Информационная теория иерархических систем и механизмы управления экологическими процессами

Информационная теория иерархических систем как новое научное направление возникла в 70-х годах XX века в результате синтеза принципов теории управления и системного анализа [1, 2] и теории неантагонистических игр [3]. Основные идеи и результаты этой теории были разработаны в ВЦ АН СССР коллективом ученых под руководством академика Н. Н. Моисеева и профессора Ю. Б. Гермейера и были изложены в монографии [4]. Некоторые более поздние результаты нашли свое отражение в монографии [5].

Характерным свойством иерархической системы является функционирование ее в условиях внутрисистемной неопределенности, связанной с различной информированностью подсистем в условиях децентрализованного управления. Принцип оптимальности управления в иерархической системе объединяет стремление к увеличению значения критерия эффективности центра и к достижению устойчивости (или гомеостазиса) функционирования системы, которая описывается совместными ограничениями на параметры подсистем.

В данной работе рассматриваются двухуровневые статические модели информационной теории иерархических систем, в которых формализованы условия устойчивости и эффективности функционирования на основе согласования интересов подсистем, и иерархические механизмы управления в региональных моделях экологических процессов.

2.    Двухуровневые статические модели

Общая задача управления центра в двухуровневой иерархической системе с независимыми подсистемами имеет вид

F ⁰ = max inf F ( u, v ) , uED vBR ( u )

n где R (u) = П Ri (u), Ri (u) = Arg max Gi (u, vi) — реакция i-й подсистемы на управле-i=1                             ViEVi ( u)

ние центра u i , множество допустимых управлений D = {u G U : ( u,v ) G Q Vv G R ( u ) } , множество Q C U x V представляет собой совокупность управлений, приводящих к гомеостазу системы. Если максимум в задаче нижнего уровня определяется однозначно или центру извествен выбор нижнего уровня, т.е. имеет место R i ( u ) = arg max G i ( u, v i ), то V i EV i ( u )

F ⁰ = max F ( u,v ⁰ ( u )).

u ∈ D

Цена децентрализации C д от самостоятельных действий подсистем (неконтролируемых факторов) равна разности между глобальным максимумом критерия эффективности центра F ° при централизованной схеме управления и максимальным гарантированным его значением в данной иерархической структуре, т.е. C д = F ^^ — F ⁰ .

При наличии горизонтальных связей поведение элементов уже не описывается стремлением к максимизации своих критериев и требуется введение некоторого принципа коллективного поведения. Для наиболее распространенных принципов коллективного поведения — равновесия и паретооптимальности — нижний уровень может быть заменен одним элементом, максимизирующим некоторый критерий. Пусть критерий эффективности i -го элемента есть G i ( u, v ), а пространство управлений задается отображением Vi (u, v ⁽ i )), где v ⁽ i ) = ( v i ,..., v i- 1 , v i +i ,..., v n ). Множество ситуаций равновесия для нижнего уровня R ( u ) представимо в виде

( u, v ⁽ i ) ) , i = 1 ,..., n},

R ( u ) = Arg max G ( u,v ) , где V ( u ) = {v : v i G V i VEV ( u )

n

G ( u,v ) = У^ [ G i ( u,v ) — sup     G i ( u,v i ,...,v i- 1 , z i ,v i +1 ,...,v n )] .

i =1                  Z i EV i ( u,v ⁽ i ) )

Множество паретооптимальных ситуаций    P ( u )   представимо в виде

P ( u ) = Arg max vev ( u ) G P ( u,v ), где

G P ( u,v )= min min [ G i ( u,v ) — G i ( u,z )] , N ( u,v )= min min [ G i ( u,z ) — G i ( u,v )] . zeN ( u,v ) К i < n                                  zEV ( u ) К i < n

Определение 1 . Интересы элементов нижнего уровня согласуемы, если существует такое u , что условие ( u,v ) G Q выполняется для любого v G R ( u ).

Если интересы согласуемы, то множество допустимых управлений центра не пусто, т.е.

D = {u G U : ( u,v ) G Q Vv G R ( u ) } = 0 .

Максимальное гарантированное значение критерия эффективности центра, равное F ⁰ = max inf ) F ( u,v ), в общем случае меньше глобального максимума F ° = sup F ( u,v ), где B = Q П graf V ( u ), graf( u ) = { ( u,v ): u G U,v G V ( u ) } .

( u,v ) BB

Определение 2 . Интересы верхнего и нижнего уровней идеально согласуемы, если F ⁰ = F _гл , т.е. C д = 0.

