Групповое расслоение уравнений трансверсально-изотропной упругости

c11 = (X + 2ц)811 + X822 + X'833, c12 = 2ц812,c22 = X811 + (X + 2ц)822 + X'833,

c ¹³ = 2 G ‘8 ¹³ , c ²³ = 2 G '8 ²³ ,

c11 = X'^11 + 822 ) + (X'+ 2ц')833 ,            (1)

где X , ц , X ' , G ' , ц' - независимые параметры тензора модулей упругости трансверсально-изотропного тела.

Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений u = u(x 1, x2, x3, t) e R3 по формуле 28i = u‘j + uj , x       xi i, j = 1,2,3.

Исходная система уравнений движения нестационарной трансверсально-изотропной теории упругости в силу (1) записывается в виде pu1t = dx ((X + ц)(ux + u2) + (X' + G')uZ) +

+ ц(uxx + u Уу ) + G'u L , p u2 =d y ((X + ц)( ux + u^ + (X' + G') uz) +     (2)

+ ц(uxx + u^y ) + G'uzz , putt = dz ((X' + G')(ux + u2) + (X' + ц')uZ) +

^{+ G} ' ⁽ u xx ⁺ u Xy ) ^{+ Ц} ' ^uZz , где p - постоянная плотность среды; x = ( x , y , z ) T e R ³ .

Математическая характеристика условия Гассмана. Предложение . Система уравнений (2) движения трансверсально-изотропной упругой среды имеет в качестве частного решения u = V h ( x , y , z ) - градиент гармонической функции h = h ( x , y , z ) -только в следующих случаях:

• 1)    h_zz = const;

• 2)    h zz == F ( z ), Ц' = G ' ;

• 3)    h_zzz = 0, X' = X + 2 ц- 2 G ' ;

• 4)    ц' = G', X' = X + 2ц-2G'.

Особый интерес представляет четвертый случай, дающий ограничение лишь на модули упругости. Оказывается, что при таких модулях упругости заведомо выполняется условие Гассмана [3; 4], которое ранее было предложено в работе [5]. Это условие широко применяется в геофизике при исследовании распространения волн в трансверсально-изотропных упругих средах.

При ц' = G ' , X' = X + 2 ц - 2 G ' уравнения (2) при-

нимают вид

о X )

p u _tt - ( X + 2 ц ) V div u + rot

G ' 0 rot u = 0. (3)

ц;

Система (3) является объектом исследования в данной статье.

Основная группа Ли. Оператор, допускаемый системой (3), ищется в виде

• ^ ⁰ ( t , x , u ) d t + ^ ( t , x , u ) d x + n ( t , X , u ) d „ .

Уравнения (3) ввиду линейности допускают бесконечную группу Ли преобразований с нормальным делителем, порождаемым операторами u0(t,x)du,                      (4)

где u ₀ ( t , x ) – произвольное решение уравнений (3). Фактор-группа по этому нормальному делителю конечномерна, ее алгебра Ли разрешима и имеет базис:

• ^d x , ^d y , ^d z , ^d t , x ^d y ^- У ^d x ⁺ u 1 ⁵„2 ^{- u} 2 5 1 ,

uu

td, + x -dT , u -d,,.

t xu

Групповое расслоение. Задача отыскания операторов (4) равносильна решению исходных уравнений (3). Поэтому данные операторы не находят широкого применения в групповом анализе при построении классов частных решений, однако они могут быть использованы для преобразования системы (3) в равносильную ей систему.

Среди операторов вида (4), допускаемых системой (3), содержатся операторы

V h ( x , y , z ) d u ,                   (5)

где h ( x , y , z ) – произвольная гармоническая функция.

Базис дифференциальных инвариантов первого порядка бесконечной группы с оператором (5) можно выбрать следующим образом [6]:

J1 = t, J2 = x, J3 = div u , J4 = rot u, J5 = ut, что позволяет выполнить групповое расслоение уравнений (3) относительно этой группы.

Автоморфная система имеет вид ut = v(x, t), div u = 9(x, t), rot u = m(x, t),   (6)

а разрешающая система – вид pvt = (X + 2ц)V9-rot (M -m), 9t = divv, rot = rot v , div m = 0 ,                (7)

v = (v1,v2,v3)T ; ' G ‘ 0 0' где M = 0 G ‘ 0 ч 0 0 ^у m = (m1, m2, m3)T .

Система уравнений (3) равносильна системе первого порядка, составленной из уравнений (6) и (7), в которой искомыми функциями являются вектор перемещений u и дополнительные функции v , 9 , ю .

Если в системе (7) вектор v заменить на вектор перемещений u , то получится система уравнений p ut = (Х + 2ц)V9-rot (M-m),

9 ₁ = div u , m t = rot u , div m = 0 ,                    (8)

содержащая меньшее, чем объединенная система (6), (7), число дополнительных функций, а именно: 9 ( x , t ), m ( x , t ).

Теорема. Система (8) равносильна системе (3), т. е. для любого решения (u, 9, ю) системы (8) функция u является решением системы (3), и обратно: для любого решения u системы (3) найдутся функции 9, ю, такие что (u, 9, ю) является решением системы (8).

Доказательство. Если ( u , 9 , ю ) - решение системы (8), то его подстановка в данную систему и дифференцирование по t первого соотношения дают уравнения (3) для функции u .

Пусть теперь u является решением системы (3). Из третьего уравнения системы (8) после подстановки в него u получим: t ю = J rot u (т, x) d т+ю0 (x).             (9)

Для того чтобы удовлетворить последнему уравнению системы (8), можно взять ю0 (x) = rot v(x)             (10)

с некоторой функцией v ( x ) .

