Гравитационные поля электромагнитной природы
Автор: Тихомиров Илья Викторович
Журнал: Вестник Омского государственного аграрного университета @vestnik-omgau
Рубрика: Экономические и социально-гуманитарные науки
Статья в выпуске: 4 (8), 2012 года.
Бесплатный доступ
В общей теории относительности гравитационные поля представляют собой искривление метрики пространства-времени. В данной статье в тензорной форме получены уравнения гравитационного поля при наличии только электромагнитного поля, а также уравнение Пуассона для гравитационного потенциала в пространстве, определяемого напряженностью электростатического поля.
Общая теория относительности, гравитационное поле, нелинейная электродинамика, электромагнитное поле, уравнения гравитационного поля, искривление пространства
Короткий адрес: https://sciup.org/142198840
IDR: 142198840
Текст научной статьи Гравитационные поля электромагнитной природы
В общей теории относительности (ОТО) гравитационные поля представляют собой искривление метрики пространства-времени. В отсутствии гравитационных полей, в инерциальной системе отсчета метрика пространства-времени галилеева, т. е. соответствует геометрии четырехмерного псевдоевклидова пространства с метрическим тензором
Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам, т. е. под данной записью мы будем подразумевать произведение ковариантного тензора g на контравариантный
тензор dxidxj . Переход между ковариантной и контравариантной формами тензоров осуществляется через метрический тензор, например:
В” = дИдткВк . (3)
Компоненты метрического тензора подчиняются уравнению гравитационного поля
8 G 1
ik 4 ik g Sik ,
c 2
где G = 6, 77-10 11 м3 кг С2 - гравитационная постоянная; с = 2, 99-108 м/с - скорость света в вакууме; Tk - тензор энергии-импульса; T = Т - след тензора энергии-импульса; Rik - тензор второго ранга, который можно получить из тензора кривизны четвертого ранга R"mk, сумми- руя по индексам n и m:
mm
RRm ik imk
ik im m l ml
6xm dxk lm ik lk m, где m – символы Кристоффеля, определяемые выражением

Тензор кривизны четвертого ранга определяется следующим выражением nn
Rn ik im n l n l imk mklm ik lk im
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Рассмотрим уравнения гравитации при отсутствии макроскопических тел, при этом в пространстве может находиться электромагнитное поле. В этом случае тензор энергии - импульса определяется только электромагнитным полем и имеет вид
1 l 1 lm
,
ik il k lm gik где Fik - тензор электромагнитного поля. Здесь для упрощения выражений используется га уссова система единиц . Тензор электромагнитного поля определяется через
4- потенциал A :
AA
F . = A . - A. k = —Lт
ik k;i i'k Xx'Xx где A составляется из векторного и скалярного потенциалов электромагнитного поля (A2e3=Ax,A ,Az и A = -фу. Ai;t- ковариантная производная от 4-потенциала:
ХД
A =—r-rm A .(10)
i; kik m
Тензор электромагнитного поля можно записать через напряженности электрического и магнитного полей:
0 |
H z |
H y |
E x |
H F z |
0 |
H x |
E y |
ik H y |
H x |
0 |
E z ’ (11) |
E x |
E y |
E z |
E x |
1A где E =----grad(/>, H = rotA . Для того чтобы выражение для тензора энергии-импульса ct электромагнитного поля не зависело от метрического тензора, запишем тензор энергии-импульса электромагнитного поля в смешанной форме:
Т к = — | F,F “ -1 F F lm8k |, i 4 il 4 lm i
где 8( = gug,i - единичный тензор; 8* = 0 при 1* к и 8* = 1 при i = k . Тензор энергии-импульса обладает тем замечательным свойством, что его след равен нулю, т. е. Т = Т = 0. В смешанной форме тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид
1 ( E 2 E 2 E 2 2 xyz
H 2 H 2 H 2 ) xyz
EE HH xy x y
EE xz
HH xz
EH y
EH zy
k
i
EE HH
x
y xy
1 ( E 2 E 2 E 2
2 x y z
H 2 H 2 H 2 ) xyz
EE yz
HH yz
EH zx
EH x
EE HH xz x z
EE yz
HH yz
1 ( E 2 E 2
2 x y
E 2 z
EH EH yz zy
EH zx
EH xz
H 2 H 2 H 2 )
xyz
EH EH xy yx
EH EH yz zy
Временная компонента тензора энергии-импульса связана с плотностью энергии электромагнитного поля То0 = —го, компоненты T а,Р = 1, 2, 3 образуют тензор плотности потока импульса электромагнитного поля, и компоненты Т0 6Z = 1, 2, 3 связаны с вектором плотности импульса электромагнитного поля T 0 cP . Полученное выражение тензора энергии-импульса электромагнитного поля в криволинейных координатах не зависит от метриче- ского тензора.
Уравнения гравитации при наличии электромагнитного поля
При отсутствии макроскопических тел уравнения гравитационного поля запишутся в виде (Т = 0):
8 G
Ri k 4 T ik *
c
Вследствие квантовых эффектов классическая электродинамика становится противоречивой при сильных полях. Наличие сильного электромагнитного поля сопровождается рождением частиц из вакуума, поэтому электромагнитное поле в «чистом» виде, без частиц, возможно только при слабых полях. Мы будем рассматривать классические, слабые электромагнитные поля, т. е. в нашем случае напряженности электрического и магнитного полей m 2 c 3
ограничены снизу величиной----, где h - постоянная Планка; m, e - масса и заряд электро- he на. Такие поля, вследствие малости G, будут приводить к малым искривлениям пространства-времени, поэтому можно пользоваться первым приближением (ньютоновским приближением) для уравнений гравитационного поля. В этом случае метрика пространства-времени близка к галилеевой метрике и компоненты метрического тензора могут быть записаны в следующем виде gik gik hik где h – малая поправка к галилеевой метрике.
Так как гравитационное поле создано слабым электромагнитным полем, то поправка к тензору энергии-импульса вследствие искривления пространства-времени является величиной большего порядка малости, т. е. ковариантный тензор энергии-импульса T можно рас- считывать в галилеевой метрике:
Tik gimTk gim Tk + h Tm gim TkT
ik im k im k im k im kik причем T 0T ,T 0T0a,P =1,2,3 . , 00 0 , ,,
Выражение для R в первом приближении имеет вид
R ik 2
A
c 2 t 2
h, ik
3 5 2
где A=Z^ – оператор Лапласа, а □ = 15 x 2
1 5 2 c 2 t 2
– оператор д’Аламбера. Уравнения
гравитационного поля при наличии только электромагнитного поля принимают простой вид
1 9 2
c 2 "дt 2
h ik
16 G 0
4 Tik .
c 4
Например, для электростатического поля R
1 E 2
ГР и T 00 , где ф – потенциал
статического гравитационного поля, уравнение для временной компоненты тензоров имеет вид
2 GE 2
ГР c 4
.
Полученное выражение – это уравнение Пуассона, определяющее распределение гравитационного потенциала. Решение уравнения зависит от напряженности электростатического поля, т. е. распределение гравитационного потенциала в пространстве определяется электростатическим полем.
Безусловно, гравитационное поле, созданное электромагнитным полем, слабо и не может быть обнаружено в современных экспериментах, но удивителен сам факт существования связи между, казалось бы, совершенно различными объектами природы – электромагнитным и гравитационным полями.
Список литературы Гравитационные поля электромагнитной природы
- Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: В 10 т./Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -Т. 2. -М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962. -400 с.