Группы Шункова

Введение. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа, которая этим свойством не обладает [1]. Примерами свойств такого рода являются локальная конечность, локальная нормальность, конечность всех классов сопряженных элементов, конечность всех убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп) и многие другие свойства. Систематическое изучение групп с теми или иными условиями конечности началось в конце 30-х гг. ХХ в. и в значительной степени было связано с исследованием специальных групп и близких к ним локально разрешимых групп с условием минимальности для подгрупп С. Н. Черниковым [2; 3] в 1939, 1940 гг.

Владимир Петрович Шунков уже десять лет назад указал на связь теории групп с космической отраслью. Как будто предчувствуя заказ на эту связь его теории с космосом, в 2005 г. он написал работу «Теория групп и космос» [4]. В работе 1970 г. [5] В. П. Шунков использует термин «бипримитивно конечные группы» для класса групп, ставших в настоящее время классом групп Шункова, но только для периодических групп, и сечения берутся по экстремальным (черниковским) подгруппам.

Определение. Пусть G – периодическая группа, p – некоторое простое число, удовлетворяющее условию: если H подгруппа из G , N – инвариантная экстремальная подгруппа в H , то в фактор-группе H / N любые два элемента порядка p порождают конечную подгруппу. Тогда G назовем бипримитивно конечной относительно p .

Если G бипримитивно конечна относительно любого p ел ( G ) , то группа G в 1970 г. называлась бипримитивно конечной .

В дальнейшем понятие совершенствовалось, и в окончательном виде, который используется и теперь, закрепилось следующее определение.

О пределение. Группа G называется сопряженно q-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе N G ( H ) / H любая пара сопряженных элементов порядка q порождает конечную подгруппу.

В частности, любая периодическая группа сопряженно 2-бипримитивно конечна.

Если группа G является сопряженно q-биприми-тивно конечной относительно любого простого числа q еп(G), то G называется сопряженно бипримитивно конечной группой.

В это же время были введены условия.

Определение. Группа называется слабо q-биприми-тивно конечной , если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо бипримитивно конечной , если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо q - сопря-женно бипримитивно конечной , если ее два любых элемента простого порядка q , сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо сопряженно бипримитивно конечной , если ее два любых элемента простого порядка, сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу.

Понятие сопряженно бипримитивно конечной группы в последнем варианте введено Владимиром Петровичем Шунковым в 1975 г. в тезисах доклада на Всесоюзном алгебраическом симпозиуме. Ссылка на этот факт имеется в работе А. Н. Остыловского [6].

Намек на появление нового термина для класса сопряженно бипримитивно конечных групп сделал сам В. П. Шунков. Когда в 1975 г. Д. И. Зайцев высказал мысль о громоздком названии этого класса групп, Владимир Петрович ответил в шутку: «Так назовите их группами Шункова». Но тогда этот класс еще не получил достаточного применения и использовался только в работах автора и трех его учеников.

В 80-е годы ХХ в. ситуация сильно изменилась: класс сопряженно бипримитивно конечных групп упоминался уже во многих докладах на международных конференциях, десятки ученых посвящали этому классу групп свои статьи, защищались диссертации. И уже на заседании диссертационного совета официально отметили, что пора бы подумать о более приемлемом названии для широко используемых групп.

В самом начале ХХI в. В. Д. Мазуров предложил назвать сопряженно бипримитивно конечные группы группами Шункова. И постепенно, то в одной статье, то в другой термин заменялся на новый. И теперь уже трудно встретить старый термин, а термин «группы Шункова» стал таким же естественным, как термин «группы Черникова».

Определение. Группа называется группой Шункова , если для любой ее конечной подгруппы H в факторгруппе N g ( H ) / H любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

В настоящее время группы Шункова встречаются в работах А. А. Дуж, Л. Гамуди, В. О. Гомера, М. Н. Ив-ко, А. Н. Измайлова, Ал. Н. Остыловского, А. Н. Остыловского, И. И. Павлюка, А. М. Попова, А. В. Рожкова, А. Г. Рубашкина, Е. И. Седовой, В. И. Сенашова, А. И. Созутова, Н. Г. Сучковой, А. В. Тимофеенко, Г. А. Трояковой, К. А. Филиппова, А. А. Черепа, Н. С. Черникова, А. А. Шафиро, А. К. Шлепкина, В. П. Шункова.

Результаты по группам Шункова. Первым результатом В. П. Шункова, касающимся класса бипримитивно конечных групп, является следующая теорема.

Теорема 1 (В. П. Шунков [5]). Если в бипримитивно конечной р -группе централизатор некоторого элемента простого порядка - экстремальная группа, то сама группа экстремальна.

Напомним, что экстремальным называлась во время написания статьи В. П. Шункова конечное расширение абелевой группы с условием минимальности для подгрупп (в дальнейшем эти группы получили название черниковских или групп Черникова).

Теорема 2 (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная р -группа (а при p = 2 произвольная 2-группа) обладает конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой, то группа экстремальна.

Следствие (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная р -группа (а при р = 2 произвольная 2-группа) удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп, то она экстремальна.

