Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа

В конечной группе для любого теоретико-группового свойства P всякую P -подгруппу наивысшего порядка называют большой P-подгруппой.

Вопрос описания больших абелевых подгрупп группы G лиева типа над конечным полем сводится к аналогичному вопросу для унипотентного радикала U подгруппы Бореля в G [1-4]. В 1970-1980-е гг. для классических типов изучено множество A ( U ) больших абелевых подгрупп в U вместе с подмножествами A N (U ) нормальных и A e (U ) элементарных абелевых подгрупп в U и подгруппами Томпсона J(U ) = ( A | A е A(U ) ) и J_e (U ) = ( A | A е A e (U ) ) .

В [3] записана проблема 1.6: описать множества A ( U ), A e ( U ), A N (U ) и подгруппы Томпсона J ( U), J e ( U ) для оставшихся случаев G .

В [5-7] проблема описания A ( U) редуцирована к вопросу о том. что необходимо выявить группы U , в которых любая большая абелева подгруппа G -сопряжена c нормальной подгруппой в U , и перечислить исключительные большие абелевы подгруппы оставшихся групп U.

Существование и описание нормальных больших абелевых подгрупп в U установлены в [8-10], наряду с описанием максимальных нормальных абелевых подгрупп. Там же и в [11] доказано, что всякая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U группы G лиева типа над конечным полем G -сопряжена с нормальной подгруппой в U или G есть группа типа G ₂, F 4 , ³ D ₄ либо ² E ₆.

В данной статье выявляются исключительные большие абелевы подгруппы групп U типа ² E ₆; случай групп U типа F ₄ см. в [12; 13].

Предварительные замечания. Группу Шевалле Ф(K) над полем K, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые подгруппы Xr = xr (K), r еФ . Скрученная группа m Ф(K) типа m Ф есть централизатор в Ф(K) скручивающего автоморфизма 0 е Aut Ф(K) порядка m = 2 или 3. Это композиция графового автоморфизма т и автоморфизма с: t ^ t (t е K) основного поля, причем 0( Xr) = т( Xr) = Xr (r еФ) для естественного продолжения на Ф симметрии графа Кокстера порядка m [14; 15].

Для групп ^m Ф ( K ) типа ² E ₆ существует гомоморфизм Z решетки корней системы Ф на решетку системы типа F ₄, причем корни r и 5 лежат в одной -орбите тогда и только тогда, когда Z ( r ) = Z ( 5 ) (см. леммы 7, 8 [14] и замечание 13.3.8 [15]). Согласно предложению 13.6.4 [15], -орбита а любого корня r е Ф однозначно определяет корневую подгруппу X _а скрученной группы.

Обозначая множество всех -орбит в Ф через ^m Ф , считаем, что ^m Ф = Z ( Ф ). База П(Ф) системы корней Ф дает базу П ( ^m Ф ) = Z ( П ( Ф )) системы ^m Ф . Если K _с := Ker(1 -с ) - ядро преобразования 1 -с поля K , то X _а = x _а ( K _с ) = x q ( K _с ) для орбит а = { q} длины 1; в остальных случаях X _а = x _а ( K ).

Для системы G = ^m Ф или G = Ф обозначим через G + множество положительных корней относительно фиксированной базы П = П ( G ) в G , а через UG ( K ) или U - унипотентную подгруппу { X r | r е G + ) в ассоциированной с G группе G ( K ) лиева типа над полем K [14; 15]. В этих работах рассмотрены мономиальная N и диагональная H <  N подгруппы, разложение Брюа G ( K ) = BNB с подгруппой Бореля B = U X H и B n N = H .

При G = Ф фактор-группа N / H изоморфна группе Вейля W , порождаемой отражениями w r ( r е Ф ), и для подходящих мономиальных элементов n_r е { X_r , X _ _r ) определен гомоморфизм n_r ^ w r ( r е Ф ) группы N в W с ядром H .

В расширенной группе Шевалле K-характеру х решетки корней (его значения на простых корнях можно выбирать произвольно) сопоставляют диагональный элемент h (х), причем h (X) Xr (t) h (х)-1 = Xr (х( r) t), nsxr (t)n-1 = xws (r) (±t) (r, s e Ф).

Если ^r = S aen c a^{a e G} , то число ht ^{( r} ) = ^Saen c a называют высотой r . Максимальный корень в G + обозначим через р. Числом Кокстера системы G называют число h = h ( G ) := ht ( p ) + 1; для G = Ф. Стандартный центральный ряд в U = UG ( K ) образуют следующие подгруппы [15]:

U = < X r I r e G ⁺ , ht ( r ) >  i } ,

1 <  i <  h = h ( G ) ( G = Ф или G = m Ф ).