Оставшиеся уравнения дают систему для функции 9 :

( Х + 2 p ) V9 = p u _t + rot ( M - m ) , 9 _t = div u , (10) условия совместности которой таковы:

rot ( p u _t + rot ( M - m ) ) = 0.              (11)

Для функции f (x, t) = rot (put + rot (M -m)) справедливы равенства ft(x, t) = rot (putt + rot (M - rot u)) =

= rot ( ( X + 2 p ) V9 ₁ ) = 0.

Это означает, что f (x, t) = f (x,0). Условия совместности (11) принимают вид rot |^ut |t=0 +rot (M -ю0 (x))] = 0.

Эти условия заведомо выполняются, если в качестве ю ₀ ( x ) взять функцию (10), где у ( x ) = ( v 1 , V 2 , V 3 ) — решение линейной эллиптической системы с постоянными коэффициентами

^А ^ ⁺ Г 1 — ^l^rot ( ^0,0 V 2 — V y .) T = ' ut |, ₀- ⁽¹²⁾ \ G у ^x                   G t 0

Итак, функция 9 определяется из совместной системы в полных дифференциалах (11), а функция ω задается формулами (9), (10), (13).

Следствие . Если в системе (8) отбросить последнее уравнение, то оставшаяся эволюционная часть этой системы будет равносильна уравнениям (3) движения нестационарной трансверсально-изотропной упругой среды.

Последнее уравнение в системе (8) делает ее переопределенной, но оставляет пассивной. Роль этого уравнения сводится к уменьшению произвола в выборе дополнительных функций.

Групповое свойство системы (8). Оператор, допускаемый системой (8), ищется в виде

X = ^051 +^-5x +П-дu + °d9 +T-Sm , где координаты касательного векторного поля группы Ли 50,       ^ = (^1, у, У)T,       n = (n1,n2, n3)T, а, т = (т1, т2, т3) T являются функциями от t, x, u, 9, m соответственно.

Решение системы определяющих уравнений с помощью критериев x-автономности и линейной автономности, полученных в работах [7–10], показывает, что основная алгебра Ли системы (8) (фактор-алгебра по идеалу, связанному с линейностью системы) является семимерной алгеброй L7 и порождается операторами x1 =dx, x2 =dy, x3 =dz, x4 =dt,

Xc = x d_v — y d_y + U d 2 — u ²d i + m'c 2 — to²d j ,

5 y x        u2        u 1         m2 m x6 = tdt + x -dx                (13)

X 7 = u -d u +95_e + m -d m , где оператор X ₇ – ее центр.

Таким образом, система (8) допускает ту же самую основную группу Ли преобразований, что и уравнения системы (3), только действующую в ином пространстве. Расширение данной группы возможно только в случае G ' = ц' = ц , рассмотренном в работе [6].

Для классификации инвариантных и частично инвариантных решений системы (8) нужно перечислить все неподобные подалгебры алгебры Ли L ₇ с базисом (14), т. е. построить оптимальную систему ее подалгебр [11]. Эта задача решена с помощью двухшагового алгоритма, предложенного в работе [12]. Ввиду громоздкости результаты в данной статье не приводятся.

В заключение приведем пример точного решения системы (3), описывающей динамическую деформацию трансверсально-изотропной упругой среды. Решение системы (8), инвариантное относительно подгруппы HXX2,yX1 + X4,X7 + X2), Y > 0 , имеет вид u = f (Р)ey, 0 = ®(p)ey , ® = g(p)ey, p = x-Yt.

Соответствующая фактор-система приводится к виду

Yfl + (X + 2ц) ©p - цg3 = 0, Yfp + (X + 2ц)© + цgp = 0,

Y f p + G ' ( g 1 — g p ) = 0, Y© p + f p + f ² = 0, Y g p + f 3 = 0, Y g p — f p = 0, Y g p + f p — f 1 = 0, g p + g ² = 0.

Решение системы (3) в данном случае определяется по формулам u1 = C1 ey+M x-Y t)+ C2 ey - M x-Y t) +

+ C 3 e y ⁺ k 2 ( ^x -Y t ) + C 4 e y ^{- k} 2 ^{( x} -Y t ) , u ² = k 1 e y ( C ₂ e ^- k ^{1 (} x ^-Y t ) - C 1 e k ^{1 (} x ^-Y t ) ) + + k ₂ ^-1 e y ( C 3 e^{k 2 ( x -Y} t ) - C ₄ e ^{- k 2 ( x -Y} t ) ) ,

Г     G'x)

u ³ = C_se y sin ------ -( x -Y t ) +

^ у G — Y J

Г    G')

+ C6ey cos I-(x-Yt) , 6 G ‘-Y2)

• , I ц ,      / X + 2ц

где k 1 = —---; k ₂ = —--------; C i - произволь-

• V Y-ц V Y -X- 2ц

ные постоянные, i = 1, 2, ...,6. При этом также должно выполняться ограничение на модули упругости:

max (ц, X + 2ц) < y2 < G'.

Это решение является аналогом волн Рэлея для трансверсально-изотропной упругой среды. Перемещения экспоненциально убывают по у при у ^ -го .

Поверхности уровня для u ¹ и u ² представляют собой бегущие волны цилиндрической формы с образующими, параллельными оси Oz и экспоненциальной кривой на плоскостях, перпендикулярных этой оси. Поверхности уровня для u ³ в каждом сечении плоскостью, перпендикулярной оси Oy , являются бегущими волнами синусоидальной формы.