Использование характеристик в нестационарных задачах пластического течения тонкого слоя по плоскостям

В основу расчетов положена предложенная Ильюшиным А.А. [1] теория течения в тонком пластическом слое, заключенном между двумя сближающимися по заданному закону поверхностями тел инструмента в предположениях, что

• -    материал пластического слоя идеальнопластический,

• -    материал слоя объемно-несжимаемый,

• -    упругими деформациями тел инструмента пренебрегаем,

• -    на поверхностях контакта принимается классический закон течения Л. Прандтля [2].

ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Используется краевая задача в постановке «идеальной жидкости». Эта постановка описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка относитель-

но контактного давления и компонент вектора ско-

рости течения вдоль плоскости течения [3, 4]:

2ts и gradp = ____,           (1)

ди ди 1 dh дх ду h dt

Единственное краевое условие на контуре растекающегося пластического слоя

” Ids, - "-

На свободной части контура

P к - 2»-

На границе области, образованной пазами в одном из тел инструмента, куда свободно затекает материал слоя:

P|ds3-Pr(p).

В общем случае затрудненного растекания, где Py(P-) — заданная функция от параметра р на границе.

Рассматривается краевая задача течения в тонком пластическом слое в постановке (1)-(5) с условием на границе слоя

^P(a ’ ^P,t) I_dSt-^kffs (к — 12)        (6)

Причем принимается, что упругими деформациями воздействующих тел (инструмента) можно пренебречь (h(a,p, t) = h , ).

При заданном законе сближения внешних тел, то есть при известной функции (h(a, p,t) = h , ) и условии на границе слоя в виде (6) в задаче требуется для всех t > t₀ определить законы распределения контактного давления p(a,p,t) , скоростей u(a,p,t), v(a,p,t), меру на-

копленной деформации A(t) = In (j^) , общую силу в заданном направлении [5]:

^Р общ = Я₅ ⁽ P ^{n v)ds}. ⁽⁷⁾ а также, форму растекающейся области s_t = s(a,p,t) , занятой пластическим материалом, по известной начальной области s₀ = s(a,p,t₀) на геометрически неизменной основной поверхности.

В общем случае щ (0 < щ < 1) представляют собой сложные функции, зависящие от формы очага деформации, величины контактного давления в рассматриваемой точке поверхности контакта, наличия, состава и степени смазки, величины шероховатости контактирующих поверхностей и т. д. [6] При наличии сухого трения (без смазки) в процессах течения тонких пластических слоев можно положить Р₁ = Р₂ = 1 , что экспериментально подтверждается в [7, 8].

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Ниже предлагается метод решения задач течения пластических слоев в постановке (1), (2) с граничным условием (3) - (5). Уравнения краевой задачи (1), (2) запишем в виде [9]:

dp Ada dp Sdp

2t_s _ u ^h 7u²+v²

2ts _    u h 7u2+V2

Из векторных уравнений (8), (9) следует, что линии уровня p(a, p) = const ортогональны линиям тока 4da м Bdp v

= ^- V^,~dT= ^- V ^;

т. е. направление вектора скорости течения совпадает с направлением вектора gradp . Это обстоятельство позволяет перейти от системы (8), (9) к эквивалентной системе двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно p(a, p, t) и модуля вектора скорости V :

dh at

4t ?

^gradp =

1 d(hSVcosy) 1 d(hAVsiny)

—

AS da

—

AS dp

= 0,

где V = -V(cosyt + sinyj); у = y(a, p, t) - угол между касательной к линии тока в рассматриваемой точке области течения и осью а . В уравнении (10) для удобства записи р₁ = р₂ = 1 , хотя предлагаемый ниже метод остается верным для любой пары допустимых значений р₁ ,р₂ . Решаем уравнение (10):

F(a,p,P,p,q) = ( A )² + ( S )² - d²(a,p) = 0

где

H(a,p) = ^^ > 0,p = ^.q = ^^ n        oa op а t, как независимый параметр, пока опускаем. Для нелинейного уравнения в частных производных первого порядка (12) каждая совокупность функций a = a(S’),P = P(S’),P = P(S'),p = p(S’),q = q(S'),(13)

удовлетворяющая системе обыкновенных дифференциальных уравнений

— = р — = F — = nF + aF(14)

ds, FP, ds, F?, ds, pFP + qF?,

^Р =-(pFp+ Fa),dq =-(qF>+ F?) dSdO описывает вместе с уравнением (9) характеристическую полосу.

