Игра на «выживание» в квадрате

В работе рассматривается игра преследования с «линией жизни» в квадрате 5 = = { ( х ; у ) - d <  х <  d , - d <  у <  d ^ . Приводится решение игры в случае погонного преследования в предположении, что радиус встречи / = 0 (поточечная поимка) и игроки движутся с максимальными скоростями и и у.

Пусть на плоскости задано множество 5. Две точки — преследователь Р и преследуемый Е, обладая ограниченными по модулю линейными скоростями, перемещаются в множестве 5, имея при этом возможность в каждый момент времени изменять направление движения (простое движение). Преследуемый Е считается пойманным, как только расстояние между ним и преследователем Р достигнет значения, меньшего или равного I (/ > 0). Число / называется радиусом встречи. Целью игрока Р является поимка игрока Е до достижения последним «линии жизни» до момента /-встречи.

Приведем решение игры с «линией жизни» на полуплоскости в случае погонного преследования в предположении, что / = 0

Рис. 1

(поточечная поимка) и игроки движутся с (    ^ ^

максимальными скоростями и и у I к = — I [1].

( о)

Если полярную ось направить по лучу Р о Е о , а за начало выбрать точку Е о (рис. 1), то полярные координаты р и а точки М улитки Паскаля удовлетворяют уравнению [2]:

р = ⁷— ( к + cos а ) .        (1)

к² - Г       ’

Выберем теперь прямоугольную систему координат так, что прямая у о совпадает с «линией жизни». Пусть игрок Р имеет координаты (0; 0), а игрок Е — координаты ( х_£ ;

Вектор ОМ = ОЕ ₀ + Е ₀ М , ОЕ ₀ = х_Е х х г + у_Е ■;.

Учитывая полярное уравнение (1) улитки Паскаля, можно выразить вектор Е о М :

Е ц М = р cos( ф + а ) ■ г + р sin( ф + а ) ■ j .

Таким образом, координаты точки встречи Р с Е имеют вид:

Решив данную систему, например по формулам Крамера, получим:

У о (к² - 1)(к sin а + sin 2а)

( к³ cos а + 2к² cos² а + к cos а + sin² а j

У о (к² - 1)(к cos а + cos 2а)    ⁽⁴⁾

(к³ cos а + 2к² cos² а + к cos а + sin² а)

х = Хр +— — (к + cos а) х

^Е    к² -1

<

х (cos ф cos а -

У = У е ⁺

а

к² - 1

sin фsin а), (к + cos а) х

Учитывая, что -д/ 2 < а < л/ 2, проведем замены: sin а = t , cos а = 4 1 - t² , - 1 <  t <  1.

Таким образом, уравнения (4) принимают вид:

х (sin ф cos а + cos ф sin а).

У о (к² - 1)Дк + 271 - t² ) к(к² + 1)71 - t² + (1 - 2к²)^ + 2к² ’

Подставляя значения хЕ = a cos ф, уЕ = a sin ф в(2), получим:

у_о(к² - 1)(к71 - t² + 1 - 2t²)     ⁽⁵⁾

к(к² + 1)71 - t² + (1 - 2k²)t² + 2к²

X = Х_Е I

Е к2

(

- ( к + cos а ) ( Х е cos а - У е sin а ) ,

.^t е [ -1; 1.

У = У е +— 2--- ( к + cos а ) ( Х е sin а + У е cos а )

или — после соответствующих преобразований —

Уравнения (5) определяют границу выигрывающего множества игрока Е. Часть полуплоскости S, расположенная над линией (5), является выигрывающим множеством игрока Е. Вид границы выигрывающего множества при У о = 1, к = 2 приведен на рис. 3.

- 1) + cos² а + к cos а I х

-

х х е - (sin а cos а + к sin и ) у е | , у_Е = рД^ {(sin а cos а + к sin а)х_Е + + |jk² - 1 j + cos² а + к cos а] У е^-

Уравнения (3) — уравнения улитки Паскаля при фиксированных Х е , У е , к.

Для того чтобы прямая у = у о была огибающей семейства улиток Паскаля, необходимо и достаточно, чтобы она в каждой своей точке касалась одной из улиток семейства. Для этого в точке встречи, кроме условия у = У о , добавляется условие касания у = О, так как касательный вектор параллелен оси Ох .

Таким образом, Х е , У е удовлетворяют системе уравнений

i

(sin а cos а + к sin а)х Е + |^ ( к² - 1 ) + cos² + к cos а] у_Е = у о ( к² - 1 ) ,

( к cos а + cos 2а ) Х е - ( к sin а + sin 2а ) У е = 0.

Р и с. 3

Из уравнений (5) видно, что при изменении У о граница безопасности игрока Е подвергается преобразованию гомотетии с коэффициентом X = у о и ее характер, следовательно, сохраняется.

L к - 14

Вершина А имеет координаты [ 0,----I,

I к )

точки В и С пересечения с осью Ох получаются при значении cos a =

7к² + 8 - к 4

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при d = 3, к = 2 приведен на рис. 5.

Рассмотрим теперь случай, когда S является квадратом (5 = { (х; у) | -d <  х <  d, -d <  у < d j ).

