Использование методов интервального анализа применительно к численному решению соду с неточными параметрами

В связи с развитием таких направлений науки и техники, как механика, теплотехника, математическая химия, самолетостроение, возникла потребность не только вычисления приближенных решений различных задач, но и гарантированная оценка их близости к точным решениям. Вследствие этого, возрос интерес к интервальному анализу и вопросам двухсторонних оценок, как к возможным средствам оценки погрешностей. Интервальный анализ появился сравнительно недавно как метод автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ. Впоследствии он превратился в один из разделов вычислительной математики, учитывающий также ошибки дискретизации численных методов, ошибки в начальных данных и т.п. Основная идея интервального анализа состоит в замене арифметических операций и вещественных функций над вещественными значениями на интервальные операции и функции, преобразующие интервалы, содержащие эти значения [1, 2].

Помимо интервальных методов моделирования погрешности существуют статические [4], стохастические и иные [3] методы. Однако, несмотря на даваемое в целом неплохое качественное представление о поведении ошибки, они не дают гарантированных оценок для конкретных приближенных решений.

Однако, интервальные методы имеют некоторые проблемы, связанные с интервальной арифметикой в целом [1, 5, 7]:

• 1.    Проблема расширения интервала при повторном включении переменной в расчет;

• 2.    Эффект Мура, он же «эффект обертывания»;

• 3.    Невозможность точного описания сложных по форме многоразмерных множеств.

При анализе существующих статей по теме численного решения ОДУ с интервальными коэффициентами (в дальнейшем, ИОДУ) было обнаружено, что возможна реализация методов интервального анализа существующими языками  программирования, что неоднократно осуществлялось различными исследователями. Обзор существующих библиотек приведен в докладе [8]. В нем указаны 5 библиотек, реализующих методы с использованием разложения Тейлора с различными модификациями:

• 1.    AWA – библиотека для решения ИОДУ, разработанная Р. Лонером;

• 2.    ADIODES – реализация С++ решателя ИОДУ;

• 3.    COSY INFINITY – библиотека, реализованная на языка Fortran и предназначенная для проектирования и изучения систем лазерной физики;

• 4.    VNODE – библиотека, реализованная на языке С++ для решения ИОДУ;

• 5.    VSPODE – модификация библиотеки VNODE для улучшения точности решения.

Обзор методов интервального анализа

Многие методы интервального анализа были получены еще в прошлом веке. Однако, они имеют различные проблемы, препятствующие их широкому использованию. Несколько статей с описанием улучшений методов интервального анализа описаны ниже.

В статье [6] рассматриваются модификации методов на основе рядов Тейлора, позволяющие многократно снизить влияние эффекта обертывания увеличение радиуса интервала решения применительно к некоторым нелинейным системам – модели Лотки-Вольтерра, осциллятора Ван дер Поля и нелинейного консервативного осциллятора. Достигнуто это было за счет потери части решения. Обоснованием подобного подхода случит тот факт, что при изначально равномерном распределении весовой функции нечеткого числа, в итоге получается распределение схожее с распределением Гаусса - крайние области решения на промежуточном шаге имеют очень малое значение весовой функции и низкое влияние на решение на следующем шаге. В результате при применении данных модификаций к модели Лотки –Вольтерра удалось снизить эффект обертывания до 21% при потере всего 1% области решения.

В статье [7] рассматривается способ минимизации эффекта обертывания. Автору удалось показать эффективность и, что наиболее важно, стабильность метода на примере линейной колебательной системы. В результате расчетов, система сохраняла стабильность в течении 60 подходов, в то время как классический вариант модифицированного метода расходится уже на первом подходе.

Также стоит отметить исследования [9, 10, 11] на тему применения методов интервального анализа при расчете негомогенной линейной системы ИОДУ (в дальнейшем - ИСОДУ), где авторам удалось успешно получить решение негомогенной линейной ИСОДУ и продемонстрировать применение своих результатов к реальным физическим моделям.

Пример практического применения методов интервального анализа показан в статье [12]. В данной публикации рассматривается новая модель жертва-хищник, при условии неточной природы биологических параметров. Авторам статьи удалось получить условие устойчивости при неточности коэффициентов. Помимо этого, в статье рассматривается вопрос оптимальной политики сбора урожая и находится оптимальное решение при неточных биологических параметрах.

Другой пример практического применения ИСОДУ показан в статье [13]. В этой публикации исследователями была разработана модель производства продуктов питания с технологией хранения и кредитным спросом в условиях риска неисполнения капитала в условиях неопределенности, получено решение этой модели с помощью интервальных методов и проведен анализ возможных путей оптимизации прибыли в рамках данной экономической модели.

История развития объекта поиска. Основные тенденции развития

Интервальная арифметика не является совершенно новым явлением в математике; в истории она несколько раз появлялась под разными именами. Например, Архимед в III веке до н. э.. рассчитал нижнюю и верхнюю границы для числа π.