Теорема 3 (В. П. Шунков [7]). Бесконечная бипримитивно конечная группа содержит собственную бесконечную абелеву подгруппу.

Теорема 4 (А. И. Созутов, В. П. Шунков [8]). Бипримитивно конечная группа, у которой все собственные бесконечные подгруппы абелевы, локально конечна.

Отметим один результат М. В. Носкова, обобщающий предыдущую теорему А. И. Созутова и В. П. Шункова.

Теорема 5 (М. В. Носков [9]). Бипримитивно конечная группа G с собственными бесконечными подгруппами нильпотентности класса <  2 локально конечна.

Чтобы множество групп считалось классом групп, необходима замкнутость его относительно взятия подгрупп и фактор-групп. Докажем две теоремы в этом направлении:

Теорема 6. Класс групп Шункова замкнут относительно взятия подгрупп.

Доказательство. Пусть H - подгруппа группы Шункова G. В группе H подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы G , поэтому они конечны. В фактор-группе N h ( K ) / K по конечной подгруппе K подгруппы, порожденные двумя сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы N g ( K ) / K , поэтому также конечны по определению группы Шункова. Следовательно, группа H является группой Шункова. Теорема доказана.

Теорема 7 . Класс групп Шункова замкнут относительно взятия фактор-групп по конечным группам.

Доказательство. Пусть K - конечная нормальная п о дгруппа группы Шункова G. В фактор-группе G = G/K подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, конечны по определению группы Шункова.

В фактор-группе N q ( H ) / H по конечной подгруппе H группы G рассмотрим два сопряженных элемента простого порядка a , a g . Поскольку они нормализуют подгруппу K, то их образы b , b g в факторгруппе N q ( HK ) / HK , очевидно, имеют простой порядок и сопряжены по теореме 4.2.1 из [10]. Группа ( b , b g ) конечна по определению группы Шункова, тогда и группа { a , a^g ) также конечна, поскольку ее полный прообраз содержится в конечном полном прообразе группы { b , b g ) в группе G. Теорема доказана.

Теорема 8 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11]). Пусть G - q -бипримитивно конечная группа со слабым условием минимальности для абелевых q -подгрупп. Если в централизаторе любого нецентрального q -элемента силовские q -подгруппы сопряжены, то и в G силовские q -подгруппы сопряжены.

В работе [11] А. Н. Остыловский и В П. Шунков доказали, что в q -бипримитивно конечной группе со слабым условием минимальности силовские q -подгруппы сопряжены. В этой же работе ими для периодической бипримитивно конечной группы доказана эквивалентность слабого условия минимальности и условия минимальности.

В следующей теореме группа Шункова и группа Черникова связываются в классе групп без элементов второго порядка через условие минимальности для абелевых подгрупп.

Теорема 9 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11; 12]). Сопряженно бипримитивно конечная группа, не содержащая инволюций и удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп, является разрешимой черниковской.

А. И. Созутов доказал существование m -порождён-ных бесконечных слабо бипримитивно конечных групп Фробениуса для m >  2 четного периода nq такого, что п/ 2 >  665, q - простое число, взаимно простое с п [13].

Приведем ряд результатов А. И. Созутова, характеризующих группы Шункова и близкий к ним класс групп слабо сопряжено бипримитивно конечных групп и бипримитивно конечных групп (включающих в себя группы Шункова).

Теорема 10 (А. И. Созутов [13; 14]). Слабо сопряженно бипримитивно конечная группа тогда и только тогда изоморфно вложима в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы, когда все ее элементы простых порядков порождают локально конечную подгруппу T одного из типов:

• 1)    T - локально циклическая группа;

• 2)    T = C х S , где S = SL ₂(3), C - локально циклическая {2,3}'-группа;

• 3)    T = C х S , S = SL ₂(5), C - локально циклическая {2,3,5}'-группа.

Теорема 11 (А. И. Созутов [13; 14]). В неинвариантном множителе H слабо бипримитивно конечной группы Фробениуса элементы простых порядков порождают подгруппу типов 1-3 предыдущей теоремы.

Теорема 12 (А. И. Созутов [13; 14]). Пусть G - группа Шункова, H - ее собственная подгруппа, содержащая неединичный элемент конечного порядка, и ( G , H) - пара Фробениуса. Тогда G обладает периодической частью T , являющейся группой Фробениуса с локально конечным неинвариантным множителем H П T .

Теорема 13 (А. И. Созутов [13; 14]). Неинвариантный множитель бипримитивно конечной группы Фробениуса обладает локально конечной периодической частью, изоморфно вложимой в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы.

• В.    П. Шунков в 2003 г. охарактеризовал почти слойно конечные группы в классе локально конечных групп.

Теорема 14 (В. П. Шунков [15]). Локально конечная группа G тогда и только тогда почти слойно конечна, когда в G выполняется условие: нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы из G - почти слойно конечная группа.

Из этой теоремы В. П. Шункова берут начало характеризации почти слойно конечных групп в классе групп Шункова. Приведем одну из таких характеризаций.