Всякий элемент y в U допускает единственное (каноническое) разложение в произведение корневых элементов x_r ( у _r ) ( r e G + ), расположенных соответственно произвольному упорядочению G (см. лемму 18 [14]). Коэффициент у назовем r-проекцией элемента у. Через Ф( x ) для элемента у в U обозначим, как и в [4], множество таких корней r , что у _r * 0 в разложении Y = n r _еф+ x_r ( у _r ), где корни r выбраны в порядке возрастания.

Пусть { r } ⁺ - совокупность всех s e G ⁺ с неотрицательными коэффициентами в разложении s - r через базу П ( G ). Подмножество ^сФ ' назовем нормальным , если { r } ⁺ с V для всех r eV . Полагаем

T ( r ):= ( X s | s e { r } ⁺> ,

Q ( r ):= < X_s | s e { r } ⁺ , s * r\ r e G .

Если H с T ( r ₁) T ( r ₂)... T ( r m ) и любая замена T ( r i ) на Q ( r i ) нарушает включение, то тогда L ( H ) = { r ₁, r ₂, — , r m } назовем множеством углов в H .

Зафиксируем регулярное упорядочение корней, согласованное с функцией высоты корней (см. лемму 5.3.1 [15]). Тогда первый угол элемента из U соответствует его первому сомножителю в каноническом разложении. Через L₁(H ) обозначим множество первых углов всех элементов из H .

Исключительные большие абелевы подгруппы и подгруппы Томсона групп U типа ² E6. В силу [12], в группе Шевалле G типа F 4 над полем K при 2 K = K всякая большая абелева унипотентная подгруппа A сопряжена в G с нормальной подгруппой в U и L₁(A ) описано леммой 2 [12], однако при 2 K = 0 это не так [13]. Докажем следующую теорему.

Теорема 1. В группе G типа 2 E6 над конечным полем K = 2K существует большая абелева подгруппа группы U, которая не является G-сопряженной с нормальной подгруппой в U.

Доказательство. Группу U порождают корневые подгруппы X a , a e G ⁺ , где X a = x a ( K _c ) для орбит a длины 1 (класс первого типа); в остальных случаях X a = x a ( K ). Скручивание системы корней типа E 6 приводит к системе типа F 4 (см. предварительные замечания). Поэтому считаем, что a пробегает систему Ф типа F 4 . Для краткости вместо записи a a ₁ + b a ₂ + c a ₃ + d a ₄, где a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ - простые корни системы типа F ₄, будем использовать запись abcd [16].

Пусть A - большая абелева подгруппа группы U = U ² E ₆( K ), 2 K = K . Согдасно [8], группа U имеет единственную большую абелеву нормальную подгруппу H = X 0122 U 6 .

Рассмотрим подгруппу

X 1111 ( K _c ) X _H21 ( K _c ) X 1221 ( aK _c ) X 1231 ( bK _c ) T (0122) ₍₁₎ ( a = - a , b = - b ).

Предположим, что подгруппа (1) сопряжена в группе G с подгруппой H, т. е. gAg-1 = H для некоторого g e G. Пусть B - подгруппа Бореля группы G, N - мономиальная подгруппа и nw -фиксированный (произвольно) прообраз в N элемента w группы Вейля W при естественном гомоморфизме N ^ W. Известно [15], что g = bnwU, b e B, u e Uw = (Xr | r e G+, w(r) e G-), причем элементы b, w, u определены однозначно. Тогда (bnwu)A(bnwu)-1 = H или nw (uAu-1)nw = H , при этом L (uAu -1) = L1 (A) = {1111}+. Множество {1111}+ содержит четыре коротких   корня, следовательно множество Ф(H) = иxeH Ф(x) также должно содержать четыре коротких корня. Но Ф(H) = {1221}+и {0122}+ содержит три коротких корня.

Строение подгрупп Томпсона требует уточнения для типов G ₂,³ D ₄, E ₈ [9-11], а также для типа ² E ₆, как показывает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть U - унипотентная подгруппа группы G типа 2 E 6 над конечным полем K. Тогда J (U ) = J_e (U ) = X_a X_a X_a U ₂.

V / ev/     a 2 а з a 4 2

Построение больших абелевых подгрупп групп U использует известные понятия. А. И. Мальцев назвал подмножество V с Ф⁺ коммутативным , если r + s ХФ для любых r , s eV [1]. Описав наибольшие из таких подмножеств в Ф⁺ , он применил их в описании коммутативных подалгебр наивысшей размерности в простых комплексных алгебрах Ли.