Хотя вычисления с интервалами не были столь же популярны, как другие численные методы, но они не были полностью забыты.

Новая история интервальных вычислений начинается в 1931 году с работы Розалинды Сесили Янг, где были приведены правила вычисления с интервалами и другими подмножествами вещественных чисел. В 1951 году появился учебник Пола С. Дуайера по линейной алгебре, в нём эта тема рассматривалась с точки зрения повышения надёжности цифровых систем — интервалы использовались для оценки ошибок округления, связанных с числами с плавающей запятой. В 1958 году Теруо Сунага опубликовал подробный доклад о применении интервальной алгебре в численном анализе.

Во второй половине XX века потребности компьютерных вычислений вызвали бурное развитие интервального анализа практически одновременно и независимо в Советском Союзе, США, Японии и Польше. В 1966 году появилась книга американского математика Рамона Мура «Интервальный анализ». Достоинство этой работы заключалось в том, что, начиная с простого принципа, он предоставлял общий метод для автоматического анализа ошибок, причём не только ошибок, возникающих в результате округления.

В последующие два десятилетия важные исследования по интервальному анализу и его приложениям велись в Германии — Карлом

Никелем и его учениками в Университете Фрайбурга, в группах Ульриха Кулиша и Гётца Алефельда в Университете Карлсруэ, и других.

В 1988 году Рудольф Лонер разработал программное обеспечение на основе языка Фортран для решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В начале 2000-х годов были созданы библиотеки VNODE и VSPODE для получения численного решения задачи Коши для ИОДУ и ИСОДУ.

В России и СССР интервальной тематикой активно занимался с 1920х годов В. М. Брадис. В 1962 году один из первых выпусков «Сибирского математического журнала» опубликовал статью Леонида Витальевича Канторовича, который, фактически, наметил основы интервального анализа в частично упорядоченных пространствах и приложения новой техники. В его статье эта тематика была обозначена как приоритетная для нашей вычислительной науки. В послевоенный период одной из первых стала книга Ю. И. Шокина «Интервальный анализ». В следующем году появилось учебное пособие Т.И. Назаренко и Л.В. Марченко «Введение в интервальные методы вычислительной математики», а в 1986 году — монография С. А. Калмыкова, Ю. И. Шокина и З. Х. Юлдашева «Методы интервального анализа».

Существующие перспективные современные разработки

В конце введения текущей работы были приведены современные прикладные разработки численного решения ИСОДУ. Наиболее современными разработкой являются библиотеки VNODE [15] и VSPODE [14], написанные на языке С++. Рассмотрим данные разработки поподробнее.

Для начала стоит отметить, что все указанные библиотеки используют метод интервальных рядов Тейлора, каждый шаг которого состоит из двух этапов: получение величины следующего шага и первоначальной, грубой оценки интервала на следующем шаге; уточнение решения и получения максимально точного интервала, гарантированного содержащего решение задачи.

Библиотека VNODE (Validated Numerical ODE) – это объектноориентированная библиотека, реализованная на языке С++ и использующая метод постоянного приближения высокого порядка в качестве алгоритма для этапа 1 и интервальный метод Эрмита-Обрешкова в качестве алгоритма для этапа 2. Библиотека VNODE может использовать интервальные параметры и интервальные начальные условия в качестве входных данных. Одним из недостатков библиотеки VNODE является то, что при использовании интервальных параметров в системе ОДУ, результаты метода довольно часто начинают сильно расходиться уже на ранних шагах, что не позволяет получить корректное решение на заданном отрезке.

Библиотека VSPODE (Validating Solver for Parametric ODEs) – это библиотека, написанная на языке С++ и являющаяся своеобразным расширением библиотеки VNODE для более эффективного расчета задач Коши с интервальными параметрами. В качестве алгоритма для этапа 1 используется метод постоянного приближения высоко порядка. В качестве алгоритма для этапа 2 используются интервальные ряды Тейлора, для которых предварительно выполняются определенные преобразования над интервальными параметрами, что позволяет значительно снизить эффект обертывания и получать более адекватные результаты для параметрических ОДУ.

Заключение

В результате данной обзорной статьи были сделаны следующие выводы:

• 1.    Использование методов интервального анализа оправдано при моделировании задач с неточными параметрами.

• 2.    Методы интервального анализа в отличие от иных методов оценки ошибки вычисления дают гарантированные решения для конкретных приближенных значений.

• 3.    Методы интервального анализа для решения ОДУ с интервальными коэффициентами активно используются в современной науке, несмотря на весьма значительные проблемы с малым количеством исследований по данным методам, по определению величины шага, поведения методов решения задачи Коши для различных нелинейных ИСОДУ.

Таким образом, данное направление исследований является перспективным, несмотря на некоторые проблемы в данной области.