Гипотезы Бернулли в задаче изгиба механически несжимаемой балки
Автор: Фирсанов В.В.
Статья в выпуске: 4, 2023 года.
Бесплатный доступ
Условие несжимаемости для изотропного линейно упругого материала серьезно ограничивает применение классических гипотез теории изгиба балок, сформулированных Бернулли для малых деформаций и перемещений. При этом принимается, что такое сильное кинематическое условие, как условие неизменяемости объема, должно, безусловно, выполняться. Термин «механическая несжимаемость» подразумевает воздействие на балку исключительно силовой нагрузки, но при тепловом на неё воздействии деформация изменения объёма является функцией температуры. Тем не менее в обоих этих случаях условие механической несжимаемости может быть конфликтным по отношению к классическим гипотезам изгиба балки, что может привести к вырождению задачи. Поэтому перед решением любой задачи для механически несжимаемых материалов необходимо все используемые и достаточно обоснованные для обычных материалов гипотезы проверить на предмет соответствия кинематическому условию неизменяемости объёма. В случае несоответствия необходимо построить модель расчёта, основанную на других, не противоречащих несжимаемости гипотезах, которые не приведут к серьёзному усложнению решаемых задач. Для изгибаемой балки используется модель Бернулли, основой которой являются кинематическая гипотеза прямой нормали (поперечный отрезок после деформации остаётся прямым, плоским, ортогональным к изогнутой оси балки, а расстояния между точками отрезка остаются неизменными) и силовая гипотеза ненадавливаемости волокон балки в поперечном направлении. Каждая из перечисленных гипотез должна быть проверена на предмет соответствия условию неизменяемости объёма балки при воздействии на неё поверхностной силовой изгибающей нагрузки. Учёт поперечных деформаций актуален для низкомодульных материалов и особенно для материалов с низким сдвиговым модулем в поперечном направлении. Несжимаемые материалы, как правило, относятся к низкомодульным, но не это их свойство является определяющим при анализе гипотез Бернулли.
Гипотезы, изгиб, балка, деформации, напряжения, упругие перемещения, механическая несжимаемость, уравнения равновесия, физические соотношения, граничные условия
Короткий адрес: https://sciup.org/146282732
IDR: 146282732 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2023.4.12
Bernoulli hypotheses in the problem of bending a mechanically incompressible beam
The incompressibility condition for an isotropic linearly elastic material seriously restricts the application of the classical hypotheses of the beam bending theory formulated by Bernoulli for small deformations and displacements. At the same time, it is assumed that such a strong kinematic condition as the condition of immutability of volume must be unconditionally fulfilled. The term “mechanical incompressibility” implies the impact on the beam exclusively of a force load, but with thermal action on it, the deformation of the volume change is a function of temperature. Nevertheless, in both of these cases, the condition of mechanical incompressibility may conflict with the classical hypotheses of beam bending, which may lead to the problem degeneration. Therefore, before solving any problem for mechanically incompressible materials, it is necessary to check all hypotheses used and sufficiently justified for conventional materials for compliance with the kinematic condition of volume immutability. In case of inconsistency, it is necessary to build a calculation model based on other hypotheses that do not contradict incompressibility, which will not lead to a serious complication of the tasks being solved. For a bent beam, the Bernoulli model is used, the basis of which is the kinematic hypothesis of a straight normal (the transverse segment after deformation remains straight, orthogonal to the curved axis of the beam and the distances between the points of the segment remain unchanged) and the force hypothesis of the non-compressibility of the beam fibers in the transverse direction. Each of the above hypotheses should be checked for compliance with the condition of immutability of the beam volume when exposed to the surface force bending load. The consideration of transverse deformations is relevant for low-modulus materials and especially for materials with a low shear modulus in the transverse direction. Incompressible materials, as a rule, belong to low-modulus, but this is not their property that is decisive in the analysis of Bernoulli hypotheses.
Список литературы Гипотезы Бернулли в задаче изгиба механически несжимаемой балки
- Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. – 1921. – Vol. 41. – Р. 744–746. DOI: 10.1080/14786442108636264
- Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12, iss. 2. – P. 69–77. DOI: 10.1115/1.4009435
- Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
- Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 26–47.
- Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. АН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 48–64.
- Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. – 1998. – № 3. – С. 46–58.
- Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam Structures: Classical and Advanced Theories. –Wiley, 2011 – 204 p.
