Интегральное уравнение Фредгольма

Введение

Фредгольм Эрик Ивар – шведский математик. Окончил Стокгольмский университет (1893), с 1906 профессор там же. Основные труды по интегральным уравнениям. В 1900 изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. уравнения Фредгольма).

Теоретическая часть

В общем случае определение интегральных уравнений звучит достаточно просто: интегральными уравнениями, называются уравнения, в которых неизвестная функция находится под знаком интеграла

Интегральные уравнения можно разделить на два больших класса:

Линейные:  В которых неизвестная функция входит линейно.

Для линейных интегральных уравнений выделяют два вида уравнений:

Интегральные уравнения Вольтерра (Volterra) -  1 и 2 рода.

Интегральные уравнения Фредгольма (Fredholm) - 1 и 2 рода.

Общий вид интегральных уравнений Фредгольма выглядит следующим образом:

Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

b

<р(л)-Х| KtxjWOdt = 0, а где

У J К 2 (jc, t^dxdt интеграл               имеет конечное значение. Функция f(x) является непрерывной или имеющей разрывы 1-го рода. Если f(x) ^ 0, то уравнение является неоднородным, а если f(x)=0, то исходное уравнение принимает следующий вид и называется однородным.

b

ф(х)-Х|К(х,/)<р(О/ =0,

а

Задачи, в которых используются уравнения Фредгольма

Из физических задач можно привести, например следующие:

При обработке данных, полученных в косвенных экспериментах, когда прямое наблюдение невозможно, например нахождение планет в других системах или нахождение полезных ископаемых путем гравиразведки, или задачи по восстановлению снятых не в фокусе изображений и .т.д. Как правило, при известной теоретической модели эксперимента подобные задачи можно свести к решению уравнению Фредгольма 1 -го рода.

К уравнениям Фредгольма 2-го рода можно свести, например задачи о нахождении профиля струны при свободных гармонических колебаниях. Так же к этому типа уравнения могут быть сведены задачи, описываемые уравнением Лапласа.