Градиентные модели деформирования составных электроупругих тел
Автор: Ватульян А.О., Нестеров С.А.
Статья в выпуске: 5, 2023 года.
Бесплатный доступ
Исследовано напряженно-деформированного состояние слоистых электроупругих тел с учетом масштабных эффектов. Для учета масштабных эффектов использована градиентная модель электроупругости с одним механическим и одним электростатическим параметрами. В качестве примеров рассмотрена задача о деформировании составного электроупругого стержня, антиплоская задача о деформировании электроупругой полосы с покрытием, задача о деформировании сплошного пьезоцилиндра с покрытием. На основе вариационного принципа градиентной электроупругости получены уточненные уравнения равновесия и электростатики, а также расширенный список граничных условий и условий сопряжения для поставленных задач. Рассмотрено несколько упрощенных постановок задач градиентной электроупругости для составных тел, когда учитывается только один из градиентных эффектов - механический или электростатический. Проведено обезразмеривание и получены аналитические решения упрощенных задач. На конкретных примерах найдены перемещения и напряжения в составных электроупругих телах. Представлены решения задач в классической и градиентной постановках, проведен сравнительный анализ полученных решений. Выяснено, что в случае учета масштабных параметров в окрестности сопряжения слоев наблюдается: 1) более гладкое распределение перемещений и электрического потенциала по сравнению с классической теорией; 2) скачок компонентов тензора напряжений Коши и компонентов вектора электрической индукции; 3) непрерывность некоторых компонентов тензора моментных напряжений и квадрупольного момента; 4) непрерывность полных напряжений. Скачок компонентов тензора напряжений Коши и компонентов вектора электрической индукции объясняется непрерывностью перемещений, электрического потенциала и их первых производных. Исследована зависимость перемещений и электрического потенциала от величины механического и электростатического масштабных параметров. Выяснено, что с увеличением масштабных параметров перемещения и электрический потенциал уменьшаются.
Стержень, слой, цилиндр, составные тела, градиентная теория электроупругости, напряжения коши, полные напряжения, моментные напряжения, квадрупольный момент, масштабный эффект
Короткий адрес: https://sciup.org/146282772
IDR: 146282772 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2023.5.01
Gradient models of deformation of composite electroelastic bodies
The stress-strain state of layered electroelastic bodies is studied taking into account large-scale effects. To account for the scale effects, a gradient model of electroelasticity with one mechanical and one electrostatic parameters is used. As examples, the problem of deformation of a composite electroelastic rod, the antiplane problem of deformation of an electroelastic strip with a coating, the problem of deformation of a solid piezocylinder with a coating are considered. On the basis of the variational principle of gradient electroelasticity, refined equations of equilibrium and electrostatics are obtained, as well as an expanded list of boundary conditions and interface conditions for the tasks set. Several simplified formulations of gradient electroelasticity problems for composite bodies are considered, when only one of the gradient effects, mechanical or electrostatic, is taken into account. The dimensionalization was carried out and analytical solutions of simplified problems were obtained. Calculations of displacements and stresses of composite electroelastic bodies are carried out on specific examples. Solutions of problems in classical and gradient formulations are graphically presented; a comparative analysis of the solutions obtained is carried out. It is found out that if the scale parameters are taken into account in the vicinity of the conjugation of layers, the following is observed: 1) a smoother distribution of displacements and electric potential compared to classical theory; 2) a jump of components of the Cauchy stress tensor and components of the electric induction vector; 3) a continuity of some components of the moment stress tensor and quadrupole moment; 4) a continuity of total stresses. The jump of the components of the Cauchy stress tensor and the components of the electric induction vector is explained by the continuity of the displacements, the electric potential and their first derivatives. The dependence of displacements and electric potential on the magnitude of mechanical and electrostatic scale parameters is investigated. It was found out that with an increase in the scale parameters both the displacement and electric potential decrease.
Список литературы Градиентные модели деформирования составных электроупругих тел
- Mechanical characterization of micro/nanoscale structures for MEMS/NEMS applications using nanoindentation techniques / X. Li, B. Bhushan, K. Takashima, C.W. Baek, Y.K. Kim // Ultramicroscopy. - 2003. - Vol. 97, no. 1. - P. 481-494. DOI: 10.1016/S0304-3991(03)00077-9
- Yan Z., Jiang L. Modified continuum mechanics modeling on size-dependent properties of piezoelectric nanomaterials: a review // Nanomaterials. - 2017. - Vol. 7(2). DOI: 10.3390/nano7020027
- Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
- Mindlin R.D. Polarization gradient in elastic dielectrics // Int. J. Solids Struct. - 1968. - Vol. 4(6). - P. 637-642.
- Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales // J. Mech. Behav. Mater. - 1994. - Vol. 5(3). - P. 335-353. DOI: 10.1515/jmbm.1994.5.3.355
- Electrostatic deflections and electromechanical resonances of carbon nanotubes / P. Poncharal, Z. Wang, D. Ugarte, W.A. De Heer // Science. - 1999. - Vol. 283(5407). - P. 1513-1516. DOI: 10.1126/science.283.5407.1513
- Experiments and theory in strain gradient elasticity / D.C. Lam, F. Yang, A. Chong, J. Wang, P. Tong // J. Mech. Phys. Solids. - 2003. - Vol. 51(8). - P. 1477-1508. DOI: 10.1016/S0022-5096(03)00053-X
- Arvanitakis A. Gradient effects in a new class of electro-elastic bodies // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. - 2018. - Vol. 69(3). DOI: 10.1007/s00033-018-0959-0
- Malikan M. Electro-mechanical shear buckling of piezoelectric nanoplate using modified couple stress theory based on simplified first order shear deformation theory // Appl. Math. Model. - 2017. - Vol. 48. - P. 196-207. DOI: 10.1016/j.apm.2017.03.065
- Nasedkin A.V., Eremeyev V.A. Harmonic vibrations of nanosized piezoelectric bodies with surface effects // ZAMMJ. Appl. Math. - 2014. - Vol. 94(10). - P. 878-892. DOI: 10.1002/zamm.201300085
- Kalpakides V.K., Agiasofitou E.K. On material equations in second gradient electroelasticity // J. Elast. - 2002. - Vol. 67(3). -P. 205-227. DOI: 10.1023/A:1024926609083
- Liang X., Shen S. Size-dependent piezoelectricity and elasticity due to the electric field-strain gradient coupling and strain gradient elasticity // Int. J. Appl. Mech. - 2003. - Vol. 5(2). -P. 1350-1365. DOI: 10.1142/S1758825113500154
- Yang X.M., Hu Y.T., Yang J.S. Electric field gradient effects in anti-plane problems of polarized ceramics // Int. J. Solids Struct. - 2004. - Vol. 41, no. 24-25. - P. 6801-6811. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.05.018
- Hadjesfandiari A.R. Size-dependent piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. - 2013. - Vol. 50(18). - P. 2781-2791. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2013.04.020. arXiv:1206.6718
- Yue Y., Xu K., Aifantis E. Microscale size effects on the electromechanical coupling in piezoelectric material for anti-plane problem // Smart Materials and Structures. - 2014. - Vol. 23(12). DOI: 10.1088/0964-1726/23/12/125043
- Yue Y., Xu K., Aifantis E.C. Strain gradient and electric field gradient effects in piezoelectric cantilever beams // J. Mech. Behav. Mater. - 2015. - Vol. 24(3-4). - P. 121-127. DOI: 10.1515/jmbm-2015-0014
- Effects of electric field and strain gradients on cracks in piezoelectric solids / J. Sladek, V. Sladek, M. Wünsche, C. Zhang // Eur. J. Mech: A Solids. - 2017. - Vol. 71. - P. 187-198. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2018.03.018
- Lurie S., Solyaev Y. On the formulation of elastic and electroelastic gradient beam theories // Continuum Mech. Thermodyn. - 2019. - Vol. 31. - P. 1601-1613. DOI: 10.1007/s00161-019-00781-3
- Solyaev Y., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory // Acta Mech. -2019. - Vol. 230. - P. 4197-4211. DOI: 10.1007/s00707-019-02484-x
- Size dependent analysis of a functionally graded piezoelectric micro cylinder based on the strain gradient theory with the consideration of flexoelectric effect: plane strain problem / A. Dini, M. Shariati, F. Zarghami, M. Amin Nematollahi // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. - 2020. -Vol. 42. - P. 410-432. DOI: 10.1007/s40430-020-02497-x
- Modeling and simulation of functionally graded flexo-electric micro-cylinders based on the mixed finite element method / Y. Zheng, L. Chu, G. Dui, X. Zhu // Applied Physics A. -2021. - Vol. 127, no. 9-10. - P. 1399-1419. DOI: 10.1007/s00339-021-04316-z
- Ватульян А.О., Нестеров С.А. Градиентная модель изгиба неоднородной пьезоэлектрической балки // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2022. - № 4-1. -С. 10-20. DOI: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-10-20
- Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rational Mech. Anal. - 1962. -Vol. 11. - P. 385-414. DOI: 10.1007/BF00253945
- Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. - 1964. - Vol. 16. - P. 51-78. DOI: 10.1007/BF00248490
- Shodja H.M., Ghazisaeidi M. Effects of couple stress on anti-plane problems of piezoelectric media with inhomogeneities // Eur. J. Mech. - A/Solids. - 2007. - Vol. 26. - P. 647-658. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2006.09.001
- Li A., Zhou S., Wang B. A size-dependent bilayered microbeam model based on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. - 2014. - Vol. 108. - P. 259-266. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.09.020
- Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости для слоя / С.А. Лурье, Ю.О. Соляев, Л.Н. Рабинский, Ю.Н. Кондратова, М.И. Волов // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2013. - Т. 1. -С. 161-181.
- Fu G., Zhou S., Qi L. The size-dependent static bending of a partially covered laminated microbeam // Int. J. Mech. Sci. - 2019. -Vol. 152. - P. 411-419. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037
- Vatulyan А.О., Nesterov S.A. On the deformation of a composite rod in the framework of gradient thermoelasticity // Materials Physics Mechanics. - 2020. - Vol. 46. - P. 27-41. DOI: 10.18149/MPM.4612020_3
- Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с покрытием на основе градиентной модели термоупругости. Вестник ПНИПУ. Механика. - 2021. - № 4. - С. 60-70. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.07
- Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Modeling of thermoelastic deformation of a thin layer "coating-substrate" system. // J. Phys.: Conf. Ser. - 2022. DOI: 10.1088/1742-6596/2317/1/012012
- Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. R. Soc. Edinburgh. - 1930. - Vol. 49. - P. 38-47.
