, у, z),

r

V(" m)(x, у, z ) = ^m-i Uу+)(x, у, z),

r

V(" m)(x, у, z ) = 2m-U Uzm)(x, у, z),

r

V ^{(- m - 2 ) (} x , у , z ) = -₅^x + _? U ^{( m} )⁽ x , у , z ) ⁺

+ x ^- у . z u x " ’ ( x , у , z ) + r

+       U !■ ' ( x , у , z ) + 2^ U z" ' ( x , у , z ) , (43)

rr

V ^{(- m - 2 )} ( x , у , z ) =

= - 4 3 U ^{U ( m} )^{( x} , у , ^z )⁺-^ U x^m )^{( x} , у , ^z ) ⁺ rr

+ -x2 +у 3- z2 U(m) (x,у, z) + 4у1гU(m) (x,у, z), (44) 2m+3         у                  2m+3 z rr

V ^{(- m - 2 )} ( x , у , z ) =

= -+ 3 U ^{U ( m )( x} , у , ^{z ) +}4 xz r U x^{m )( x} , у , ^{z ) +} rr

+ Г 2& U im ' ( x ■ у , z ) + ^- x ² - ^у 23 ⁺ z ² U zm ' ( x , у , z ) , (45)

V⁽" ^{m - 1 )( x} , у , ^z ) = -^ x + i U x^{m )( x} , у , ^{z ) +}

⁺ -+ 1 U ^{U (} m ^{)( x} , у , ^{z ) +} ^ m + r ^U z^{m )( x} , у , ^z ) , rr

^{V (- m - 1 )} ( x , у , z ) =

= -2 3 + 1 U x^{m )( x} , у , ^{z ) -} -2 x + r ^и у^{m )( x} , у , ^z ) , rr

V ⁽ - m ^{- 1 )} ( x , y , z ) =

= r^- U Xm ^{)( x} , У , ^{z ) -} r^x + r U Z m ^{)( x} , У , ^z ) ,         (48)

V ^(- m ^{- 1 )} ( x , y , z ) =

= /• U ym ) ( X , y , z ) - / U Z m ) ( X , y , z ) ,       (49)

где r = xx ² + y ² + z² , а верхний индекс показывает, какая степень однородности должна быть у соответствующей однородной гармонической функции.

Как входная, так и выходная функции могут быть представлены с помощью подстановки Донкина (11), (12), а соответствующие им двумерные функции H ( p , q ) и J ( p , q ) записаны в полярных координатах (17) и представлены в виде ряда Фурье (19), где коэффициенты ряда определяются единственно возможным образом. Сравнение между собой коэффициентов Фурье справа и слева от знака равенства в тождествах (28)–(49) позволяет установить полезные тождества для радиальных функций Ф mk ( ц ) (с точностью до множителя, выбираемого достаточно произвольным образом, поскольку и сами функции Ф mk ( ц ) определены с точностью до множителя). Однако практическая полезность таких соотношений сомнительна, тем более что все они фактически копируют соотношения, получаемые для решений (26) с помощью классических соотношений для гипергеометрических функций, которые можно найти, в частности, в [50–52].

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СО СТЕПЕНЯМИ

ОДНОРОДНОСТИ - 1 <  m < 0

Интегральная формула (23) для гипергеометрических функций после ее подстановки в решение (21) для функций Ф _mk ( ц ) и далее в разложение Фурье (19) дает формулу

^Ф m ( Ц , ф ) = Е ^Ф m , к ( Ц )( c k cos ^кФ ⁺ s k sin ^кФ ) = к = 0, ™

Е I (ck cos кф + sk sin кф) цк (1 + ц2) х xjт+к (1 - т)-m-1 (1 + тц2)' ) dт = 0

\ m + 1

1 + ц ² )

J Е ц^кт 0 I к =0,™

(ck cos кф + sk sin кф) I х m      -mm-1Л     2 V(1+mH x т (1 - т)    (1 + тц )

•^{+ к ф} + s_ке ^{- к ф} ) |х

=(1+ц2)■ 21 J Е цт (cе 0 Iк=0,™ x rm (1 - т )m1 (1 + тц2)( ) dт, которую можно без каких-либо опасений использовать при -1 < m < 0. В этой формуле комплексные коэффициенты cˆk и sˆk являются не совсем произвольными, поскольку выбираются так, чтобы результирующее выражение было вещественным. Однако их можно считать совершенно произвольными, если в формуле (50) произвольные вещественные константы ck и sk заменить на произвольные комплексные константы, но при этом для получившегося комплексного выражения использовать лишь его вещественную часть.

Выражение Е цк тк (cке+кф + ske-кф) в форму-к=0,™ ле (50) можно упростить. Действительно,

Е ckt = Kc ( t)= Kcr ( u, V) + iKc 1 ( u, V), к=0,™

Е skt = Ks (t ) = Ksr (u,V) + iKs 1 (u, V) к =0,™ это произвольные аналитические функции комплексного переменного t = u + iv , разложенные в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0. Поэтому

Е цктк (Сke+1 кф + se--1 кф ) = к=0,™

= ЕСк (цте+1ф) k+ Еsк (цте-1 ф) k = к =0,™                     к =0,™

= К_С ( цте ^{+ 1 ф} ) + K_s ( цте ^{- 1 ф} ) =

= K_{c r} ( цт cos ф , цт sin ф ) + 1 K_c i ( цт cos ф , цт sin ф ) +

+ K s r ( цт cos ф , - цт sin ф ) + i K s i ( цт cos ф , - цт sin ф ) =

= K (цт cos ф, цт sin ф), где K (u, V) — это произвольная вещественная функция, удовлетворяющая двумерному уравнению Лапласа. Действительно, функции Kci и Ksi в формуле (51) должны сократиться, чтобы получить на выходе вещественное значение. Из условия

