Использование математической модели для оценки оптимальности параметров строительных конструкций

Предлагается способ экономической оценки параметров несущих железобетонных и других композиционных конструкций.

Рассмотрим однокритериальную многопараметрическую выпуклую целевую функцию стоимости железобетонной конструкции

F(x) = ЕС^,...,^) . (1)

Здесь х_А ... х_п — параметры несущих железобетонных конструкций.

Функция F(x) задана па выпуклом компакте К с Rⁿ со значениями в пространстве вещественных чисел 7? Г т. е.

F(x) :K^R

Задача состоит в нахождении минимума функции Е(т), где хе К.

Имеется достаточно много подходов к решению указанной задачи. Существуют сложные поисковые и оценочные методы [6]. Поисковые универсальнее, но значительно труднее оценочных. Последние позволяют использовать определенные закономерности, характеризующие оптимальные решения. В работах [5; 6] рассматривается оценочный метод проверки оптимальных параметров для строительных конструкций.

Из выпуклой целевой функции выделяются слагаемые, которые с увеличением значения хк возрастают. Обозначим их как F^X]^ . Слагаемые функции, которые с повышением значения х^ убывают, обозначим FCx^), а не меняющие значение с изменением х^ — Рйк.

Оптимальному значению F(x_A) свойственно равенство групп F(x^) и F(,x0 или достаточно малое их отклонение от равенства па допустимую величину с^, обычно принимаемую равной 0,01^ [51.

Р(х_к + с_й) - Р(.х^У,Р(х^ + с0 - Р(х_кУ(2)

Оптимальность решения оценивается коэффициентом экономичности Э, который находится по формуле [5J

Э = Е(х^) / Е(х^)|.         (3)

Оптимальному значению соответствует значение Э = 1. Предлагаемая методика оценки оптимальности решений включает не только вычисление коэффициента экономичности Э, но и учет степе-+          — ни влияния групп FU0 и F

+ "

где m, т — коэффициенты влияния для

+         —

F(x0 и F(x0 ; Дх^ — приращение параметра х_к.

С учетом коэффициентов интенсивно-+    — сти тит формула (3) запишется как

+ - где W W — обобщенные группы.

Величина х^пт находится по формуле

4™ -4к-,к = Х..,п.    (6)

При Э = 1 решение оптимальное, при Э < 1 оптимум достигается увеличением х^, при Э > 1 — уменьшением х^.

Эта методика проста в применении. Недостаток ее состоит том, что для более сложных видов функций поиск экстремумов значительно усложняется. Таким образом, возникает необходимость использования других методов и подходов к поиску оптимальных значений функций.

В современной теории выпуклого программирования [3; 7] разработало множество численных методов для задач оптимизации. Приведем некоторые определения и теоремы из теории выпуклого программирования, которые потребуются в дальнейшем.

Определение 1 [8]. Подмножество К в R” называется выпуклым, если (1 - Л)х + Ху е К для любых хе К, уеКи 0 < X < 1.

Определение 2 [8]. Функцию F(x), определенную на выпуклом множестве К, называют выпуклой, если для любых х, у е К всех Хе [0,1] выполняется неравенство

F(Xx + (1 - Х^ < ХРЫ + (1 - XW. (7)

Если для любого X е [0, 1] неравенство строгое, то функцию F(x) называют строго выпуклой.

Теорема 1 [7]. Для того чтобы точка х₀ была точкой минимума строго выпуклой функции F(x^ во всем пространстве, необходимо и достаточно, чтобы

OedF(xo)           (8)

Здесь 9F(x₀) — субдифференциал функции Fix) [8].

Условие (8) теоремы 1 равносильно системе

^^^^ = 0, * = й. (9)

Составим далее систему дифференциальных уравнений потенциального типа:

^₌ ^ЫР _й=^ ₍₁₀₎ d t          ^^k

Теорема 2 [4]. Если градиент функции F^,..., х_п) обращается в пуль в единственной точке, являющейся оптимальной точкой этой функции, и выполняется неравенство

||gradF(x)|| > a-j > 0 при У -> +™ , то любая интегральная кривая х = х(О системы (10) обладает свойством

х(О ->Xq При ^ —> +оо , т. е. интегральная кривая х = х(О может достигать оптимальной точки за конечное время.

