Интегральная многообразия интегро-дифференциального уравнения
Автор: Хаитов Т.О.
Журнал: Мировая наука @science-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 2 (35), 2020 года.
Бесплатный доступ
Данной статье рассматривается исследование интегрального многообразия нелинейного интегро-дифференциального уравнения атакже основного уравнения к системе специального вида
Уравнения, прикладная задача, дифференциалы, исследования, динамика
Короткий адрес: https://sciup.org/140265238
IDR: 140265238
Текст научной статьи Интегральная многообразия интегро-дифференциального уравнения
При изучении многих прикладных задач часто приходим к рассмотрению интегро-дифференциальных уравнений.
Интегро-дифференциальные уравнения встречаются при изучении щелевых антенн, качки корабля на спокойной воде, распространение вязкопластического течения с учетом упрочнения для случая сдвига, в гидродинамической теории смазки, в теории автоматического регулирования, в процессах сейсмостойкости сооружений.
К исследованию интегро-дифференциальных уравнений приводятся, например, изучения явления последействия в твердом теле, изучение процессов деформации реальных тел, механические, электромагнитные и тепловые процессы с учетом явления фактора времени, процесс распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью, колебания физического маятника с полостью, заполненной вязкой жидкостью.
Известно, что A.M. Ляцунов является одним из основоположников теории фигур равновесия однородной и слабо неоднородной вращающейся жидкости, частицы, которой взаимно притягиваются согласно закону всемирного притяжения. Ляпунов доказал существование фигур равновесия близких к эллипсоидальным. Он выявил также существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости в случае изменения ее полости с глубиной.
Эта теория A.M. Ляпунова получила глубокое развитие в работе, где вся проблема фигур равновесия вращающейся в жидкости связана с теорией интегро-дифференциальных уравнений.
К интегро-дифференциальным уравнениям приводятся задачи динамики вязкой упругости, а также задачи ядерной физики и многие другие задачи механики, физики, теории колебаний.
Вышеприведенные примеры задач, и связь с теорией интегро-дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что изучение интегро-дифференциальных уравнений имеет важное теоретическое и практическое значение.
Этим прежде всего объясняется тот факт, что за последнее время появились многочисленные работы, в которых исследуют существование, единственности, устойчивость и многие другие свойства решений интегро-дифференциальных уравнений, Обзор исследований интегро-дифференциальных уравнений дан в.
Сравнительно недавно, но весьма интенсивно, стал развиваться классический метод усреднения академика Н.Н. Боголюбова для интегро-дифференциальных уравнений и в настоящее время уже получен ряд результатов как в направлении разработки алгоритма построения усредненных уравнений, так и в направлении установления различных теорем. Полученные алгоритмы уже находят эффективное применение в различных задачах механики сплошной среды, в частности, в теории вязкоупругих систем, в теории колебаний тел, имеющих полости, заполнения жидкостью и т.п.
На возможность исследования динамики вязкоупругих систем классическим методом усреднения академика Н.Н. Боголюбова указал А.А. Ильюшин. Им же была показана принципиальная возможность сведения определенного класса таких задач к системам интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.
Интегральные многообразия позволяют также достаточно полно исследовать окрестности стационарных решений рассматриваемых уравнений в критических случаях.
Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения»
Интегральные многообразия являются образованиями более стабильными по отношению к малым изменениям правых частей уравнений по сравнению с индивидуальными решениями.
Метод интегральных многообразий является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющих получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании достаточно сложных динамических систем.
Большой вклад внесли в развитие метода интегральных многообразий ученые в США - С. Дилиберто, В. Кайнер, А. Келли, Н. Ле-винсон, В. Лауц, М. Маркус, Р. Сакер, Г. Хаффовд, Хеил, Н. Чефи и др.; в Румынии - А. Халанай; в Японии - Т. Иошизава, М. Урабе; в Чехословакии - Курцвеиль.
Большой вклад внесли в развитие и применение классического метода интегральных многообразий академика Н.Н. Боголюбова ученые Советского Союза, среди них большой интерес заслуживают исследования О.Б. Лыковой, Ю.А. Митропольского, В.А. Плисса, A.M. Самойленко и другие.