Лемма 1. Наибольшие коммутативные множества системы корней типа F 4 имеют порядок 9 и W- сопряжены с {0122} ⁺ ∪ {1221} ⁺ .

Подмножество Ψ ⊆ Φ⁺ Е. П. Вдовин называл абелевым относительно p , если для любых его корней r , s либо r + s ∈ Φ и структурная константа C 11 rs коммутаторной формулы Шевалле равна нулю в характеристике p , либо r + s ∈ Φ [4] (очевидно, это абелевы, как и в [1], множества корней, если p >3 или в Ф все корни одной длины). Такие максимальные подмножества Ψ описаны компьютерными средствами в [4] для типа G 2 при p = 2 и 3, а также для типа F 4 при p = 2, где они дают максимальные абелевы подгруппы X _Ψ = 〈 X r | r ∈ Ψ 〉 .

Полученные в последнем случае 82 подмножества выписаны в табл. 3 [4] с обозначением Ψ i , j , где i – номер строки; j – номер столбца. В частности,

Ψ ₁={0121} ⁺ , Ψ ₂={1111} ⁺ ∪ {0122} ⁺ , Ψ ₃ ={0011,0111,1111,1231} ∪ {0122} ⁺ есть    Ψ 2,12 , Ψ 2,13 , Ψ 6,10    соответственно. Из [4]

несложно вытекает следующая лемма.

Лемма 2. Всякое максимальное абелево относительно 2 подмножество системы корней типа F 4 либо есть одно из множеств Ψ 1, j , Ψ 4, j порядка 10 (1 ≤ j ≤ 13), либо W- сопряжено с одним из множеств Ψ i , Ψ i порядка 11 для i = 1, 2 или 3 (всего 28, 22 или 6 соответственно) .

При r,s,r+s∈Φ+ выберем xr(F)⊆Xr,xs(V)⊆Xs,F,V⊆K,FV≠0.

В [10] доказана следующая лемма.

Лемма 3. Если [xr(F),xs(V)]⊆Q(r+s), то r + s есть класс первого типа, r и s не являются классами первого типа и, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, F ⊆ Kσ , V⊆ K1-σ .

Положим m ( x ):= L 1 ( x ) ∈ Φ⁺ при всех x ∈ U . Используя лемму 3 и табл. 3 [4], получим две следующие леммы.

Лемма 4. Пусть A – абелева подгруппа группы U типа 2E6 . Тогда для любых ее неединичных элементов x, y множество {m(x), m(y)} – абелево относительно 2, когда m(x)+m(y)∈Φ, m(x)-проекции всех элементов из A с первым углом m(x) лежат в 1-мерном Kσ -модуле.

Лемма 5. Пусть A – большая абелева подгруппа в U , Ψ – максимальное абелево относительно 2 множество системы типа F 4 и L 1 ( A ) ⊆ Ψ . Тогда:

а) подмножество {r1,r2,r3}⊆Ψ лежит в L1(A), если для всех i≠ j имеем ri+ rj∈Φ и

C = ± 2;

11, r _i , r _j

• б)    если r + s ∈ Φ для пары { r , s } корней из Ψ, не входящей в тройки из п. «а», и C 11, r , s = ± 2, то r или s входит в L 1 ( A );

• в)    если Ψ содержит корень r такой, что ( r + Ψ ) ∩Φ = ∅ , то r ∈ L 1 ( A ).

Аналогично, используя леммы 4, 5 и табл. 3 [4], получим следующую лемму.

Лемма 6. Максимальные абелевы относительно 2 подмножества Ψ, для которых существует большая абелева подгруппа A с условием L 1 ( A ) ⊆ Ψ , W- сопряжены с Ψ 1 при 2 K = 0 и с Ψ 2 при 2 K = K. Кроме того, они исчерпываются множествами

W W WWW W W W W W ^Ψ 2,9 , ^Ψ 2,12 , ^Ψ 3,1 , ^Ψ 3,7 , ^Ψ 3,12 , ^Ψ 5,1 , ^Ψ 5,3 , ^Ψ 5,6 , ^Ψ 5,8 , ^Ψ 5,9 ,

WWWWWWWWW

• ^Ψ 5,13 , ^Ψ 6,4 , ^Ψ 6,11 , ^Ψ 7,1 ; ^Ψ 2,10 , ^Ψ 2,11 , ^Ψ 2,13 , ^Ψ 3,13 , ^Ψ 5,2 , Ψ 5,4 , Ψ 5,5 , Ψ 5,7 , Ψ 6,7 , Ψ 7,2 , Ψ 7,3 соответственно.

Доказательство теоремы 2 вытекает из леммы 6 и табл. 3 [4].