Следствие [4]. Если функция F(x^, ..., х„) достигает в некоторой точке х0 ч (хщ, ..., хп0) минимума и если в достаточно малой ее окрестности градиент этой функции не обращается в пуль нигде, за исключением самой точки, то точка (х^, ..., хп0) будет асимптотически устойчивой.

Таким образом, положение равновесия Xj = Хю, ...,х_п = x„q системы (10) совпадает с точкой минимума, найденной из системы (9).

Из изложенного следует алгоритм экономической оценки параметров несущих железобетонных и других композиционных конструкций:

• 1.    Составляется выпуклая целевая функция относительной стоимости железобетонной конструкции F(x) = = Ffx^ ..., x_n) . допускающая непрерывные частные производные по переменным хр ..., Ху.

• 2.    Составляется алгебраическая система вида (9).

• 3.    Находится решение системы (9), т. е. определяется точка Xq = ^— ( X | Q , ..., X _пq )

• 4.    Составляется система дифференциальных уравнений потенциального типа:

• 5.    Устанавливается асимптотическая устойчивость в целом решений системы (9) относительно х₀ = (х^, ..., х_и0). Если окажется, что х₀ асимптотически устойчиво в целом, то х₀ является оптимальным.

dx, ВР(хА, х )    —

₌--—_дш h = 1, п.

dt          dxk

Тем самым получаем искомое х₀: Р(х₀) — наименьшее (оптимальное) значение функции F(x) = F(x_t, ..., х„)

Примечание 1. Алгоритм допускает упрощение в части первого пункта. В нем можно заменить условие выпуклости условием [1; 4]

||grad F(x)|| > a > 0.

Примечание 2. Данный алгоритм приводит к оптимальному значению F(x) только в том случае, когда решение является неотрицательным, т. е. x.q > 0, / = 1, п. Если же решение системы(9)

окажется xq< 0 (х_;о < 0, / = 1, п) , то заданную задачу следует решать как задачу оптимизации при наличии дополнительных ограничений на переменные х₃\]=Ы [3; 7; 8].

Примечание 3. Преимущество данного алгоритма состоит в том, что не требуется решения системы (10).

Алгоритм значительно упрощается, если правая часть системы (10) допускает линейное приближение. В этом случае для установления асимптотической устойчивости х0, необходимо проверить условия Рауса — Гурвица и воспользоваться теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому линейному приближению [2]. Целевую функцию качества можно упростить так, чтобы система (10) получалась линейной. Оценка погрешности при этом определяется в соответствии с формулами, полученными в работе [9].

При расчете экономической оценки параметров железобетонных и различных композиционных конструкций нередко функция стоимости F(xj, ..., х_п) зависит от достаточно большого количества независимых переменных, поэтому система (9) практически неразрешима. Решим эту задачу в предположении, что функция F(x) допускает представление

Fto = №°)+ 24 щ-4)Л+- ■ к=л& L ^а*1

F(x°),

(И)

где х = (хь ..., х„) , х° = (х?, .... х°) - начальная точка.

Система (9) в этом случае примет вид уравнений, левые части которых имеют степенные ряды. Для того чтобы разрешить ее, ограничимся в разложении (11) членами второго порядка. Тогда она будет системой п линейных уравнений с п неизвестными.

Функцию с ограниченным числом членов ряда обозначим как Ф(хь ..., хп)

Тогда

ФСг ।,..., х_п) = F(x°) +

(^ - х?) -Д- + • ■ ■ dJtj

Следовательно, если нулевое решение системы (15) асимптотически устойчиво, то точка х₀ = Ст₁₀, ..., х„₀) является точкой минимума.

Чтобы выполнялось условие (16) теоремы 3, необходимо и достаточно проверить выполнимость критерия Рауса — Гурвица [2], т. е. справедливость неравенств

С учетом всех числовых коэффициентов перепишем выражение (12) в виде

п

ФОф ..., х„) = а_й + 26^ + i=i

+ ^CyX^j.        (13)

ij=^

Если симметрическая матрица С = [c_i;] будет строго определенно-положительной [7], то функция (13) с ограниченным числом членов ряда будет также строго выпуклой.