Согласья вышеприведёнными рассмотрим одну задачу:
Существует много проблем с дисперсией частиц в веществе: поток нейтронов в реакторе, теплообмен в газах, диффузия атомов и электронов и т.д. Такие вопросы сводятся к уравнению эскалации. В общем случае уравнение усиления имеет интегро-дифференциальную форму.
SuSu
--------+c---------- = f(x,t) ,(1)
St где c-скорость постоянна. Если с> 0, лиса распространяется на него. Мы решаем задачу для уравнения (1).
u(x, 0) = Hi(x), 0 < x < a,(2)
u(0, t) = ц2(х), 0 Здесь (2) начальное условие называется (3) граничным условием, а (1) -(3) смешанным случаем. Решение определяется в смысле G = [0, a] x [0, T]. Теперь для решения (1) - (3) введем прямоугольный тип в области G o»h ={ x; = ih, i=l, N-l, h=l/N } , coT ={ tj = ji, j=l, М-1, т =T/M } , Wht = COhX (От и напишим следующие диаграммы с вычитанием: [ ( Yi' 1 * Yij ) + c (y? - Yi-iJ)/ h ] / т = Ф? = f( х; - h/2, tj + t/2 ) I (Yi-ij+1 - Yi-iJ) + c (y^1 - yi-ij+1)/ h ] / т = ф?( [ ( yi*+1 - У^) + c (yij+l - yi-ij+1 У h ] / T = ф/(6) и симметричные эти круговые схемы называются бегущими схемами, и (9) схема открыта, остальные являются эпическими схемами. Однако расчеты для эпических схем можно организовать как в открытой схеме. (4) проверить ошибку аппроксимации схемы. Предположим, что исходные данные непрерывно дифференцируются дважды (f, x, t) и подчиняются следующим условиям: d^2(0) dVi(O) --------------= (-c)4--------------- ,0 В этом случае решение (x, t) двумерно дифференцируется, и мы получаем его ряд Тейлора: Ufl+1 = и? +r(ut )? + t2 (utt ),j /2 Uj-[J = Uf1 - h (ux ^d-h^Uxx )tJ/2 дМ+г(№ - h(fx’)j/2 Исходя из этого рассмотрим схему схемы (4) ф? = ( du/dt + c Su/dx - f ^ - [ ( u?”1 - Uj* )/h + c (ur' - им*)/ h - фг* ] = = T (ft’ - ftt” ),j /2 + h (c uxx’’ - fj,J /2 = О (T + h ) (9) Таким образом (4) схема дивергенции имеет одинаковый порядок утверждений по h и t. Это происходит следующим образом, когда мы определяем принцип максимума подраздела (4) принципиальной схемы. 1/ т > с/ h + | 1/ т - с/ h | это неравенство будет выполнено, если будет выполнено условие Куранта c τ ≤ h (10) Следовательно, диагональная диаграмма (4) является условной I ly1*1 - Uj+11 L ^ I IУ* - U*| Ic ,j=o, 1,. . . . M. (11) выполняется. Остальные схемы могут быть указаны таким же образом. (5) условие схемы стагнации c τ ≤ h и O (t + h) становится более точным. Схема разделения (6) является безусловной, с вышеприведенными гипотезами, что O (t + h) быстро приближается, yj → uj, если h → 0, t → 0. (7) - вторая диаграмма порядок приближения, то есть апроксимация ψi j = O (τ 2 + h2 ) тогда это считается безусловной статической схемой.
Список литературы Интегральная многообразия интегро-дифференциального уравнения
- О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, Автореферат дис. канд. физ. -мат. наук, Институт маг-ки, АН УССР, К. 1957-год
- Кривошеин Л.Е. Исследования интегро-дифференциальных уравнений в Киргизском университете. Материалы 10-ой научной конференции проф. преп. состава физ. мат. ф-та, Фрунзе. 1961-год
- Исследование нерегулярно возмущенных дифференциальных систем методом интегральных многообразий. Автореф. дисс. доктора физико-математических наук, Издательство АН УССР, К. 1966-год
- Таджибаев Ш., Шыхыев Р. Текст лекций в области вычислительных экспериментов. Кафедра "Прикладная математика и информатика" для студентов 3 курса Каракалпакский государственный университет имени Бердаха. Математический факультет. Нукус - 2007 год