Исследование динамики трехмерных поровязкоупругих призматических тел и полупространства методом граничных элементов
Автор: Ипатов А.А., Белов А.А., Литвинчук С.Ю.
Статья в выпуске: 4, 2016 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается динамическое поведение пороупругих и поровязкоупругих тел. Поровязкоупругая постановка опирается на полную модель насыщенной пороупругой среды Био. Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды, состоящей из упругого скелета с порами и наполнителя. Для описания вязкоупругих свойств упругого скелета используются классические модели вязкоупругости, такие как Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела и модель со слабосингулярным ядром типа Абеля. Использованы система дифференциальных уравнений для полной модели Био в преобразованиях Лапласа и принцип соответствия упругой и вязкоупругой реакции. Решение исходной задачи получается в пространстве Лапласа, с последующим применением алгоритма численного обращения интегрального преобразования. Для получения решения в изображениях по Лапласу записывается система граничных интегральных уравнений (ГИУ) прямого подхода. Рассматриваются регуляризованные ГИУ и вводится согласованная гранично-элементная дискретизация для получения дискретных аналогов. Применяется иерархический алгоритм интегрирования совместно с квадратурами Гаусса для поэлементного интегрирования по круговой частоте. Численное обращение преобразования Лапласа реализовано на основе модифицированного алгоритма Дурбина с переменным шагом интегрирования. Верификация описанной численной схемы проводится путем сравнения с аналитическим решением. Рассматриваются однородные поровязкоупругие призматические тела и полупространства. Представлены результаты численных экспериментов. Получены решения задачи о действии осевой силы на торец призматического тела и действии вертикальной силы на поверхность полупространства. Исследуется влияние параметра вязкости материала на динамические отклики перемещений и порового давления. Проводится моделирование поверхностных волн при различной вязкости материала.
Трехмерные краевые задачи, метод граничных элементов, классические модели вязкоупругости, пороупругость, поровязкоупругость, полупространство, обращение преобразования лапласа
Короткий адрес: https://sciup.org/146211644
IDR: 146211644 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.14
Numerical analysis of poroviscoelastic prismatic solids and halfspaces dynamics via boundary element method
Dynamic behavior of poroelastic and poroviscoelastic solids is considered. Poroviscoelastic formulation is based on Biot’s model of fully saturated poroelastic media. The elastic-viscoelastic correspondence principle is applied to describe viscoelastic properties of elastic skeleton. Viscoelastic constitutive equations are introduced. Classical viscoelastic models are used, such as Kelvin-Voigt, Standard linear solid and model with weakly singular kernel of Abel type. Differential equation system of full Biot’s model in Laplace transform and formulas for elastic modules are given. Original problem’s solution is built in Laplace transform and numerical inversion is used to obtain the solution in time domain. Direct boundary integral equation (BIE) system is introduced. Regularized BIE system is considered. Mixed boundary element discretization is introduced to obtain discrete analogues. Gaussian quadrature and hierarchic integrating algorithm are used for integration over the boundary elements. Numerical inversion of Laplace transform is done by means of modified Durbin’s algorithm with a variable integrating step. The described numerical scheme is verified by a comparison with analytical solution in a one-dimensional case. Isotropic poroviscoelastic solids and halfspaces are considered. Results of numerical experiments are presented. Problems of axial force acting on the end of prismatic solid and vertical force acting on a halfspace are solved. Viscous parameter influence on dynamic responses of displacements and pore pressure are studied. Surface waves on poroviscoelastic halfspace are modelled with the help of boundary element method.
Список литературы Исследование динамики трехмерных поровязкоупругих призматических тел и полупространства методом граничных элементов
- Frenkel J. On the theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil//Journal of Physics, -1944. -Vol. 8. -P. 230-241.
- Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation//J. Appl. Phys. -1941. -Vol. 12 (2). -P. 155-164.
- Biot M.A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid//J. Appl. Phys. -1956. -Vol. 27 (5). -P. 459-467.
- Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid//J. Appl. Phys. -1955. -Vol. 26 (2). -P. 182-185.
- Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. Berlin Springer, 2001. -170 p.