K c i ( u , ^V ) = ^- K s i ( u , ^{- V} )

и соотношений Коши—Римана [53–56], справедливых для пар функций Kcr (u, v), Kci (u, v) и Ksr (u, v), Ksi (u, v), следует цепочка равенств dKcr (u, v) = aKci (u, v) = aKsi (u, - v) = aKsr (u, - v)

du         dv         dv          du aKc r (u, v)     aKc i (u, v) aKs i (u, - v)     aKs r (u, - v)

---------=--=----------=--_ dv          du         du           dv откуда следует условие Ksr (u, -v) = Kcr (u, v) + C, где C — это вещественная константа. Следовательно, с точностью до аддитивной вещественной константы функции Kc (t) и Ks (t) должны быть комплексно сопряженными: Ks (t) = Kc (t) + C. Если ввести в рассмотрение новую функцию K (u, v ) = 2 Kc r (u, v) + C, которая обязана будет удовлетворять двумерному уравнению Лапласа вследствие соотношений Коши—Римана для вещественной и мнимой частей аналитической функции комплексного переменного [53–56], то получим конечное равенство в цепочке (51). Поскольку для любой функции K (u, v), удовлетворяющей двумерному уравнению Лапласа, можно восстановить подходящую аналитическую функцию K (t) комплексного переменного t = u + iv, вещественной частью которой является заданная функция K (u, v), то никакие дополнительные ограничения на функцию K (u, v) кроме ее гармоничности не накладываются.

Переходя от полярных координат ( ц,ф ) к декартовым координатам ( p , q ) в соответствии с формулами (17), получаем интегральное выражение

H m ( p , q ) = ( ¹ + p ² + q ² ) m ^{+ 1 x}

• 1                            τ m

• ^X 1 ^{K ( P T} -q ^T ) „     , m + 1-      ( ,    ,.' - +1 ^{d T (52)}

о             (1 -т) (1 + t(p + q ))

для решения эллиптического уравнения (10), когда это решение не имеет особых точек внутри круга p ² + q ² <  1. В этом выражении функция K ( u , v ) должна быть произвольной двумерной гармонической функцией, не имеющей особых точек внутри круга u ² + v ² <  1.

В частном случае в качестве функций K (u, v) можно использовать гармонические однородные полиномы степени k, которые вычисляются по фор- муле K (u, v ) = Re (u + iv) k либо по формуле K (u, v) = Im (u + iv)k. Тогда формула (52) с точностью до замены переменных (p, q )о( ц, ф) и константы-множителя будет порождать функции Ф -к (ц) cos кф и Ф-к (ц) sin кф, принадлежащие гипергеометрическому базису.

Прямая подстановка выражения (52) в уравнение (10) показывает, что формула (52) обеспечивает решение для уравнения (10) даже тогда, когда двумерная гармоническая функция K ( u , v ) имеет особые точки внутри круга u ² + v ² <  1. Однако вопрос о том, в какой степени формула (52) дает все решения для уравнения (10), требует аккуратного исследования и будет являться предметом отдельной публикации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные аналитические выражения для базисных функций (21) и (26), которые содержат гипергеометрические функции, после умножения их на тригонометрические функции cos( mφ ) и sin( mφ ), обратной замены полярных координат ( μ , φ ) на переменные ( p , q ) с помощью формул (17), возвращения от вспомогательных переменных ( p , q ) к трехмерным декартовым координатам ( x , y , z ) с помощью подстановки Донкина (8) и окончательного восстановления трехмерных однородных гармонических функций U ( x , y , z ) степени m в соответствии с формулой (9) позволяют сконструировать для однородных гармонических функций степени m аналог тригонометрического базиса Фурье. С помощью этого базиса любая однородная гармоническая функция степени m , не имеющая "лишних" сингулярных точек, может быть разложена в сходящийся ряд. Использование для этой цели лишь тех базисных функций, которые порождаются формулами (21), позволяет получать однородные гармонические функции степени m , которые не имеют сингулярных точек вдоль луча x = 0, y = 0, z > 0, но при этом неизбежным образом имеют сингулярные точки вдоль луча x = 0, y = 0, z < 0.

Точно также из формулы (52) после подстановки в формулу (9) с учетом замены переменных (8) получается интегральная формула общего вида для трехмерных гармонических функций, однородных по Эйлеру со степенью однородности m, удовлетворяющих условию -1 < — < 0. С помощью процедуры дифференцирования [24, 27, 57] и формулы Томсона (7) либо напрямую с помощью дифференциальных операторов Томсона— Донкина [39–42] из этой формулы можно полу- чить общие формулы и для других степеней однородности. Следует, однако, обратить внимание, что в интегральной формуле (52) при дифференцировании под знаком интеграла не надо забывать о предварительном выделении и аналитическом интегрировании сингулярностей интегрального ядра.

Авторы публично заявляют, что у них нет конфликта интересов, в том числе и финансовых. Данная работа частично выполнена в рамках НИР 0074-20190009, входящей в состав гос. задания № 075-00780-1902 Министерства науки и высшего образования Российской Федерации для ИАП РАН. Для проведения и проверки аналитических выкладок использовалась программа Wolfram Mathematica версии 11 .