Теорема 15 (В. И. Сенашов [16; 17]). Пусть группа Шункова G содержит сильно вложенную подгруппу, обладающую почти слойно конечной периодической частью. Если в G нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью, то и сама группа G обладает почти слойно конечной периодической частью.

Следующая теорема устанавливает строение бесконечной силовской 2-подгруппы в группах Шункова, не обладающих почти слойно конечной периодической частью, при условии, что нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью.

Теорема 16 (В. И. Сенашов [18]). Пусть в группе Шункова G , не обладающей почти слойно конечной периодической частью, нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Если некоторая силовская 2-подгруппа группы G бесконечна, то она является расширением квазициклической 2-группы при помощи обращающего автоморфизма.

Взаимоотношения класса почти слойно конечных групп с близкими классами групп установлены автором в [19].

Приведем результат Н. С. Черникова, устанавливающий связь между классами групп Шункова и Черникова.

Теорема 17 (Н. С. Черников [20]). Периодическая группа Шункова с условием минимальности для неабелевых подгрупп - черниковская.

• А. К. Шлёпкин получил свойства групп Шункова с условием примарной минимальности.

Теорема 18 (А. К. Шлепкин [21]). Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает локально конечной периодической частью .

Теорема 19 (А. К. Шлепкин [21]). Периодическая группа Шункова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима.

• Н.    Г. Сучкова совместно с В. П. Шунковым описывала группы Шункова с условием минимальности для абелевых подгрупп.

Теорема 20 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [22]). Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа, удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп, является черниковской.

Теорема 21 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [23]). Пусть G - сопряженно бипримитивно конечная группа, содержащая инволюции, и C_G ( i ) - периодическая подгруппа для любой инволюции i . Если в группе G любая локально конечная подгруппа с инволюциями удовлетворяет минимальности для абелевых подгрупп, то G - черниковская группа.

Теорема 22 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [24]). Пусть i - автоморфизм порядка 2 периодической сопряженно бипримитивно конечной группы T без инволюций. Если в T все i -допустимые локально конечные подгруппы удовлетворяют условию минимальности для абелевых подгрупп, то T - черников-ская группа.

Г. А. Троякова изучала строение периодических групп Шункова с черниковскими силовскими 2-подгруппами.

Теорема 23 (Г. А. Троякова [25]). Пусть G - бесконечная периодическая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием: любая локально конечная подгруппа из G либо черниковская, либо локально нильпотентна. Если силовские 2-подгруппы из G -черниковские, то группа G либо черниковская, либо G / Z ( G ) разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

М. Ю. Бахова в [26] установила существование бипримитивно конечной, но не бинарно конечной группы. А. А. Череп в [27] доказал, что существует бипримитивно конечная группа, не обладающая периодической частью, и в [28] он доказал, что для любого простого числа р существует бипримитивно конечная группа G такая, что п ( G ) = { р } и множество периодических элементов группы G не составляет подгруппу - ее периодическую часть.

Отметим, что А. А. Череп в [28] установил существование бипримитивно конечной группы G , обладающей нормальной элементарной абелевой подгруппой B такой, что фактор-группа G / B не является даже слабо сопряженно бипримитивно конечной. В то же время в этой же работе показано, что разрешимая сопряженно бипримитивно конечная группа бипримитивно конечна.

То, что некоторые группы Алёшина не являются группами Шункова, установил А. В. Тимофеенко.

Теорема 24 (А. В. Тимофеенко [29]). Для любого простого числа р и каждого r >  2 существует несопряженно бипримитивно конечная финитно аппроксимируемая r -порожденная р -группа.

Недавно им совместно К. Гуптой удалось установить, какие из групп Голода являются группами Шункова, а какие нет.

Напомним, что группа называется сопряженно n-конечной , если любые ее n сопряженных элементов порождают конечную подгруппу. В следуюшей теореме устанавливается связь между классами сопряжено k -конечных групп и n -конечных групп для натуральных чисел n и k.

Теорема 25 (А. В. Рожков [30]). Пусть p – простое число, 1 ≤ n ≤ k – натуральные числа. Тогда существует конечно порожденная финитно аппроксимируемая сопряжено k -конечная, n -конечная, но не ( n + 1)-конеч-ная p -группа. В частности, p -группа может быть не бинарно конечной, но сопряженно k -конечной, где k сколь угодно велико.

Группы Шункова с условием насыщенности в последнее время интенсивно изучаются в работах А. А. Дуж, А. А. Кузнецова, А. Г. Рубашкина, К. А. Филиппова, А. К. Шлепкина. С результатами этих авторов в данном направлении можно познакомиться в обзоре [31].

Заключение. Класс групп Шункова уже достаточно давно получил признание у специалистов по теории групп. Эта работа является первой работой, посвященной обзору результатов, касающихся групп Шункова. Показана связь класса групп Шункова с классами групп Черникова, групп Алёшина, почти слойно конечных групп, периодических групп. Результаты статьи найдут применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.

Acknowledgments. This work was supported by the grant of the Siberian Federal University (Project – Algebra-logical structures and complex analysis).