Главные проблемы теории множеств

Попробуем внимательно рассмотреть [2—6] и решить главные задачи теории множеств:

Как сосчитать все элементы множества и внести в общий список?

Как найти место в таком списке тому субъекту, кто не очень точно помнит свой номер в этом списке? «Знал, но забыл!».

Многие старались разобраться с такими проблемами. Если выбранное множество содержит такие элементы, которые кажутся одинаковыми, тогда могут быть большие сложности. Чтобы всех различать, можно прилепить бирки или ярлыки, придумать какие-либо отличительные признаки.

Солдат или моряков можно построить по росту, если они хотя бы чуть-чуть разные. В гостинице выдавать каждому ключи от его комнаты с нужным номером или вносить в общий список при регистрации под соответствующим номером. Песчинки можно перекладывать по одной в какой-нибудь сосуд или специальную емкость, чтобы пересчитать всю кучу. Даже молекулы пересчитали в каком-то грамм-моле.

Труднее с птицами, которые все время перелетают с места на место, или с атомами и элементарными частицами, которые даже увидеть трудно.

Для чисел придумали упорядоченные множества. Например, натуральные числа. Каждое следующее число на единицу больше предыдущего. А с их помощью можно распределить, пересчитать и переписать всех, кто попался на глаза для учёта. Поставить их в однозначное соответствие.

Если множество содержит конечное число элементов, то все очень просто. Номера в гостинице или кресла в театральном зале, кровати в солдатской спальне или в больничной палате и прочее.

Для бесконечных множеств нужно главное: придумать правило или порядок следования. А затем организовать процесс.

Да, конечно, такой процесс может и он будет продолжаться бесконечно. Но все уверены, следуя Кантору [4; 5], что все рациональные числа можно пересчитать и поставить им в соответствие разные натуральные числа благодаря таблице, которую он придумал. На каждом этапе своих действий мы точно знаем, сколько и каких чисел уже успели переписать и разместить в этом списке. Некоторые возражали: как это можно в общий список вносить одну вторую и две четвертых или три шестых? Это ведь одно и то же число! Нет, они равны, но это разные числа, у них разные свидетельства о рождении. Это просто близнецы, хотя им могли по какой-либо прихоти выписать паспорт на одно имя и на одно место на числовой оси.

Некоторые возражали [3; 7]: как можно считать счетным множество, если оно содержит повторно точно такие счетные множества, да еще так много почти одинаковых счетных множеств со своим особым коэффициентом. Им возражали другие: это хорошо, что можно переписать и пересчитать счетное множество счетных множеств. Каждое рациональное число найдет свое место в таком списке с помощью правильного порядка прохождения таблицы Кантора.

Для действительных чисел получилась неприятность. Кантор не захотел все числа переписывать в общий список и решил, что такое числовое множество бесконечное и несчетное.

Даже придумал «противный» пример. Сначала предположил, что такой список существует, а затем нашел такое действительное число, которого нет в этом списке. Кантор решил: если есть одно такое число, которое отсутствует в списке, то значит таких же чисел еще очень много. Так много, что никто не может такие числа сосчитать. Даже придумали специальное название: мощность континуума. Решили, что действительные числа, если их отмечать точками на числовой оси, заполняют непрерывно отрезок [0, 1] и далее всю прямую, так как между любыми двумя числами можно найти другие действительные числа, которые отличаются хотя бы одной цифрой на каком-либо месте в бесконечной записи десятичной дроби.

Это утверждение не всегда справедливо. Требуется, чтобы разность этих двух чисел была отлична от нуля существенным образом. Например, два разных числа 0,5(0) и 0,4(9) отличаются каждой цифрой после запятой в записи бесконечной десятичной дроби (ноль и девять в периоде), но это отличие не может проявиться цифрой на каком-либо конечном месте, если запись дроби не ограничили при использовании в процессе вычислений. Числа так близки друг другу, что их можно считать или изображать как одно и тоже рациональное число «одна вторая».

Но главное противоречие здесь другое. Сначала говорят, что такой бесконечный список для чисел есть, но никому его не показывают. Потом формируют такое число, которое отличается хотя бы одной цифрой от тех, что в списке: у первого другая первая цифра, у второго — вторая и так далее. Это как если особый контроль на входе требуют показать приглашение и видит там другие буквы, а потом говорят, что оно на другой праздник или на другое время. Скажем, гостя спрашивают: фамилия начинается на «а»? Нет? Тогда идите дальше, в нашей части списка вас нет, в эту дверь вас не пропустят. На другом входе его спрашивают про вторую букву фамилии, а затем посылают дальше. Вот и ходит бедный родственник до сих пор, ищет правильную дверь и никак не может до нее добраться. Нельзя таких запускать! Это все не наши родственники! Другие в это время празднуют что-то. А для числа проверяют каждый раз только одну цифру, сравнивая только с одним конкретным числом из списка.

Были ученые, которые возражали Кантору. Теория множеств Кантора многими современниками была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и шокирующей, что натолкнулась на резкую критику. В том числе Пуанкаре спрашивал: «Почему мощность континуума не такая же, как и мощность целых чисел?». Далее говорится [7, с. 602]: «Всякая теорема математики должна быть доступна проверке. Если дело обстоит иначе, то эта теорема недоказуема, а если она недоказуема, то она не будет иметь смысла. Следовательно, нельзя найти очевидные аксиомы, относящиеся к бесконечным числам, всякое свойство бесконечных чисел есть лишь перевод какого-либо свойства конечных чисел. Именно это может быть очевидным.»

Но многие поверили тем математикам, кто поддерживал Кантора, его друзьям и сторонникам (Адамар, Бендиксон, Бернштейн, Гильберт, Гурвиц, Рассел, Цермело и другие). Им было удобнее считать, что не всех можно пересчитать и переписать. Действительных чисел так много, как казалось им, что следует вводить новую категорию мощности множеств.