Интегрирование - важный процесс математического анализа

С изменением мира и его прогрессированием некоторые части математики как науки исчезают, на их смену приходят новые более быстрые методы решения каких-либо сложных задач, над которыми бились учёные многими веками, но какие-то её старые методы борьбу с новыми методами отстояли и остались нерушимыми. Таковым методом является один из важнейших разделов математического анализа - интегрирование.

Метод интегрирование - это метод решения дифференциальных уравнений при помощи интегралов. Интеграл может быть определённым, неопределённым, двойным, кратным, криволинейным, поверхностным, исходя из этого, процесс интегрирования тоже может быть разнообразным.

Несмотря на всё разнообразие процессов интегрирования, они подвластны основным правилам интегрирования:

• -    J (f (x) + g (x))dx = J f (x)dx + J g(x)dx;

• -    Jcf (x)dx = c J f (x)dx;

• -    Если k ^ 0 и k, b - постоянные, то J f (kx+b)dx = 1 p (kx+b) + C [1].

Процесс интегрирования напрямую зависит от знания таблицы первообразных. Они помогают сложное дифференцированное уравнение разбить, в конечном итоге, на более простые или же, в случае определённого интеграла, привести к конечному числу, которые будет являться решением данного примера.

Функция F ( x ) может называться первообразной для функции f ( x ) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F‘( x ) = f ( x ) [2].

Первообразная образуется из подынтегрального выражения, а сама функция называется подынтегральной. Сложное выражение состоит с двух и более первообразных. Они сводятся к одной или нескольким интегралам элементарных функций. Данное правило относится к решению неопределённого интеграла.

Определённый интеграл находится также по первообразным, но, в отличие от неопределённого, имеет пределы или так называемые нижние и верхние границы, которые заданы в виде промежутка.

Интегрирование можно произвести по следующим видам:

• -    метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) (заключается во введении новой переменной интегрирования, при этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся);

• -     метод интегрирования по частям (состоит в том, что

• подынтегральное выражение некоторого интеграла представляется в виде

произведения двух сомножителей u и dv, затем используется формула интегрирования по частям);

• -    интегрирование рациональных дробей (дробивида ^-) , где Pn(x), Qm(x) многочлены соответственно n-ой и m-ой степени от х, делятся на простейших дроби четырёх типов);

• -    интегрирование тригонометрических функций (интегрирование тригонометрической функции вида J R(sinx, cosx')Cxпри помощи универсальной тригонометрической подстановки t=tg | , на месте тангенса может быть любая функция);

• -    интегрирование иррациональных функций (находятся при помощи трёх видов подстановок: квадратичной (выделение полного квадрата, после которого происходит подстановка (замена части функции на t)), дробно-линейная (сведение к интегралам рациональной функции), тригонометрическая (сведение к интегралам тригонометрической функции, далее решение как в интегрировании тригонометрических функций)) [3].

Интегрирование - это явление, облегчающее нахождение площадей криволинейных фигур, задач, связанных с перемещением [4].

При нахождении площадей даются линии, в пределах которых находится фигура, требуется найти площадь данной фигуры. Для её нахождение следует найти пределы интегрирования, которые связанные с ограничивающими фигуру линиями. После этого площадь находится через определённый интеграл, так как он имеет пределы, и в конечном итоге получается числовой ответ.

Также можно найти объём тела вращения, то какой-то фигуры, которая вращается вокруг своей оси. Находится по той же схеме, как и площадь фигуры. Значения прямых, ограничивающих фигуру, являются значениями пределов, а функция, которая вращается, подынтегральной функцией.

Таким образом, интегрирование является сложным процессом решения дифференциальных уравнений. Имеет свои особенности и видовое разнообразие в зависимости от функции, которую следует проинтегрировать.Зная интегрирование, можно быстро найти решение уравнений, в также найти площадь и объём фигуры, которая не поддаётся обычным законам математики.