Использование метода гармонического баланса во временной области для исследования колебаний систем со многими степенями свободы и сухим трением

Известно, что трение - основная причина потери энергии механической системы. Силы трения иногда эффективно использовались как демпфирование для уменьшения колебания механических систем. Сила сухого трения является нелинейной, поэтому можно говорить, что механическая система с сухим трением также является нелинейной. Имеется много работ по исследованию колебаний механических систем с трением. В данной статье применен метод гармонического баланса во временной области для анализа колебаний систем с сухим трением.

Рис. 1. Система пружинного маятника с N степенями свободы

Расcмотрим механическую систему с N степенями свободы и N Д фрикционно-демпферных элементов (ФДЭ), N_Д< N, рис.1. В общем случае можно считать, что N_Д фрикционных демпферов (ФД) соединяются на N Д последних степенях свободы . Динамическое уравнение системы в сочетании с методом конечных элементов (МКЭ) будет иметь вид:

[M] {х}+[C] {х}+[K] {х}+{fтр }={P(t)}, (1) где [M], [C], [K] - глобальные матрицы масс, вязкого демпфирования и жесткости, {х}, {х}, {х} - глобаль- ные векторы узловых ускорений, скоростей и перемещений,

– глобальный вектор внешней динамической на-

{ P(t) } =‘ i p Cj oo(( qtot) + PS’^j q = 0

грузки, j – степень свободы, q –гармоника внешней динамической нагрузки, {fтр} – глобальный вектор силы трения.

Н_Р (t) = K ДД . z ^J( t ) =

X ^J ( t ) - X^J max + Z Д    при 0 <  to t <  a

-

K Д ^

ZД

x^J( t ) + X^j

7. j

I Z Д

max

-

при a <  to t < n

Z Д  при n < tot < n + a при n + a < tot < 2п,

где K_Д^j – жесткость ФДЭ j-го, F_Д^j – сила трения ФДЭ j-го, и Z

J = ¹ - ^NД .

^j Z

j.

rot ma

D

-Z

C dzj

ro t

2 ro t

Рис. 2. Соотношение z^J, x^J, ro t для одного периода ro t e [0,2 п ]

В соответствии с методом гармонического баланса (ГБ) предположим, что значения смещения маятники и силы трения имеют вид [1, 2, 3, 4],

N h

XL NM

{ x } =< —o + Z [ X C^,j .cos(n to t) + XS’¹ sin(n to t) ]> ,

fmp }= * FT+ Z FC’j cos(ntot) + F’j sin(ntot)\ •,

N h

где N_h - количество гармоник смещения маятника (всегда N_h > Q_h ), n - гармоника перемещения. Подставляя (3) и (4) в уравнение (1), получим,

—

N h                                                            "I

[ M ] | Z [ XC’ ( n to ) ² cos( n to t) + x ns ^,j ( n to ) ² sin( n to t) ]> ^ n = 1

[ C ] “ Z [ - X ^C’^ n to sin( n to t) + X S’-^j n to cos( n to t) ] ^ n = 1

+

+

[ K } ) XL- + 2

Z [ X C’j cos(n to t) + X S^,j sin(n to t) ]> n = 1

+

Z F nC’j cos( n to t) + F_n^S’^j sin( n to t) ]• =

Fj (-° - + I ²      n . 1

Q h [ P qC'^j Cos(q ® .) + P q^S’

. q = 0

Использовав принцип гармонического баланса, имеем

sin( q to t) ] • .

• -    для множителя cos(nat) при n =1^N h ,

  - [ м ] { \ n (n ® ) ² + [ с ] X n J n _ra + [ к ] { \ n } + F n } = / n } .

• -    для множителя sin(not) при n =1^N h :

  - [ M ] X n (n ® ) ² - [ C ] { \ n j n ® + [ K ] { \ n } + { f/ } = / } .

[к ]{\\p+^2р I'"},

где ^p n^C } = { 0 } - j / n ^}= { 0 } ^п Р ^{И n} >  Q h ^-

Можно записать выражения (6), (7), (8) в другом виде

" [ к ]     0     . 0    [П] 2 ...         ...        . ...         ...        .	..        о - ..                  .	I х” } . X с } ...	r+i	It V* } { fC } Г1 ......	r = i	i 2 PoC }' pc } ...
[ 0        ...     .	..  [П] N h + 1 -	... I x n . } |		...... ;( [ FN , })		... s

( n=1÷N h ),

где

И n + 1 =

[K ]-[M (no ) 2 [с ]n®

-[C ] no    [K ]-[M (no ) 2

f C } = { 0 } , f ^ } = { 0 } при j <  (N- N д ), ( n=1^N h ).

