Графическая интерпретация задачи линейного программирования при оптимизации процесса функционирования зерноуборочного комбайна «Вектор»
Автор: Джигарханов Дмитрий Георгиевич, Трасковский Сергей Станиславович
Журнал: Вестник аграрной науки Дона @don-agrarian-science
Рубрика: Механизация и электрификация животноводства, растениеводства
Статья в выпуске: 3 (15), 2011 года.
Бесплатный доступ
С точки зрения графической интерпретации предложено решение задачи оптимизации процесса функционирования зерноуборочного комбайн по критерию производительности. Аналогично можно проводить графические исследования с различными параметрами, например, в качестве целевой функции можно выбирать минимум потерь или дробления зерна, а в качестве ограничений использовать производительность, расход топлива.
Испытания, регрессионный анализ, задача линейного программирования, симплекс-метод, градиентный метод, зерноуборочный комбайн
Короткий адрес: https://sciup.org/140204102
IDR: 140204102
Текст научной статьи Графическая интерпретация задачи линейного программирования при оптимизации процесса функционирования зерноуборочного комбайна «Вектор»
Введение. В задачах линейного программирования (ЛП) рассматривается нахождение экстремумов функций линейно зависящих от своих аргументов при линейных ограничениях. При этом ограничения max(min): L = c 1 x 1 +
могут записываться как в виде равенств, так и виде неравенств.
В общем виде задача ЛП может быть записана так:
c 2 x 2 + ... + c n x n , i = 1, n, (1)
при ограничениях: a11x1 + … + a1nxn = b1, ap1x1 + … + apnxn = bp,
a p+11x1 + … + a p+1nxn ≤ bp+1, am1x1 + … + amnxn ≤ bm; p = 1, m; .xi ≥ 0; bp ≥ 0.
Постановка задачи. Нами получены результаты эксплуатационно-технологической оценки зерноуборочных комбайнов «Вектор» на «Сев.-Кав. МИС» на уборке озимой пшеницы прямым комбайнирова-нием (табл. 1).
Кодирование основных параметров и показателей зерноуборочных комбайнов представлено в таблице 2. При этом была поставлена задача – оценить по результа-
там испытаний эффективность процесса функционирования комбайнов «Вектор» в условиях ЮФО.
Результаты решения. Используя регрессионный анализ по результатам испытаний зерноуборочных комбайнов «Вектор» на «Сев.-Кав. МИС» (см. табл. 1), модель процесса функционирования зерноуборочного комбайна «Вектор» в аналитическом виде может быть представлена [1, 2]:
Var 9 = 0,13176 Var1 + 1,085928 Var26,
Var 16 = 0,0157 Var1 + 0,1748 Var26,
Var 17 = 0,0086 Var1 + 0,2481 Var26,
Var 18 = 0,0069 Var1 + 0,12204 Var26,
Таблица 1
Результаты испытаний комбайна «Вектор» на «Сев.-Кав. МИС» на уборке озимой пшеницы прямым комбайнированием
|
Var1 |
Var2 |
Var3 |
Var4 |
Var5 |
Var7 |
Var9 |
Var10 |
Var11 |
Var13 |
Var14 |
Var15 |
Var16 |
Var17 |
Var18 |
Var19 |
Var20 |
Var21 |
Var26 |
Var29 |
Var30 |
Var31 |
Var35 |
Var36 |
Var37 |
Var50 |
|
|
1 |
52,6 |
1,3 |
12,6 |
23,7 |
0,71 |
41,5 |
12,3 |
9,1 |
8,6 |
0,74 |
0,7 |
1,87 |
1,45 |
1,55 |
1,21 |
2,3 |
11,9 |
12,67 |
4,1 |
12 |
23,7 |
1,1 |
18,4 |
0,42 |
0,87 |
11-34-04 |
|
2 |
36 |
0,5 |
16 |
10,2 |
1,25 |
41,1 |
10,1 |
7,2 |
7,1 |
0,71 |
0,7 |
1,9 |
1,47 |
1,5 |
0,6 |
2,24 |
8 |
15 |
4,9 |
11 |
21,2 |
0,9 |
13,2 |
0,43 |
0,73 |
11-30-05 |
|
3 |
48,8 |
1,6 |
13,1 |
14,1 |
0,71 |
34,4 |
9,8 |
7,3 |
7,1 |
0,74 |
0,72 |
1,92 |
1,46 |
1 |
8 |
2,77 |
13,6 |
11,4 |
3 |
12,2 |
26,7 |
0,8 |
12,3 |
0,46 |
0,74 |
11-33-06 |
|
4 |
30,8 |
3,9 |
9,8 |
15,4 |
0,91 |
40,6 |
10,1 |
7,2 |
6,8 |
0,72 |
0,67 |
1,93 |
1,47 |
1,7 |
1 |
2.9 |
9 |
13,3 |
5,7 |
9,8 |
21,8 |
0,5 |
11,5 |
0,46 |
0,6 |
11-15-07 |
|
5 |
57,8 |
3,3 |
10,2 |
28 |
0,71 |
41,7 |
10,9 |
7,5 |
7,1 |
0,71 |
0,67 |
1,89 |
1,44 |
1,38 |
0,5 |
2,55 |
14,7 |
14,3 |
3,16 |
12 |
19,5 |
0,7 |
14,5 |
0,45 |
0,98 |
11-19*-08 |
Таблица 2
Кодирование основных параметров и показателей зерноуборочных комбайнов
max:Var9 = 0,13176 Var1 + 1,085928 Var26, (3)
при ограничениях:
Var16 = 0,0157 Var1 + 0,1748 Var26 ≤ 1,5,
J Var17 = 0,0086 Var1 + 0,2481 Var26 ≤ 2,0, (4)
Var18 = 0,0069 Var1 + 0,12204 Var26 ≤ 2,0,
20 ≤ Var1 ≤ 50, 3 ≤ Var26 ≤ 5.
