Использование определенного интеграла для вычисления экономической прибыли

Тесная взаимосвязь между такими науками, как математика и экономика, существует довольно давно. Ведь ведение хозяйства подразумевает множество математических исследований. С помощью построения математических моделей производятся расчеты в различных компаниях и на предприятиях, но обычно это происходит с точки зрения программирования. Поэтому практическое применение определенного интеграла для решения экономических задач представляется в виде необходимых материалов для учащихся средних и высших учебных учреждений.

Обычно изучение приложения определенного интеграла ограничивается вычислением потребительского излишка, излишка производителей и решением простейших экономических задач. Однако мы рассмотрим вычисление экономической прибыли с помощью таких показателей, как валовой доход и валовые издержки, для этого введем следующие экономические понятия и обозначения:

P (price) - цена товара, который выпускается фирмой.

Q (quantity) - объем товара, который выпускается производителем.

TR (total revenue) – совокупная доход; денежная сумма, уплаченная покупателями и полученная продавцами товара, рассчитываемая как произведение цены товара и количество проданного товара.

TC (total cost) – совокупные издержки; сумма денег, направляемых фирмой на приобретение производственных ресурсов.

Прибыль любой фирмы представляет собой разницу между совокупными доходами и совокупными издержками фирмы. Она обозначается P (profit):

P= TR- TC

Рассмотрим прибыль фирмы на конкурентном рынке, которая в долгосрочном периоде равна нулю (нулевая прибыль конкурентной фирмы называется нормальной). То есть TR- TC=0.

Пусть функции TR и TC заданы уравнениями:

TR=52Q - 2Q2

TC=Q2 - 8Q = 120

TR=-Q^2+8Q-13

TC=Q^2-8Q+17

Диаграмма 1.

На диаграмме 1 представлены графики функций TR и TC, выражающие зависимость цены товара от количества произведенной продукции. При помощи интегрирования вычислим значение прибыли фирмы. Для этого необходимо найти площадь пересечения графиков заданных функций, то есть разницу между определёнными интегралами TR и TC. Пределами интегрирования являются значения Q=3 и Q=5, так как при этих объемах продукции выполняется равенство TR-TC=0.

P=$5(-Qa2 + 8Q — 13)dQ - ^(Q2 - 8Q + 17)dQ = - 2 //(Q2 - 8Q + = -2(^3 - 4Q2 + 15Q)31=-2 (1|5 - 100 + 75 - 9 + 36 — 45) = -2(1|5-4з)=8

Таким образом, мы вычислили экономическую прибыль фирмы на конкурентном рынке с помощью определенного интеграла. Задачи подобного типа несут междисциплинарный характер, так как способствуют освоению материала в области микроэкономики и математического анализа.