или в сокращенном виде (9)

И X } + { F_mp } = { P } .

У системы уравнений (10) есть N(2.N h +1) уравнений. Из них N Д (2N h +1) уравнений являются нелинейными (в уравнениях имеется часть от силы трения) и ( N-N Д ).(2N h +1) являются линейными (в уравнениях не имеется часть от силы трения). Для уменьшения затрат вычисления, мы делим (10) на две части

[1, 2, 3, 4], линейную и нелинейную и перепишем (10):

_[п]ц № 1|{X}(1)1 I{0} JjM _[n]21 [n]22 _ {X }(\)V^mp }J !p\)|.

где индекс “(1)” изображает линейную часть, а “(2)” – нелинейную часть.

Из (11) следует

( [ п ] \2 - [ п ] \1 [ n ] - ¹ [ nh) X ^}( 2 ) + { F mp } = { Р ^}( \ ) - [ п ] \1 [ п ] - 1 ¹ { Р ^}( 1 ) ,

{ x }_{( 1 1} = [ n ] - ; ( { p }₀ , - [ n ], 2 { x } , 2 ) ) .                                      (i ² )

Представим

[ п ] ® = [ п ] 22 - [ п ] 21 [ п ] - ; [ n ], 2 ,

{ P } ® = { Р } ( 2 ) - [ п ] 21 [ п ] Г 1 ¹ { Р } ( 1 ) -

Перепишем (13)

[п]®{X}(2) + {Fmp }={Р}® -                                   (13)

Система уравнений (13) имеет количество уравнений, равное количеству нелинейных уравнений N_Д(2N_h+1) . Из решения (13) получим N_Д(2N_h+1) значений { X } , ₂ ) , а использование уравнения (12) даст ( N-N_Д). (2N_h+1) значений { X } , 1 ) .

Известно, что система уравнений (12) является линейной и ее можно легко решить. Однако система уравнений (13) является нелинейной, и нельзя просто найти корни решения. В данной работе мы используем метод гармонического баланса во временной области (ГБВО).

Система уравнений (13) имеет N Д (2N h +1) уравнений с 2 N Д (2N h +1) неизвестными значениями: X_o^j,X_n^C,j,X_n^S,j,F_o^j,F_n^C,j,F_n^S,j ( n=1÷N h ,j=1÷N Д ) . Необходимо дополнить её N Д .(2.N h +1) соотношениями.

В соответствии с приципом разложения функций в ряд Фурье имеем

FO =    fTp (9 )d9, п о

F C^d = ~Т f Tp ( 9 )cos(n 9 )d 9 ,    (n = 1 ^ N h ,j = 1 ^ N д )                 ⁽¹⁴⁾

^п о

X = ~Т fTp (9)sin(n9)d9, п о где 9 tot. Подставляя (2) в (14), получим:

j      j    j C,j    S,j       C,j S,j

Fo = Fo (Xo,X 1  ,X 1  ,...,XNh ,XNh)

^{C,j C,j j   C,j S,j     C,j   S,j}        ( n=1÷N , j=1÷N ),

Fn     Fn   ( X o , X 1  ,X 1  ,...,X Nh ,XNh ),                 J

S,j S,j j    C,j    S,j       C,jS,j

Fn     Fn  ( X o , X 1  ,X 1  ,...,XNl ,XNl), hh с NД(2Nh+1) дополнительных соотношений. Система 2NД(2Nh+1) данных уравнений является независимой и может быть решена методом Ньютона. Для решения уравнения (13) методом Ньютона обозначим [1, 2, 8],

{ F(X > [ПН X } ( 2 ) + { F_m p } - { Pf ,                            (15)

Согласно методу Ньютона, итерационная последовательность строится с помощью рекуррентного соотношения [1, 2, 8]

^{ X ^} g + 1 = ^{ X ^} g —^[ J ^] g ^{1 { f ({} X ^} g )} ,                                         ⁽¹⁶⁾