Для решения задачи ЛП (3), (4), например симплексным методом (СМ), требуется преобразование задачи в матричную форму [2] (рис. 1).
fl RRR - AkelPad
|
Файл Правка Вид Настройки |
Кодировка Справка |
|
FILE: ОРТ Sun Jul 12 |
2009 12:24:54 AM Pagel |
|
Row х1 х2 |
хЗ хЗ х4 |
|
1 0.131760 20.0 2 1.085928 58.8
Ъ |
1.00000Е0 0.00000 1. 1.00000Е0 0.00000 -1. 0.00000Е0 1.00000 1. 0.00000Е0 1.00000 -1. 1.57200Е-2 0.17480 1. 1.57200Е-2 0.17480 -1. 8.62000Е-3 0.24810 1. 8.62000Е-3 0.24810 -1. 6.93000Е-3 0.12204 1. 6.93000Е-3 0.12204 -1. |
Рис. 1. Матричная форма задачи ЛП (3), (4)
2< Lister - LC:\ Documents and Settings\Admin\Mon документы\ВТУЗ\Наука\
Файл Правка Вид Справка Sun Jul 12 2009 12:23:39 AM
|
Final solution |
reached aF t er 8 p iи о 1 |
|
|
Haximun value |
oF objective Function |
- 11.0237 |
|
uariable |
value |
|
|
X 1 |
50-0000000 |
|
|
X 2 |
U_0846682 |
|
|
slack |
value |
|
|
S 2 |
- 00000000 |
|
|
s u |
_91533181 |
|
|
S 6 |
- 00000000 |
|
|
s 8 |
- 55559382 |
|
|
S 10 |
1 -15 5 0 07 09 |
|
|
surplus |
value |
|
|
S 1 |
30-00O0000 |
|
|
S 3 |
1 - 0846682 |
|
|
S 5 |
1 - 4000000 |
|
|
S 7 |
1 - 3 444 06 2 |
|
|
S 9 |
_7449929 |
|
|
constraint |
shadow price |
|
|
C 1 |
- 00000000 |
|
|
C 2 |
- 0341 01 03 |
|
|
C 3 |
_00000000 |
|
|
C U |
- 00000000 |
|
|
С 5 |
- 00000000 |
|
|
C 6 |
6.21240275 |
|
|
C 7 |
- 00000000 |
|
|
C 8 |
- 00000000 |
|
|
C 9 |
- 00000000 |
|
|
C 10 |
- 00000000 |
Рис. 2. Решение задачи ЛП (3), (4) симплексным методом
Само решение задачи СМ, представленное на рисунке 2, свидетельствует, что при правильной настройке комбайнов «Вектор», выполнении всех ограничений на агрофон по ТУ и отсутствии непредвиденных остановок, связанных с поломками и непроизводственными потерями времени, производительность комбайна «Вектор» (по зерну) за час основного времени в условиях при ограничениях:
a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1 ,
ЮФО может достигать Var9 = 11 т/ч, а за час эксплуатационного времени Var11 = 7,7 т/ч, при этом комбайн не рассчитан на уборку зерновых с урожайностью выше 50 ц/га.
Когда число неизвестных равно 2 (n = 2, 3), общая задача ЛП (1), (2) будет иметь вид max(min): L = c1x1 + c2x2 , i = 1, 2, (5)
a m1 x 1 + a m2 x 2
≤ b m ; p = 1, m; .x i ≥ 0; b p ≥ 0.
Допускает графическое толкование (рис. 3).
Графическая интерпретация задачи ЛП по результатам испытаний комбайнов «Вектор»
220,0000
200,0000
180,0000
160,0000
140,0000
120,0000
100,0000
80,0000
60,0000
40,0000
20,0000
0,0000
-20,0000
-40,0000
Скорость движения, км/ч
Рис. 3. Графическая интерпретация задачи (3), (4).
Для решения задачи воспользуемся градиентным методом, для этого определим полуплоскости, где выполняются условия неравенств (4), (6) и область G допустимых решений. Среди точек допустимой области G, для нахождения max: L можно использовать градиент grad L = (c 1 ,c 2 ) т , компонентами которого явля-
ются частные производные функции по ее аргументу. Градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции и перпендикулярен к линии уровня, проведенной в точке, где он вычисляется, grad Var9 = (0,13176, 1,085928). Перемещая линию уровня параллельно самой себе до тех пор, пока она не займет крайнее положение
в области G. Точка области G, через которую проходит линия уровня в крайнем положении, и будет max:Var9.
Выводы. Таким образом, из рисунка 3 следует, что комбайн «Вектор» может использоваться и при более высокой урожайности зерновых, чем, например, 50 ц/га, но при этом будет снижаться его производительность, а что касается рабочей скорости комбайна, то она не должна превышать 8 км/ч.
Аналогично можно проводить графические исследования с различными параметрами, например, в качестве целевой
функции можно выбирать минимум потерь или дробления зерна, а в качестве ограничений использовать производительность, расход топлива и т.п.
Список литературы Графическая интерпретация задачи линейного программирования при оптимизации процесса функционирования зерноуборочного комбайна «Вектор»
- Карманов, В.Г. Математическое программирование/В.Г. Карманов. -Москва: Наука, 1986. -288 с.
- STATISTICAL GRAPHICS SYSTEM by STATISTICAL GRAPHICS CORPORATION. User's guide. (Пакет прикладных программ STATGRAPHICS (SG), версии 2.6, номер 1157855, 1989).
