Информационная технология обработки и анализа данных оптических спутниковых систем наблюдения на основе системной интеграции мультимасштабных концепций

В основе разрабатываемой информационной технологии обработки данных спутниковых систем наблюдения, целью которой в конечном итоге является обнаружение и оценка сигналов на случайном фоне, лежат несколько компламентарных конструктивных идей, связанных с понятием мультимасштабности. Основополагающим методологическим принципом мультимасштабных концепций и подходов является принцип последовательного уточнения или наоборот огрубления информации о чем-либо при переходе от крупного масштаба к мелкому или наоборот. Многомасштабный анализ дает возможность определить структурную организацию объекта исследования на уровне взаимосвязи частей и целого в процессе последовательного уточнения по мере продвижения вдоль "оси масштабов".

Разрабатываемая информационная технология с методологической точки зрения представляет собой интеграцию четырех мультимасштабных концепций: концепции фрактальных множеств (фракталов), концепции непрерывного вейвлет-анализа, концепции дискретного вейвлет-анализа и концепции рекурсивных разверток многомерных пространств.

Концепции мультимасштабного анализа сигналов

Концепция рекурсивных разверток состоит в редукции многомерных пространств в одномерные на основе взаимно однозначного соответствия, устанавливаемого с помощью заполняющих пространство кривых Пеано-Гильберта [1].

При построении рекурсивных разверток используется масштабное самоподобие, которое в данном конкретном случае заключается в итерационном применении одного и того же принципа построения на разных пространственных масштабах.

Суть подхода состоит в следующем. Пусть D " - " -мерный гиперкуб. Произведем иерархическое разбиение области D ⁿ на одинаковые ячейки (кванты) так, что каждая сторона гиперкуба будет разбита на к равных частей. Величина к называется основанием развертки. При этом гиперкуб будет разбит на kⁿ квантов. Обозначим кванты данного разбиения первого иерархического уровня через

q ( i 1 ), где i 1 = 0, к " - 1 . Далее каждый квант первого уровня еще раз разобьем на к " квантов. В результате получим разбиение на кванты второго уровня, которые обозначим через q ( i 1 i ₂ ) . Произведем процедуру разбиения m раз. В результате гиперкуб D ⁿ будет разбит на кванты так, что образуется дискретное n-мерное пространство

Dm ={q(iii2 ... im ) ii = 0,к, 1 = 1m }, nm состоящее из N = к квантов.

Любой точке x е D”, x = (x1,x2,...,xn) однозначно будет соответствовать последовательность вложенных друг в друга квантов q(i1) ^ q(i, i2) ^ . з q(i1 i2 . im), каждый из которых содержит точку x. Таким образом, каждый из nm                                n к квантов пространства Dm окажется пронуме- n рованным и в системе исчисления с основанием к будет иметь номер, определяемый к" -ичным числом

m iii2 . im = £ к"(m-1) • ii.             (1)

i = i

С номером, определяемым выражением (1), может быть связана позиционная координата m g = £ к -"-ii, 1=1

определяющая положение некоторой точки в одномерной области D m = [0,1) так, что кванту q ( i 1 ... i m ) будет соответствовать отрезок [ т к - "m , ( i m + 1 ) к - "m ] , принадлежащий кванту более высокого уровня q ( i 1 ... i m - 1 ) .

Ф m = D ^ Dm.

Отображение ф _m при заданном законе Z(n,k) можно рассматривать как рекурсивную развертку многомерного пространства в одномерное.

Важным свойством рекурсивных разверток является их квазинепрерывность. Это свойство показывает, что две точки q ₁ и q ₂ , близкие в пространстве D_m ¹ , имеют прообразы x ₁ и x ₂ , близкие в D_m ¹ , так, что

II x - x 21|q ^ k (2 q + n -1)1 q q - q 21n, где i\q L(x) i=1

I Xq| =xi = Фт‘ (41 )x2 = Фт‘ (q2 )

,

Свойство квазинепрерывности, переходящее при m ^ да в непрерывность, позволяет анализировать корреляционные свойства многомерных сигналов по их одномерным образам.