Введем множество оптимальных управлений центра U ⁰ = Argmax[ inf ) F ( u,v )].

Определение 3 . Интересы элементов нижнего уровня сильно согласуемы, если существует такое u ⁰ G U ⁰ , что R ( u ⁰ ) П P ( u ⁰ ) = 0 .

Естественно, если реакция нижнего уровня определяется как множество паретовских точек, то при U ⁰ = 0 интересы элементов нижнего уровня обязательно сильно согласуемы.

Если принять принцип «благожелательности» нижнего уровня, в соответствии с которым среди равнозначных для него управлений он выбирает такое, которое максимизирует критерий центра, то это приводит к следующей задаче центра: определить u ⁰ , F ⁰ для которых

F0 = max   F(u,v) = max F(u0,v), uED ,vER (u)             vER (u0)

где й ° E D = {u E U : 3v E R ( u ) | ( u, v ) E Q }.

3.    Условия оптимальности

Определение 4. Многозначное отображение R(u), ставящее в соответствие точкам метрического пространства U с метрикой рi подмножества метрического пространства V с метрикой р2, называется непрерывным (по Хаусдорфу), если Ve > 0 35 > 0 такое, что Vu 1 ,u2 E U таких, что рi(ui,u2) < 5, выполняется р (R (u 1) ,R (u 2))= max    sup inf р 2( v 1 ,v 2)

v 1 ER ( u 1 ) ^v 2 ^E R ^{( u} 2 )

sup inf v 2 ER ( u 2 ) ^v 1 ^{E R} ( ^u 1 )

р 2 ( v 1 ,v 2 )

<ε.

Лемма 1 . Если U, Q являются компактами, функция F ( u,v ) непрерывна по совокупности переменных, отображение R ( u ) непрерывно, D = 0 , то задача (1) имеет решение.

Приведем условия оптимальности для задачи (1). Пусть пространство управлений нижнего уровня V ( u ) задается системой ограничений V ( u ) = {v : g ( u,v ) ^ 0 , h ( u,v ) = 0 } , где g ( u,v ), h ( u,v ) — вектор-функции размерности k и r соответственно. Введем функцию Лагранжа L ( u, v, X, ц ) = G ( u, v ) + (A, g ( u, v ) ) + (ц, h ( u, v ) ) , где A , ц — векторные множители Лагранжа; A ^ 0, ц — произвольно.

Определение 5 . Конусом допустимых направлений в точке u E U , индуцируемым v E R ( u ) и матрицей B , называется

K ( u, v, B ) = {l : 3e i >  0 | u + el E U, V ( u + el ) = 0 ,

( u + el,v + eBl + w ( e )) E Q Vw ( e ) | 1 1 w ( e ) | | = o ( e ) Ve 4 e i }.

Теорема 1 [4]. Пусть выполнены следующие условия:

• 1)    функция F ( u,v ) непрерывно дифференцируема по всем переменным;

• 2)    функции G ( u,v ) , g ( u,v ) , h ( u,v ) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным;

• 3)    u ⁰ решение задачи (1) , R ( u ⁰ ) = {v ⁰ };

• 4)    в точке ^ i ( u ⁰ , v ⁰ ) >  0 Vi, выполнены достаточные условия максимума второго порядка для G ( u ⁰ , v ) на V ( u ⁰ ) с множителями Лагранжа A ⁰ , ц ⁰ ;

• 5)    градиенты ^dg i ( d^v^,v ) , i E I = {i : 1 <  i 4 k, g i ( u ⁰ ,v ⁰ ) = 0 }, ^{dh j (} Qv,v ) , j = 1 ,...,r, линейно независимы;

• 6)    A i >  0 Vi E I ( строгая дополняющая нежесткость ) ;

• 7)    множество V ( u ) ограничено Vu E U.

