Интегральная многообразия интегро-дифференциального уравнения

При изучении многих прикладных задач часто приходим к рассмотрению интегро-дифференциальных уравнений.

Интегро-дифференциальные уравнения встречаются при изучении щелевых антенн, качки корабля на спокойной воде, распространение вязкопластического течения с учетом упрочнения для случая сдвига, в гидродинамической теории смазки, в теории автоматического регулирования, в процессах сейсмостойкости сооружений.

К исследованию интегро-дифференциальных уравнений приводятся, например, изучения явления последействия в твердом теле, изучение процессов деформации реальных тел, механические, электромагнитные и тепловые процессы с учетом явления фактора времени, процесс распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью, колебания физического маятника с полостью, заполненной вязкой жидкостью.

Известно, что A.M. Ляцунов является одним из основоположников теории фигур равновесия однородной и слабо неоднородной вращающейся жидкости, частицы, которой взаимно притягиваются согласно закону всемирного притяжения. Ляпунов доказал существование фигур равновесия близких к эллипсоидальным. Он выявил также существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости в случае изменения ее полости с глубиной.

Эта теория A.M. Ляпунова получила глубокое развитие в работе, где вся проблема фигур равновесия вращающейся в жидкости связана с теорией интегро-дифференциальных уравнений.

К интегро-дифференциальным уравнениям приводятся задачи динамики вязкой упругости, а также задачи ядерной физики и многие другие задачи механики, физики, теории колебаний.

Вышеприведенные примеры задач, и связь с теорией интегро-дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение.

Этим прежде всего объясняется тот факт, что за последнее время появились многочисленные работы, в которых исследуют существование, единственности, устойчивость и многие другие свойства решений интегро-дифференциальных уравнений, Обзор исследований интегро-дифференциальных уравнений дан в.

Сравнительно недавно, но весьма интенсивно, стал развиваться классический метод усреднения академика Н.Н. Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений и в настоящее время уже получен ряд результатов как в направлении разработки алгоритма построения усредненных уравнений, так и в направлении установления различных теорем. Полученные алгоритмы уже находят эффективное применение в различных задачах механики сплошной среды, в частности, в теории вязкоупругих систем, в теории колебаний тел, имеющих полости, заполнения жидкостью и т.п.

На возможность исследования динамики вязкоупругих систем классическим методом усреднения академика Н.Н. Боголюбова указал А.А. Ильюшин. Им же была показана принципиальная возможность сведения определенного класса таких задач к системам интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.

Интегральные многообразия позволяют также достаточно полно исследовать окрестности стационарных решений рассматриваемых уравнений в критических случаях.

Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения»

Интегральные многообразия являются образованиями более стабильными по отношению к малым изменениям правых частей уравнений по сравнению с индивидуальными решениями.

Метод интегральных многообразий является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющих получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании достаточно сложных динамических систем.

Большой вклад внесли в развитие метода интегральных многообразий ученые в США - С. Дилиберто, В. Кайнер, А. Келли, Н. Ле-винсон, В. Лауц, М. Маркус, Р. Сакер, Г. Хаффовд, Хеил, Н. Чефи и др.; в Румынии - А. Халанай; в Японии - Т. Иошизава, М. Урабе; в Чехословакии - Курцвеиль.

Большой вклад внесли в развитие и применение классического метода интегральных многообразий академика Н.Н. Боголюбова ученые Советского Союза, среди них большой интерес заслуживают исследования О.Б. Лыковой, Ю.А. Митропольского, В.А. Плисса, A.M. Самойленко и другие.

Согласья вышеприведёнными рассмотрим одну задачу:

Существует много проблем с дисперсией частиц в веществе: поток нейтронов в реакторе, теплообмен в газах, диффузия атомов и электронов и т.д. Такие вопросы сводятся к уравнению эскалации. В общем случае уравнение усиления имеет интегро-дифференциальную форму.

SuSu

--------+c---------- = f(x,t)         ,(1)

St где c-скорость постоянна. Если с> 0, лиса распространяется на него. Мы решаем задачу для уравнения (1).

u(x, 0) = Hi(x), 0 < x < a,(2)

u(0, t) = ц2(х), 0

Здесь (2) начальное условие называется (3) граничным условием, а (1) -(3) смешанным случаем.

Решение определяется в смысле G = [0, a] x [0, T].

Теперь для решения (1) - (3) введем прямоугольный тип в области G o»h ={ x; = ih, i=l, N-l, h=l/N } , coT ={ tj = ji, j=l, М-1, т =T/M } ,

Wht = COhX (От и напишим следующие диаграммы с вычитанием:

[ ( Yi' 1 * Yij ) + c (y? - Yi-iJ)/ h ] / т =

Ф? = f( х_; - h/2, tj + t/2 )

I (Yi-ij+1 - Yi-iJ) + c (y^1 - yi-ij+1)/ h ] / т = ф?(

[ ( yi*+1 - У^) + c (yij+l - yi-ij+1 У h ] / T = ф/(6)

и симметричные

эти круговые схемы называются бегущими схемами, и (9) схема открыта, остальные являются эпическими схемами. Однако расчеты для эпических схем можно организовать как в открытой схеме.

(4) проверить ошибку аппроксимации схемы. Предположим, что исходные данные непрерывно дифференцируются дважды (f, x, t) и подчиняются следующим условиям:

d^2(0)           dVi(O)

--------------= (-c)4--------------- ,0

В этом случае решение (x, t) двумерно дифференцируется, и мы получаем его ряд Тейлора:

Uf^l+1 = и? +r(u_t )? + t² (u_tt ),^j /2

Uj-[J = Uf1 - h (ux ^d-h^Uxx )tJ/2

дМ+г(№ - h(fx’)j/2

Исходя из этого рассмотрим схему схемы (4)

ф? = ( du/dt + c Su/dx - f ^ - [ ( u?”1 - Uj* )/h + c (ur' - им*)/ h - фг* ] =

= T (ft’ - ftt” ),j /2 + h (c uxx’’ - fj,J /2 = О (T + h )                  (9)

Таким образом (4) схема дивергенции имеет одинаковый порядок утверждений по h и t.

Это происходит следующим образом, когда мы определяем принцип максимума подраздела (4) принципиальной схемы.

1/ т > с/ h + | 1/ т - с/ h | это неравенство будет выполнено, если будет выполнено условие Куранта c τ ≤ h (10)

Следовательно, диагональная диаграмма (4) является условной

I ly1*1 - Uj+11 L ^ I IУ* - U*| Ic ,j=o, 1,. . . . M. (11)

выполняется.

Остальные схемы могут быть указаны таким же образом. (5) условие схемы стагнации c τ ≤ h и O (t + h) становится более точным.

Схема разделения (6) является безусловной, с вышеприведенными гипотезами, что O (t + h) быстро приближается, yj → uj, если h → 0, t → 0. (7) - вторая диаграмма порядок приближения, то есть апроксимация ψi j = O (τ 2 + h2 ) тогда это считается безусловной статической схемой.