Концепция фрактальных множеств [2] - базовая конструктивная идея, лежащая в основе разрабатываемой информационной технологии. Фрактальное самоподобие, то есть статистическая однородность строения многообразий на различных пространственных масштабах, - ключ к описанию масштабноинвариантных случайных структур с самых общих позиций. Основная функциональная роль данной концепции - моделирование фоноцелевой обстановки при решении задач обнаружения сигналов. Обзор работ в области использования фрактальных свойств изображений при обработке данных дистанционного зондирования можно найти в монографии [3]. В работе [4] проведены зкспериментальные исследования фрактальных свойств спутниковых изображений и установлено, что их квазинеприрыв-ные развертки являются масштабно-инвариантными структурами. Методология синтеза оптимальных и квазиоптималных фильтров для оценки сигналов на фоне помех, имеющих стохастическую масштабноинвариантную структуру изложена в работе [5].

Механизм формирования космических изображений обуславливается либо процессом рассеивания, либо процессом излучения электромагнитных волн поверхностями различного рода объектов. Статистические характеристики изображений в конечном итоге определяются статистическими характеристиками неровностей поверхностей наблюдаемых объектов. Неровности поверхностей формируются под воздействием большого числа случайных факторов, связанных с различными механизмами (техническими, тепловыми и так далее).

Для описания статистической структуры изображений используются различные модели рассеивающих или излучающих поверхностей от одномасштабных, имеющих в среднем одинаковый масштаб неровностей, до многомасштабных (двух и более). Одномасштабные поверхности характеризуются одним превалирующим радиусом корреляции, многомасштабные - несколькими. С ростом числа масштабов описание усложняется.

Выходом из ситуаций подобного рода является идея фрактально-самоподобной структурной организации природных образований.

Пусть ^(x) - развертка изображения. Будем считать, что ^(x) является суперпозицией иерархических уровней i, каждый из которых соответствует некоторому пространственному масштабу, определяемым соответствующим радиусом корреляции да

^(x) = ^i(x) •

i = 1

Каждому иерархическому уровню i соответствует определенная статистическая упорядоченность, характеризуемая корреляционной функцией

^ i ( x ₁ ) ^ i ( x ₂ )^ . Предположим, что корреляции на уровне i являются гауссовскими

(^ i ^{( x} 1 ) ^ i ^{( x} 2 ^с i ^ex P

⁽ x 1 ^- x 2 ^{) 2}

2 Р i

где с i - дисперсия, р i - радиус корреляции.

Радиусы корреляции р i определяют масштаб (размер) зоны влияния ^ i ( x ) компонента. В соответствие с общей идеей масштабной инвариантности многоуровневых релаксационных процессов, можно предположить, что величины с i и р i в зависимости от масштабного уровня i подчиняются скейлинговым законам

с

- Я о ^k a^k ,

k

Рк = Ро • b .

Для целого ряда природных процессов с иерархической организацией наблюдается разграничение зон влияния на разных уровнях так, что можно предположить справедливость соотношения

Р i-1 << Р i << Р i+1, из которого следует независимость разномасштабных корреляций

(^i(x1 )^ j(x1 )) = 0, i ^ j .

В соответствие с выражениями (2)-(5) корреляционная функция представляется в виде to

(£(xj )^(x2 $ = ^°i exp i=0

(x1 - x 2 )2

2 P i

Если преобразовать сумму в правой части (6) в интеграл и учесть скейлинговые законы поведения параметров pi и оi, получим представление

ного вида преобразования по сравнению с преобразованием Фурье при анализе сигналов, в особенности нестационарных.

Кроме отмеченных выше фактов, непрерывное WT производится на основе идеи масштабной инвариантности с помощью разложения сигналов по функциям - вейвлетам вида

to

(2 1 x 1 ) ^ ( x 2 ^ = о 0 J exp ⁽ - xp ^{) e}xp l

⁽ x - X 2 ^{) 2}      (     \ I .

-----2—— exp(- xy )l dx P о                J

1 т( x - b 1, a ( a /

Асимптотически оценка данного интеграла при

X1 - x2 = p ^ to имеет вид

( ^^{( x} 1 M ^x 2 ^

f- (P o

-a

где a = In a/ln b .