Выберем вдоль характеристической полосы вместо параметра S’ вдоль характеристической полосы S, являющийся длиной дуги вдоль носителя характеристик a = a(S),p = P(S), т.е. согласно (14) dS = 7Л2da2 +B2dp2 = ^42Fp2 + B2Fq2dS'.

В нашем случае характеристическая система (14) имеет вид

"                       dP - 11 dP _ „ da = 2_p           ,ds =s2fi ,ds “ ds   A2 П

' 2 = ^+^ +da

= ^7p A ^ ^A p ⁺t^^b p ⁺ⁿ p

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ И ФОРМУЛИРОВАНИЕ ТЕОРЕМ

Задача (16) - это задача типа Коши с соответствующими граничными условиями на контуре области st. Решения системы (16), удовлетворяющие (12), называют характеристической полосой, а несущую эту полосу кривую (a(s),p(s),P(s)) - характеристической кривой. Можно установить связь между решения- ми (12) и (16) и показать эквивалентность их интегрирования при выполнении определенных условий, для чего будем использовать известные теоремы из теории дифференциальных уравнений в частных производных [10].

Теорема 1. Если характеристическая полоса имеет общий элемент (т. е. (a,p,P,p,q) с интегральной поверхностью P = P(a,p) , то эта полоса целиком принадлежит интегральной поверхности.

Теорема 2. Пусть дана пространственная кривая С;

a = a(p),p=p(p),P = P(p), которую можно дополнить функциями p = p(p),q = q(^), до начальной полосы

С; а = а ⁽ р),р = PO^P = P ⁽ p\p = p^Yq = q ⁽ M.), где С удовлетворяет соотношению полосы

p; = pa; + qp;*0(17)

и уравнению

F(a,p,P,p,q) = 0

или вдоль полосы С_г;

△= FpP; - Fqa; Ф 0, то в окрестности С существует одна и только одна интегральная поверхность, проходящая через эту по лосу.

Выберем теперь в качестве пространственной кривой С(a(д),p(д),P(д)) регулярную часть контура dS_t области течения в рассматриваемый момент времени а(д),р(д) е С²,

(а ^ )² + (р ; ) Ф 0 и положим на ней P(p) = ka_s .

Определим далее p(p),q(p.) так, чтобы выполнялись условия (17) - (19). Тогда в окрестности гладких точек контура области течения все условия теоремы 2 выполнены, т. е. существует единственная интегральная поверхность Р = P(a,p), проходящая через выбранную часть контура. С другой стороны, задача Коши для системы (16) при выполнении условий типа Липшица для правых частей a,p,P,p,q имеет единственную характеристическую полосу, которая в свою очередь имеет общий элемент (в точках контура) с интегральной поверхностью. А значит по теореме 1 решения (16) и (12) совпадают.

Легко установить, что носители характеристик a(s),p(s) системы (16) совпадают с линиями тока, и система (16) оказывается эквивалентной системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно da = cosy dp = cosy dP = ^ ds = A , ds = В , ds = '

p: = n ( ^-P"^sin y ⁺ T ^cosy) ⁺ AB ^(A P ^{C0SY - B} a ^sinr) .

Учитывая, что вдоль характеристик системы (20) dP = tt>0, dS последнюю систему можем представить в эквивалентной форме: da cosy dp siny dS 1 dP = ^tt,dP = ~Bn",dP = П,

T^y = M^-fT^sin y ⁺ Т^С0^ ⁺ AB^ ^(A P ^Cos y ^{- B} “ ^sin y^-

Решения системы (20) или (21) с граничными условиями в точках контура области определяют рима-

нову поверхность (a,p,P) из которой согласно принципу единственности давления (точнее, принципа минимума мощности внешних сил [11], который при заданном законе сближения внешних тел h = h(a,p,t) совпадает с минимумом внешних сил) оставляем покрытие области из частей характеристических кривых, заключенных между границей контура области и ребром (т. е. линией, составленной из точек пересечения, по крайней мере, двух разных характеристических кривых), и соответствующих минимальным значениям контактного давления.

Другие же части этой многолистной поверхности (продолжения характеристических кривых) физически не реализуются. Для решения таких задач в литературе известны как точные, так и численные (приближенные) методы, например, метод Рунге-Кутта [12].

Перейдем теперь к интегрированию уравнения (11) для определения кинематики течения. Перепишем это уравнение в эквивалентной форме:

—— cosy + —— siny + WT + ш = 0

Ada Bdp или где

aw ds

= -W^ - ш,

W(s) = h(a(s),P(s))V(s),w(s) = -

dh dt ^,

1 д(Всозу) д(Азту)1 ^У = АВ [ да ⁺ др J’

Если теперь сможем вычислить каким-то способом значения функции У вдоль носителей характеристик a(S),p(S) (т. е. знать зависимость У = y(S), то интегрирование (22) не составит большого труда -оно будет неоднородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Имеет место сле дующее представление:

Теорема 3.