Исследуем систему (10) па устойчивость. В нашем случае это линейная неоднородная система с постоянной матрицей. Запишем ее как

— = Ах + В. (14) at где А = [«у ] — постоянная пхп матрица, х = colon (xt, ..., хп\ В = colon (йр йп), bj = const, i = 1, п

Путем замены

^к — ^к + ^к0' ^ ^ й

(здесь х_к — новые функции) перейдем к однородной системе

^ = Ах.         (15)

Теорема 3 [2]. Линейная однородная дифференциальная система (15) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни Л_;=Я₇(Л) матрицы А имеют отрицательные вещественные части:

Re Лу (А) < 0, / = 1Гй. (16)

Й1 й0 0 д2 - й3 й2 Й1 >0,..., й5 й6 й3 (17) a-i   Qq   0    0   0    0

^3  ^й2  ^Й1  ^йо  0   0

й₅  а₄  йз  ^2  ^Д1  ^й0

Согласно изложенному алгоритму найдем оптимальные параметры монолитного железобетонного перекрытия. За критерий оптимальности примем относительную стоимость перекрытия, описываемую формулой

Р(х^х₂,х_г) = х₁ + х₂ + х₃ +-------. (18)

^2^3

где F — относительная стоимость перекрытия; х^ — высота сечения плиты; х₂ — высота сечения второстепенной балки; х₃ — высота сечения ригеля.

х° = (1,41; 0,84; 1) — начальная точка.

FСс), х₂, х₃ ) = 4,094 + 0,40 К^ -1,41) -

- 0,005(х₂ - 0,84) + 0,156(^3 -1) +

+ |о,849а1 -1,41)2 +0,713^ -1,41)х х (х2 - 0,84) + 0,599(xt - 1,41)(д3 -1) + +12,393(^2 - 0,84)2 + 1,005(^2 - 0,84) х

х(х3-1) + ^1,689(х3-I)2 + ... (19)

Функция Ф(лф.Х2,^з) имеет вид

Ф (xi,x2,x3) = 8,444-1,994X1 -4,025^2 -- З,222х3 + 0,425xf + 1,197х| + + 0,846х3 + 0,713Х]Х2 + O,599xix3 + + 1,005x2X3.           (20)

Докажем выпуклость функции (20).

Рассмотрим квадратичную форму

С = 0,425х² + 1,197^ + 0,846х₃ + + 0,713xjX₂ + ОДЭЭх^з + 1,005х₂х₃. (21)

Ее матрица имеет вид
"0,425 0,356 0,299) 0,356 1,197 0,502	(22)

0,299 0,502 0,846

Эта матрица положительно определенная, так как Aj > 0, Д2 > 0, Д3 > 0 (критерий Сильвестра [2]). Следовательно, квадратичная форма (21) выпукла и выпукла функция (20).

---— 0,849x1 + 0,713х2 +

+ 0,599хз -1,994 = О,

ЭФ

— = 0,71 Зх|+2,393X2 +         (23)

и^2

+ 1,005х3 -4,025 = О,

ЭФ

— = 0,599х! + 1,005х₂ +

Эх3

+ 1,689x3 -3,222 =0.

Решением системы (23) является точка х0 = (0,765; 1,022; 1,028).

= -0,849xi -0,713x2 -dt

-0,599хз+1,994,

^ = -0,713xt - 2,393x2 "        (24)

- 1,005х3 + 4,025,

= -0,599x1 - 1,005х2 - dt              1           "

Путем замены

Xj = X) + 0,765, х2 = х2 + 1,002, х3 = х3 +1,028

преобразуем систему (24) к виду

=-0,849X1 -0,713x2 -0,599х₃, dt

= -0,713^ -2,393х₂ -1,005х₃, (26) dt

^ = -0,599xi - 1,005х2 - 1,689х3.

dt                                3

Исследуем нулевое решение системы (26) на асимптотическую устойчивость. Проверим условие Рауса — Гурвица. Если оно выполняется, то решение Xi = х2 = х3 = 0 асимптотически устойчиво, а значит, точка xt = 0,765, х2 = 1,022, х3 = 1,028 асимптотически устойчива и является точкой минимума функции (18) [2].

Составим характеристическое уравнение для системы (26):

Л3 + 4,9Л2 + 5,5Л + 1,7 = 0.

Следовательно, матрица Гурвица имеет вид

4,9 1,7 0

5,5 0

Д2 -

4,9

1,7

О

4,9 , Д, = 4,9 > 0, V

1 >0, Д3=1,7Д

5,5        3

Условия Гурвица выполнены, значит, X! = 0,765, х2 = 1,022, х3 = 1,025 является точкой минимума.

- 1,689х3 + 3,222.