Степенной характер поведения асимптотически корреляционной функции связывается с фрактальной структурой многообразия.

Концепция непрерывных вейвлет-преобразований [6] в разрабатываемой технологии используется как математическая основа анализа аномальной структуры сигналов по отношению к окружающему фону. Данную технику можно считать некоторым расширением техники Фурье-преобразований и Фурье анализа. Непрерывный вейвлет-анализ, состоящий в разложении сигналов по функциям, хорошо локализованным как в пространственной, так и частотной областях, имеет большую по сравнению с Фурье-анализом возможность в выявлении структурных особенностей сигналов. Действительно, Фурье-анализ сигналов производится с помощью функций, имеющих наилучшую 5 -образную локализацию в частотной области (импульсном пространстве) и очень плохо локализованных в пространственной области. Непрерывный вейвлет-анализ в данном аспекте представляет собой компромиссное решение, так как производится на основе разложения сигналов по функциям, похожим по форме на волновые пакеты - всплески, хорошо локализованным как в пространственной, так и в частотной областях. Помимо этого, если преобразование Фурье взаимно однозначно осуществляет отображение функции одного переменного f(x) в фурье-образ f ( w ) , также являющейся функцией одного переменного, то непрерывное вейвлет-преобразование производит отображение функции f(x) на плоскость, то есть преобразует одномерный сигнал в двумерный Wf(a,x). Непрерывное вейвлет-преобразование, как отображение (переход) от одномерного координатного представления x к двумерному в масштабно-координатную плоскость (a,x)

{x}^{a, x}, имеет огромную информационную избыточность, расширяющую функциональные возможности дан- образуемым из исходного материнского вейвлета T(x) с помощью аффинных преобразований

x

x - b

a

где b - параметр сдвига, a - масштабный параметр сжатия пространства.

Разложение по самоподобным (самоаффинным) функциям математически наиболее адекватно соответствует представлению сигналов, обладающих самоподобной мультимасштабной структурой, то есть сигналов, обладающих свойствами фрактальных многообразий.

Концепция дискретных вейвлет-преобразований, возникновение которых связано с именем Добеши [6], в разрабатываемой технологии используется как весьма эффективный, с точки зрения сложности вычислений, математический аппарат цифровой обработки сигналов, основанный на идее разложения по самоафинным функциям. Несмотря на то, что непрерывное и дискретное WT имеют общий генезис, тем не менее, принципиальное отличие состоит в следующем. Непрерывное вейвлет-преобразование является информационно избыточным, поскольку переводит одномерный сигнал в двумерный. Дискретное WT наоборот является наиболее экономным представлением сигналов, поскольку для дискретного сигнала, заданного двумерным массивом NxN , в процессе преобразований разложения и свертки требуется линейное число операций O( a N) , в то время как быстрое Фурье-преобразование имеет сложность O(N log N) . Дискретное вейвлет-преобразование является наиболее экономным представлением сигналов, делающим его эффективным средством цифровой обработки, превосходящим быстрое преобразование Фурье.

Мультимасштабное обнаружение сигналов неизвестной формы

Мультимасштабная структура данных, допускающая представление в виде суммы по масштабному иерархическому индексу вида (2), имеет особенность в отношении корреляционных свойств. Данную особенность можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Утверждение. Если случайный процесс допускает мультимасштабное представление (2), так что

(^xi ^{( x} ) £ j ( y )) = 5 _y ,              (7)

то межмасштабные корреляции доминируют над внутримасштабными корреляциями.

Под представлением процесса (2) на масштабном уровне m понимается представление (масштабная аппроксимация)

m

- m)(x )= Z 4i( x).

i =-to

Межмасштабные корреляции, т.е. корреляции между представлениями процесса на уровнях m и m+1 в силу условия (7) имеют вид

m

(4m ) ( x ) ■ x m ^{+ 1)} ( x )) = Z( 4 ( x )) . i =-to

Внутримасштабные корреляции определяются корреляционной функцией ^ ⁽ m ) ( x ) 4 ⁽ m ) ( x + A x )^, которая в соответствие с условием (7) равна to

(4 m) (x )4 m) (x+Ax)) = Z 4i(x Шx+Ax)).

