Holding problem for Gronoull limited controls

Rⁿ fazoda P va E obyektlar berilgan va ularning harakatlari quyidagi differensial tenglamalarga asoslangan t

• P : x = u , x ( 0 ) - kx ( 0 ) = 0 ,   | u ( t )|² <  p ² + 2 l j| u ( s )|² ds ,          (1)

0 t

• E : y = v , y ( 0 ) - ky ( 0 ) = 0 ,    v ( t )|² < a ² + 2l j v ( s )|² ds ,          (2)

bu yerda x - P obyektning Rn fazodagi holati, x0 = x (0), x{ = x (0) -uning mos ravishda t = 0 vaqtdagi boshlang’ich holati va boshlang’ich tezligi; u -quvlovchining boshqariladigan tezlanishi bo’lib u : [0,ад)^ Rn  va u vaqt bo‘yicha     o‘lchanuvchi     funksiya     sifatida     tanlanadi;     barcha

t

|u(t )|² <  p ² + 2 lj|u ( s )|² ds shartni qanoatlantiruvchi bunday u ( • ) o’lchanuvchi 0

funksiyalar to’plamini G bilan belgilaymiz. y–E  obyektning Rn fazodagi holati,    y0 = y ( 0),    yx = y ( 0)    - uning mos ravishda barcha

t

|v ( t )|² <  a ² + 2lj|v ( s )|² ds shartni qanoatlantiruvchi bunday v ( • ) o’lchanuvchi 0

funksiyalar to‘plamini G bilan belgilaymiz.

Ta’rif 1. Agar   ( x ₀, x , u ( • ) ) ,   u ( • ) £ G_p  uchlik berilgan bo’lsa,    (1)

tenglamaning quyidagi yechimiga quvlovchining harakat trayektoriyasi deyiladi ts x ( t ) = x ₀ + tx + jj u ( t ) d r ds . 0 0

Ta’rif 2. Agar ( y ₀, y₁ , v ( • ) ) , v Qe G_e    uchlik berilgan bo'lsa (2)

tenglamaning quyidagi yechimiga qochuvchining harakat trayektoriyasi deyiladi ts y (t) = y0 + У +£р(т)drds.

0 0

Ta’rif 3. (1)-(2) masala uchun tutish masalasi ([1]-[2]) yechilgan deyiladi, agar qochuvchining ixtiyoriy v ( • ) e G_E boshqaruv funksiyasi uchun quvlovchining shunday u * ( • ) e G_p boshqaruv funksiya mavjud bo‘Isaki, biror chekli t * vaqtda quyidagi tenglik bajarilsin

x ⁽ t *) = У ⁽ t *).

Ta’rif 4. (1) – (2) masala uchun quvlovchining П-strategiyasi ([3]-[4]) deb quyidagi funksiyaga aytamiz, u ( v ) = v - Л( v )^o,

bunda 4 = z ^, Л ( v ) = ( v , 4 0 ) + J( v 4 / + 3 e² lt , ³ = P ² - a ² ^ 0 , ( v, 4 ) — v I ^z 0

va 4 vektorlarning R n fazodagi skalyar ko’paytmasi.

Teorema. Agar Granoull chegaralanishli ikkinchi tartibli differensial o‘yin (1)(2) uchun quyidagi shart p > a o'rinli bo'lsa, u holda П-strategiya (4) yordamida tutish masalasi (0,t) yechiladi va obyektlar orasidagi yaqinlashish funksiyasi quyidagicha bo‘ladi f (l, t, | z 01, p, a, k) = \z 01 (kt +1)

p - a   p - a p - aelt + ^ + --1

l ²                l ²            l

Isboti. Faraz qilamiz, agar qochuvchi ixtiyoriy v(•) e GE bo'lganda, quvlovchi esa (4) ko‘rinishdagi strategiyani tanlasin, u holda (1) va (2) tenglamalarga asosan quyidagi Karateodori tenglamasini topamiz z = -Л( v (t ))^0,    z ( 0)-k (0 ) = 0,

Bundan boshlang’ich shartlarni berilishi bo’yicha quyidagi yechim aniqlanadi ts

z(t) = z0 (kt +1)-^ JJ1(v(t),^)drds yoki ts

I ^z ( t )| = l ^z 01 ( ^{kt +} 1 ) -П ⁽ ( ^{v ,} ^ 0 ) ⁺ v( v , ^ 0 )^{2 + d e2} lt ) ^{d T ds} .

0 0

Lemmaga ko’ra quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz

I z ( t )| < | z ₀1 ( kt + 1 ) - [j e^{l T} ( p - a) d z ds ^

0 0

I z ( t )| <  z 0k kt + 1) - ^p e + ^ - P + t

Agar f (l , t , | z 01 , p , a , k ) = | z 01 ( kt + 1)

p - a

l2

lt p - a p - a e + — 0  + ----1

l2           l

desak

*

bu funksiyani nolga aylantiruvchi musbat t vaqtni topamiz.

p - a lt           p - a p - a

J2   e = lz0 | (kt + 1) +   J2    + J t , oxirgi tenglikni soddalashtirish orqali quyidagi tenglikni hosil qilamiz, el = t

z l k ² + 1 1+

⁰     + 1

p ^{- a}

bunda A = —    +1, B = —   +1 bo’lib, bu yerda p > a, B > 1. Natijada p - a       p - a quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz el = At + B         (5)

Tutish vaqtini aniqlash uchun (5) tenglamani quyidagi hollarini ko‘rib chiqamiz.

1. A <  0 ^ k <

*

bo lsin. U holda (5) tenglama yagona t > 0 musbat yechim mavjud va bu yechim tutish vaqti bo‘ladi. (1-chizma)

2. A = 0 ^ k = 0_P z0 l

bo‘lsin. U holda (5) tenglama yechimi

In 0     + 1

*     I p - a J t = —----------- bo’lib, tutish vaqtini beradi.

a — p

• 3. A >  0 ^ k >        bo lsin. U holda (5) tenglama t >  0 musbat yechimi

z0 l mavjud va bu yechim tutish vaqti bo‘ladi.

(1-chizma)

(2-chizma)

(3-chizma)

Foydalanilgan adabiyotlar

• 1.    Isaacs R. Differential games. John Wiley and Sons, New York, 1965 .

• 2.    Nahin P.J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press, Princeton, 2012 .

• 3.    Azamov A.A., Samatov B.T. The П-Strategy: Analogies and Applications. The Fourth International Conference Game Theory and Management , St. Petersburg, Russia: 2010, p. 33-47.

• 4.    Samatov B.T. The Pursuit- Evasion Problem under Integral-Geometric constraints on Pursuer controls. Automation and Remote Control, Pleiades Publishing, Ltd. New York: 2013, 74(7), p. 1072-1081.

"Экономика и социум" №6(97) 2022