Тогда необходимо, чтобы выполнялось условие

( dF ( u ⁰ ,v ⁰ )    dF ( u ⁰ ,v ⁰ ) dv ^        ( 0 0 dv A

"f du + dv   du JE K V-"-»;)• где K* (u0, v0, d^^ — конус, сопряженный с конусом допустимых направлений; матрица dv du

определяется соотношением

/ dv \ du dλ du dg du

/ д ² L ( u ⁰ ,v ⁰ , A ⁰ ,g ⁰ ) dv ²

diag[ A 0 ] []

Г дһ ( u ⁰ , v ⁰ ) 1

dv

дд ( u ⁰ , v ⁰ )

diag[ gd 'u ⁰ ,v ⁰ )]

дһ ( u ⁰ , v ⁰ ) \ ¹

dv

/

/ д ² L ( u ⁰ , v ⁰ , A ⁰ , ^ ⁰ ) \ дuЭv „ дд ( u ⁰ , v ⁰ )

^u дһ (u0, v 0)

∂u

д 2 L д 2 L                                      ,                        дд дһ дд дТ2, д д — матрицы вторых частных производных функции Лагранжа; —, д^, д^,

— — матрицы частных производных векторных функций; diag[• ] — диагональная мат-∂u рица из компонент вектора, 0 — нулевая матрица соответствующей размерности; Т — знак транспортирования матрицы; ,    — векторы частных производных.

∂u ∂v

Условия оптимальности, сформулированные в теореме 1, используются далее при ис-

следовании моделей экологических систем.

4.    Иерархические экологические модели

Рассмотрим модель иерархической системы, в которой верхним уровнем является региональное управление охраны окружающей среды, а нижним уровнем –– предприятия, эксплуатирующие природные ресурсы. Пусть центр имеет возможность использовать механизм управления с назначением дифференцированных цен на ресурсы.

Задачи подсистем:

M i ( X i ,p i ) = i ,f i ( X i ) )^ max , X i ( p i ) = {x i : (p i ,X i ) ^ K i , X i ^ 0 },         (2)

X i EX i ( P i )

P i = ( P i 1 ,... ,P ij ,... ,P im ), i = 1 ,..., n , является вектором цен на ресурсы (например, водные), X i = ( X i i , ...,X ij ,...,X im ) - вектором затрат ресурсов, которые потребляются i -м элементом нижнего уровня (управление предприятия), f i ( X i ) представляет собой неоклассическую производственную функцию, c i является вектором цен на различные типы продукции i -го элемента нижнего уровня.

Задача центра:

n

F 0 ( X ⁰ ( P ) ,P )= ^ a i M i ( x ⁰ ( p i ) ,p i ) ^     ^ max     ,                  (3)

i=1                      P: E x°(PiXX i=1

где x ⁰ ( p i ) — решение задачи подсистемы, P = ( p i , ...,p n ) — управление центра, a i — весовые коэффициенты, X –– вектор ограничений по объемам природных ресурсов.

Теорема 2 [6]. Пусть функции M i ( X i ,p i ) непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда при фиксированных объемах средств K i выбором различных цен на ресурсы p i для элементов нижнего уровня в задаче центр достигает глобального максимума.

Заметим, что если центр управляет едиными ценами, то идеальная согласованность интересов, вообще говоря, не достигается. В то же время механизм дифференцированных цен может порождать коррупцию и не всегда допустим. Поэтому рассмотрим механизм управления, при котором назначаются единые цены на ресурсы, величины штрафов и квот. Задача каждого предприятия:

^G i , f i ( X i ) )— z i max max(0 ,X ij — e i X j ) ^   max .

1 < j < m                             X i : (p,X i ) < K i

Ее решение есть вектор х^ ( p, Z i , в i ), где штрафы за единицу превышения Z i и квоты в і назначает центр, M i ( X i ,p, Z i , в і ) = (c i , f i ( X i ) ) , i = 1 ,... ,n . Задача центра:

n

У a i M i ( x i ( p, Z i , в i ) ,P,Z i ,в i ) ^ max , p,z,β ∈ Q i =1

nn

Q = { ( P,z,e ): в >  0 , ^ в i = 1 , P >  0 , z >  0 , ^ x ⁰ ( p,Z i ,e i ) <  X}.

i =1                           i =1

Теорема 3 [6]. Пусть функции M i ( x ⁰ ( p,Z i ,в i ) ,p,Z i ,в i ) непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда центр с помощью штрафов z i , квот β i и единых цен p достигает глобального максимума для любых фиксированных K i .

5.    Заключение

В данной статье приведены иерархические модели управления экологическими процессами, в которых верхний уровень стремится к максимизации эффективности системы при ограничении на общий объем используемых дефицитных природных ресурсов, и построены механизмы согласования интересов верхнего и нижнего уровней иерархии. Аналогичные результаты получены для моделей иерархического управления, в которых верхний уровень стремится к максимизации эффективности системы при ограничении на общий объем загрязнений окружающей среды [7], а также в иерархических моделях управления экологическими процессами со связанными подсистемами нижнего уровня [8].