Как показано выше, в случае 5 = { (х; у) | -го < х < +го, 0 <  у < d j граница зоны безопасности игрока Е определяется уравнением (4). Аналогично определяется граница выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = { (х; у) | -го < х < +го, - d <  у < 0 ^ :

i

d(k2 - 1)(k sin a + sin 2a)

Х е = 7—7----------7---7----------------7—Г ,

( к³ cos a + 2k² cos² a + к cos a + sin² a )

_         d(k² - 1)(k cos a + cos 2a)   ⁽⁶⁾

(k³ cos a + 2k² cos² a + к cos a + sin² a)

■

Вид границы выигрывающего множества игрока Е при d = 1, к = 2 приведен на рис. 4.

Р и с. 5

Рассмотрим теперь случай, когда «линией жизни» игрока Е является прямая х = d, т. е. 5 = { (х;у) | 0 < х <  d, -го < у <  +го ^ .

Выберем теперь прямоугольную систему координат так, что прямая х = d совпадает с «линией жизни». Пусть игрок Р также имеет координаты (0; 0), а игрок Е — координаты ( ^х е ; Уе ) - ^й = 7^х Е ⁺ у Е (рис. 6).

0,5

-0,5

-1,5

Рис. 4

Р и с. 6

Объединяя оба рассмотренных случая в один, легко получить решение поставленной задачи в полосе -го <  х < +го, - d <  у <  d ^ Граница выигрывающего множества игрока Е в этом случае определяется системой уравнений:

_       d(k² - 1)t(k + 271 - t² )

^Е    k(k² + 1)71 - t² + (1 - 2k²)t² + 2k² ’

‘    = ₊ d(k² - 1)(k71 - 1² + 1 - 2t²)     ⁽⁷⁾

" k(k² + 1)71 - t² + (1 - 2k² )t² + 2k²

t e [ -1; 1 ] ■

Для того чтобы прямая х = d была огибающей семейства улиток Паскаля, необходимо и достаточно, чтобы она в каждой своей точке касалась одной из улиток семейства. Для этого в точке встречи, кроме условия x = d, добавляется условие касания х = 0, так как касательный вектор параллелен оси Оу.

Таким образом, Х е , У е удовлетворяют системе уравнений:

[(k² - 1) + cos² a + k cos a)]x E - (sin a cos a + < + k sin a)y E = d ( k² - 1 ) ,

( k sin a + sin 2a ) Х е + ( k cos a + cos 2a ) У е = 0^

Решив данную систему, например по формулам Крамера, получим:

d(k2 - 1)(к cos а + cos 2а)

^ к³ cos а + 2к² cos² а + к cos а + sin² а )

‘                                                   (8)

d(k2 - 1)(к sin а + sin 2а)

У е        ч                                           *

(к³ cos а + 2к² cos² а + к cos а + sin² а)

Учитывая, что -я/2 < а < я/2, проведем замены: sin а = t , cos а = 71 - t² , -1 <  t < 1.

Таким образом, уравнения (8) принимают вид:

____      (10)

d(k2 - 1)t(k + 271 - t2 ) к(к2 + 1)71 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2к2

Вид границы выигрывающего множества при d = 1, к = 2 приведен на рис. 8.

-2

-1,5

=     d(k² - 1)(к71 - t² + 1 - 2t²)

^Е к(к² - 1)71 - t² + (1 - 2k²)t² + 2к² ,

= -       d(k² - 1)t(k + 271 - t²)        ⁽⁹⁾

к(к2 - 1)71 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2к2

_^t 6 [ ^-1; ¹ ] .

Уравнения (9) определяют границу выигрывающего множества игрока Е. Часть полуплоскости S, расположенная правее линии (9), является выигрывающим множеством игрока Е. Вид границы выигрывающего множества при d = 1, к = 2 приведен на рис. 7.

-2

-1,5

-1

1,5         2

Рис. 7

Аналогично определяется граница выигрывающего множества игрока Е в случае

5 = { (х; у) | -d <  х < 0, - го <  у < +го } :

< д£ = -

d(k2 - 1)(к71 - t2 + 1 - 2t2) к(к2 + 1)71 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2к2

0,5

1,5          2

Р и с. 8

Объединяя рассмотренные случаи в один, получим границу выигрывающего множества игрока Е в случае 5 = { (х; у) | -d <  <  х <  d, -го < у <  +го } :

хЕ

d(k2 - 1)(к71 - t2 + 1 - 2t2) к(к2 - 1)71 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2к2 ’

d(k2 - 1)t(k + 271 - t2 ) к(к2 + 1)71 - t2 + (1 - 2k2)t2 + 2к2

^{t 6} [-1; 1].

Вид границы выигрывающего множества при d = 1, к = 2 приведен на рис. 9.

-2

-1,5

Рис. 9

1,5

Теперь легко получить решение игры на «выживание» в квадрате. Граница выигрывающего множества игрока Е в случае S = ^ (х; у) | -d < х <  d, -d <  у <  d ^ получается как граница пересечения выигрывающих множеств игрока Е, определяемых системами (7) и (11). Вид этой границы при d = 3, к = 2,5 приведен на рис. 10.