- Моделирование несжимаемых слоистых композитов с конечными деформациями на основе метода асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанов, С.Б. Каримов // Математическое моделирование и численные методы. – 2017. – № 1. – C. 32–54. DOI: 10.18698/2309-3684-2017-1-3254
- Фирсанов В.В. Изгиб балки, выполненной из материала с неизменяемым объёмом // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 2. – С. 200–211. DOI: 10.33113/MKMK.RAS.2020.26.02.200_211.04
- Pobedrya B.E. Equations of state of viscoelastic isotropic media // Mechanics of Composite Materials. – 1967. – Vol. 3, iss. 4. – P. 429–432. DOI: 10.1007/BF01150958
- Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. – OUP Oxford, 2005. – 324 p.
- Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. – 2011. – Вып. 3. – С. 93–101.
- Лазарев М.И. Решение основных задач теории упругости для несжимаемых сред // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44, № 5. – С. 867–874.
- Stepanyan S.Pa. On the numerical solution to a nonclassical problem of bending and stability for an orthotropic beam of variable thickness // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. – 2021. – № 73. – С. 111–120. DOI: 10/17223/19988621/73/10.
- Соляев Ю.О., Лурье С.А., Волков А.В. Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 2. – С. 137–152. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.1
- Kaplunov, Izuru Takewaki. Modern Trends in Structural and Solid Mechanics 1: Statics and Stability. – Noël Challamel, Julius, John Wiley and Sons, 2021. – 266 p.
- Hardy H. Engineering Elasticity: Elasticity with less Stress and Strain. – Springer, 2022. – 275 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-09157-5
- Herakovich C.T. A Concise Introduction to Elastic Solids: An Overview of the Mechanics of Elastic Materials and Structures. – Springer, 2017. – 136 p. DOI: 10.1007/978-3-319-45602-7
- Богачев И.В. Совместная идентификация механических характеристик функционально градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко. // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 4. – С. 19–29. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.03
- Зубов Л.М. Универсальные решения для изотропных несжимаемых микрополярных тел // Доклады Академии наук. – 2010. – Т. 435, № 1. – С. 35–39.
- Сащенко М.А., Павлов Д.А., Жигалов М.В. Сравнительный анализ математических моделей балок Бернулли – Эйлера, Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, Акавчи, Туаратье на примере контактной задачи // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2022. – № 1 (92). – С. 36–48.
- Recent approaches in the theory of plates and plate-like structures / Altenbach H., Bauer S., Eremeyev V.A., Mikhasev G.I., Morozov N.F. – Springer, Switzerland, 2022. – 326 p. DOI: 10.1007/978-3-030-87185-7
- Bhaskar K., Varadan T. Plates: Theories and Applications. – Springer, 2021. – 278 p. DOI: 10.1007/978-3-030-69424-1
- Eslami M.R. Buckling and Postbuckling of Beams, Plates, and Shells. – Springer, 2017. – 588 p. DOI: 10.1007/978-3-319-62368-9
- Сагдатуллин М.К. Расчёт конструкций из несжимаемых материалов // Вестник Казанского технологического университета. – 2021. – Т. 24, № 2. – С. 79–82.
- Точное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала / В.А. Левин, А.В. Вершинин, К.М. Зингерман, Д.Р. Бирюков. // Чебышевский сборник. – 2022. – № 4 (85). – Т. ХХIII. – С. 262–272. DOI: 1022405/2226-8383=2022-23-4-262-271
- Jones R.M. Buckling of Bars, Plates, and Shells. – Bull Ridge Corporation, 2006. – 824 p.
- Vijayakumar K., Ramaiah G.K. Poisson Theory of Elastic Plates. – Springer, 2021. – 149 p. DOI: 10.1007/978-981-33-4210-1
- Mukherjee B., Dillard D.A. On buckling of a thin plate on an elastomeric foundation // International Journal of Mechanical Sciences. – Elsevier, 2018. – Vol. 149. – P. 429–435. DOI: 10/1016/j.ijmecsci.2017.10.015
- Фирсанов В.В. Изгиб композитной балки с учётом сдвиговой деформации // Известия ТулГУ Технические науки. – 2018. – Вып. 4. – С. 168–174.
- Фирсанов В.В. Моделирование изгиба балок из резиноподобных материалов. // Математическое моделирование и численные методы. – 2021. – № 4.– С. 3–16. DOI: 10.18698/2309-3684-2021-4-316.