i =-to

В силу неравенства Коши-Шварца [7]

(x( x k-(x+Ax ^ - (x)), что и доказывает утверждение о доминировании межмасштабных корреляций над внутримасштаб-ными, то есть

(x^m) ( x^ x m^ x +a ) = ( 4 ^m) ( x l ■ x ^{m )} ( x +a ) .          (8)

Данное утверждение определяет структурную особенность алгоритмов обработки, основанных на использовании корреляционных свойств данных, например, в задачах обнаружения аномальных сигналов. Особенность состоит в том, что в силу неравенства (8) алгоритмы, основанные на межмасштабных корреляциях, более эффективны по сравнению с алгоритмами на основе внутримасштабных корреляций.

Одним из факторов, стимулирующих исследования в области развития технологий обработки данных космических систем наблюдения, является обнаружение сигналов неизвестной формы. В качестве априорной информации используются данные о характерных масштабах (размерах объекта или аномального явления). Перевод проблемы обнаружения в пространство вейвлетовских коэффициентов позволяет повысить эффективность обнаружения в случае выбора оптимальной системы вейвлетовских функций. Данный вопрос детально рассмотрен в работе [8].

Рассмотрим мультимасштабное обнаружение сигналов на основе дискретных WT .

Используя модель смеси сигнала и шума:

z(t) = ^(t) + ns(t), n = 0,1, где z(t) - реализация, ^(t) - фрактальный шум, s(t)

- сигнал, и переводя, проблему обнаружения в область WT коэффициентов найдем:

dj, k(z )= dj, k (Ф ndj, k(s ),

A

^-^

d j, k ( ^ ) - d j, k ( ^ )

Для отношение правдоподобия L можно получить следующее выражение:

J ( d , , _k , H ⁽ n = 1 ) )         2 d , , k ⁽ s ) d , , k ⁽ z ^)- d j , k ⁽ s )

L =   --- 7---и = exp— ---- г —i-------,

® ⁽ d j , k , H ⁽ n = ^{0 ))}                  (d j , k)

Статистическая оценка по максимуму правдоподобия будет иметь вид:

dj, k(s )= arg max(L), dj,k(s)

где to(djk, H(n = 1)) - функция распределения dj,k при гипотезе H(n=1) (присутствие сигнала в реализации), to(dj- k, H(n = 0)) - функция распределения dj,k при гипотезе H(n=0) (сигнал отсутствует).

При использования для обнаружения сигналов критерия Неймана-Пирсона для WT коэффициентов будет справедливо пороговое соотношение:

^dj , k ⁽ s ) = Th [ d j , k ⁽ z ^)] =

^ 0, q < qn _ dj, k(z), q ^ qn где q-параметр обнаружения на масштабном уровне j, определяемый соотношением:

I dj, k(z) q / ,2 / WV2 , qn - порог обнаружения определяемы соотношением:

Рпс =ф[ф-1 (1 - pлт )- qn ],

^ф ( x ) - интеграл вероятности, р пс - вероятность пропуска сигнала, p_лт - вероятность ложной тревоги.

Заключение

В работе изложены концептуальные, методологические и теоретические основы информационной технологии обработки данных спутниковых систем наблюдения. Подход базируется на системной интеграции мультимасштабных концепций: фрактальных множеств, квазинеприрывных разверток, непрерывного и дискретного вейвлет-анализа. Подход позволяет повысить эффективность обнаружения сигналов в условиях априорной неопределенности.

Рис.1. Обнаружение скрытых сигналов неизвестной формы на основе мультимасштабной селекции. Условия обнаружения: отношение сигнал/шум    (s/n<1), соотношение масштаб аномалии/пространственное разрешение L/R >> 1, L=2 км, спектральный диапазон 0,5-1,1 мкм. Исходные данные (а): КА “Ресурс-01” МСУ-Э (R=45м), территория г.Туймазы РБ. Выходные данные (б): оптическая плотность газоаэрозольного загрязнения атмосферы

Данный подход был апробирован при обнаружении скрытых атмосферных загрязнений на спутниковых изображениях в условиях малого отношения сигнала к шуму (Рис.1).

Работа выполнена при поддержке гранта INTAS № 04-77-7198.