где g - вычисленный шаг, [ J ] _g - матрица Якоби g -го шага [2]

d F 1 d F 1                 d F 1

...

d X 1 d X ₂            d X n д ( 2 N_k + 1 )

.                     (17)

⁵ F N д ( 2 N_h + 1 ) ^d F N д ( 2 N h + 1 ) ^d F N д ( 2 N h + 1 ) ...

a X 1           a X 2       a X n д ( 2 N h + 1 ) J_{ X _}

По выражению (16), (17), на каждом вычисленном шаге нам надо заново вычислять матрицу Якоби. Этот требует временных затрат при работе на компьютере. Для уменьшения этих затрат, мы можем использовать метод Бройдена [1, 2, 8]. По методу Бройдена, итерационная последовательность строится с помощью рекуррентного соотношения

d^{ F ^}

^[ J ^{] g =d {} X ^}{ X >

g

{X }g +1 ={X }g -[A lg{F ({X }g )},

где

] _ы ₊ ^{{ F ({} X ^} g ^{)}-{ F ({} X ^} g - 1 ^)}-[ A ¹ g - 1 ^{{A X }} T_V

1 g   [ 1 g-1                 {AX}T.{AX}              { } ,

{AX }={X}g —{X}g—1.

Таким образом, получена итерационная формула (19), позволяющая по некоторой первоначально заданной матрице [A]o построить последовательность матриц [A]g . На каждом шаге метода Бройдена проводятся следующие вычисления:

• 1.    Определяется новое приближение { X } _{g + 1} по выражению (18).

• 2.    Определяется матрица [ A ] _{g + 1} по выражению (19).

Алгоритм содержит неопределенность в выборе начального приближения [ A ] _o . На практике для обеспечения начала итерационного процесса здесь один раз можно использовать конечные разности для аппроксимации матрицы Якоби [ J ] _o , положив в начале [ A 1 o = [ J l o .

На рисунке 3 приведена блок-схема алгоритма решения системы уравнения (17) методом ГБВО.

Для иллюстрации метода выполним расчет системы пружинного маятника с четырьмя степенями свободы. Такой выбор сделан потому, что для этой системы можно легко проверить правильность реше- ния, поскольку метод является обобщенным и его можно употреблять для систем с многими степенями свободы по МКЭ.

Рис.3. Блок-схема алгоритма решения системы уравнения (13) методом ГБВО: ({б(0)} — значения погрешности, g - вычисленный шаг, n - гармоники)

Параметры системы: к 1 , к₂, к₃, k₄, m 1 , m₂, m 3 , m₄, c 1 , c₂, c₃, c₄, к Д ,k Д ,F Д ,F Д (ФД на третьей и четвёртой степенях свободы). Зададим параметры [5, 9], m_j=0,05 /кг/, k_j=15000 /Н/м/, к j =40000 /Н/м/, F ^ = 30 /Н/, C j =7700 /Нсек/м/, jH4,o> 530 /рад/сек/; Собственные частоты равны: 190.2, 547.7, 839.2, 1029.4 (рад/сек).

Результаты :

• 1.    Метода Ньюмарка (6 периодов)

  2. Метода ГБВО с десятью гармониками

  
  
  

  Рис.5. Результаты метода ГБВО

  
  
  

Рис.4. Перемещение маятника 3 /м/ (а) и силы трения (б)

Выводы:

• 1.    Наши расчеты показали, что результаты трех методов почти совпадают. Это подтверждает точность метода ГБВО и программы, созданной авторами.

• 2.    Использование метода ГБВО позволяет быстро анализировать колебания системы в устойчивом режиме.

• 3.    Использование процедуры Бройдена приводит к значительному уменьшению количества вычислений. Это очень эффективный и полезный метод для систем с многими степенями свободы, который сочетается с МКЭ. Однако скорость сходимости у этого метода, как и у любого метода секущих, несколько ниже, чем у метода Ньютона.

• 4.    Метод, построенный на примере этой работы, является обобщенным, его можно употреблять в любой системе с многими степенями свободы в сочетании с МКЭ. Этот метод также можно применять для решения любых нелинейных систем с периодическими вынужденными силами (например, лопаток газотурбинных двигателей с фрикционными демпферами).