У =—7- + — cosy + — siny,                              (23)

R(S) Rp 1 Ra "                                                V У где / 1 дАх"1       /1 дВх"1

Ra = \АBдp) ,^ = \АВ"да) - касательные радиусы кривизны линий а,р на основной поверхности, -L = Z(s) = ^У-siny + ^ycosy = R(s) Ада Вдр д^ - касательная (геодезическая) кривизна линий уравнений Р(а,р) = const в рассматриваемой точке обла сти течения.

В некоторых частных задачах течения тонких пластических слоев величина радиуса кривизны R = R(s) линии уровня находится точно (течение плоских пластических слоев постоянной толщины h = h(t), когда линии тока являются прямыми, ортогональными к контуру области), для У получаем выражение, совпадающее с полученным в работе [13]:

У = -—

R(s) — s + Sq где R(s) - радиус кривизны начального уровня (контура области). Считая теперь У = y(S) известной функцией, проинтегрируем уравнение (23)

^(s) = h(a(s),p(s))V(s) = APi(s) - Ш(24)

где

s g1(S) = e-£ov(s,)dSs',g2(S-) = J ca(sM)e"^=S'v(s')ds'ds", _s а для определения постоянной интегрирования А имеем условие ветвления течения ^(s = spe6pa) = 0 в неизвестных, но определяемых в ходе решения системы (16) точках следа ребра поверхности давления. Решаем исходную задачу следующим образом. Будем интегрировать системы (16) с начальными условиями в точках контура области (известно [14], что угловые точки контура принадлежат следу ребра давлений), представляющего линию начального уровня, с одновременным вычислением двух квадратур J1(s(P)),J2(s(P)). Задавая шаг ДР, будем строить поточечно очередную линию уровня и определять на ней значения J7(s(P)), J2(s(P)). Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не покроем всю область ортогональной сеткой линий уровня и линий тока, определив тем самым след ребра поверхности давлений (как линию стыковок отдельных характеристик) и значения Р1(Р),Р2(Р), т. е. установив кинематику течения. Таким образом, в каждый фиксированный момент времени знаем положение контура дst области течения и нормальную к ней компоненту вектора скорости течения.

V(s q )= ^[AJ i (s q )-J 2 (s q )],

h(sQ)

где

^ 2^(spe6pa⁾

J 1^(spe6pa⁾

—

А =

Это означает, что можно определять форму контура свободно растекающейся области в момент t + dt. Если граница области является пазом, куда свободно затекает металл, то можно установить расход металла Vh и тем самым высоту затекшего в пазы ребра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе метода характеристик решен ряд нестационарных задач пластического течения тонких слоев. Ограничимся лишь решением задачи о течении пластического слоя материала между наклонными плитами в фиксированной круговой области, когда ее граница образована пазами в одном из тел инструмента, куда свободно затекает пластический материал:

s _t = s_Q: x Q + y Q <  R²,h(x, t) = h_Q(t) + a₇(t)x .

Эта задача частично (точнее, лишь относительно силовых характеристик течения) решена в [15]. Новым в нашем решении будет построение кинематики течения. Как известно, все линии тока собираются в одной точке (xp(t),0) и представляют собой эллиптический пучок окружностей; линии уровня изобразятся гиперболическим пучком окружностей. Ребро вырождается в единственную точку:

7^(0— of cOP² - ^ о

^Хр№          ^(t)       '

Интегралы J₁(s(x)), J₂(s(x)) для определения скоростей вдоль известных линий тока берутся точно; для линии тока, исходящей из точки контура М_о(х_о > 0,у_о > 0), они имеют вид:

X                  ______________

^ 1 ⁽ ^ ^{(х)) =} УуХ)'^^ ⁼ у(Х)1 ⁽ ^ о ⁺ « ^x) У ^(x) ^l ⁺И^Х )У ^dx ,

Хо где

У ⁽ х, t ⁾ = y о +

МО + a 1 (t)x о « i ^(t )

_ Х о   Д(М0 + « 1 (t)x о ⁾

У о      МОУ о

_________уо_________

(h о (t) + МОх о )²Д²

■ ⁽ h о ⁽ t) + « 1 (€)Х о У

i

- траектория движения. Тогда

Р(х)—(АМхММх)), при

Х р (0

■

А =

1/(

d^_о(t) dt

Х о

d« l (t)\         I z 2

+ —^Ых)-х11 + (У'(х)) dx■