- Schanz M. Poroelastodynamics: Linear models, analytical solutions, and numerical methods//Appl. Mech. Rev. -2009. -Vol. 62 (3), -15 p DOI: 10.1115/1.3090831
- Boer R. de. Highlights in the Historical Development of the Porous Media Theory: Toward a Consistent Macroscopic Theory'//Appl. Mech. Rev. -1996. -Vol. 49(4). -P. 201-262.
- Nikolaevskiy V.N. Biot-Frenkel Poromechanics in Russia (Review)//J. Eng. Mech. -2005. -Vol. 131 (9). -P. 888-897.
- Garg S.K., Nayfeh A.H., Good A.J. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media//J Appl Phys. -1974. -Vol. 45. -P. 1968-1974.
- Simon B.R., Zienkiewicz O.C., Paul D.K. An analytical solution for the transient response of saturated porous elastic solids//Int J Num Anal Meth Geomech. -1984. -Vol. 8. -P. 381-398.
- Schanz M., Cheng A. H.-D.,Transient Wave Propagation in a One-Dimensional Poroelastic Column//Acta Mech. -2000. -Vol. 145. -P. 1-8.
- Boer R. de., Wolfqang E., Liu Z.F. One-dimensional transient wave propagation in fluid-saturated incompressible porous media//Arch. Appl. Mech. -1993. -Vol. 63. -P. 59-72.
- Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. -М.: Мир, 1974. -338 с.
- Wilson R.K., Aifantis E.C. On the Theory of Consolidation With Double Porosity//Int. J. Eng. Sci. -1982. -Vol. 20. -P. 1009-1035.
- Vgenopoulou I. Beskos D.E., Dynamic Behavior of Saturated Poroviscoelastic Media//Acta Mech. -1992. -Vol. 95. -P. 185-195.
- Schanz M., Cheng A. H.-D. Dynamic Analysis of a One-Dimensional Poroviscoelastic Column//J. Appl. Mech. -2001. -Vol. 68. -P. 192-198 DOI: 10.1115/1.1349416#
- Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part I//J. Math. Anal., Applic. -1968. -Vol. 22. -P. 244-259.
- Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part II//J. Math. Anal, Applic. -1968. -Vol. 22 (2). -P. 341-355.
- Mansur W.J., Brebbia C.A. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping Technique//In Boundary Elements. -Berlin: Springer-Verla, 1983. -P. 677-698.
- Beskos D.E. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis//Appl. Mech. Rev. -1987. -Vol. 40 (1). -P. 1-23.
- Beskos D.E. Boundary element methods in dynamic analysis: Part II 1986-1996//Appl. Mech. Rev. -1997. -Vol. 50(3). -P. 149-197.
- Игумнов Л.А., Петров А.Н., Ипатов А.А. Сравнение численного построения оригинала решения одномерной пороупругой задачи на основе шагового метода и метода Дурбина//Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. -Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, -2013. -Вып. 75 (4). -С. 273-279.
- Игумнов Л.А., Ипатов А.А., Сабаева Т.А. Влияние вязкости на динамический отклик в вязкоупругих и поровязкоупругих телах//Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. -Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. -2014. -Вып. 76 (2). -С. 106-113.
- Igumnov L.A., Litvinchuk S.Y., Petrov A.N., Belov A.A. Boundary-element modeling of 3-D poroelastic half-space dynamics//Advanced Materials Research -2014. -Vol. 1040. -P. 881-885.
- Numerical-analytic investigation of the dynamics of viscoelastic and porous elastic bodies/L.A. Igumnov, A.V. Amenitskii, A.A. Belov, S.Y. Litvinchuk, A.N. Petrov//Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. -2014. -Vol. 55 (1). -P. 89-94.
- Nardini D., Brebbia C.A. A New Approach to Free Vibration Analysis Using Boundary Elements//In Boundary Element Methods/ed. C.A. Brebbia. -Berlin: Springer-Verlag, -1982. -P. 312-326.
- Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации//Докл. РАН. -2006. -Т. 410, № 2. -С. 168-172.
- Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях I рода в динамических задачах анизотропной теории упругости//Докл. РАН. -1993. -Т. 333, № 3. -С. 312-314.
- Игумнов Л.А Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских волнах//Докл. РАН. -2006. -Т. 409, № 5. -С. 1-3.
- Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. -М.: Физматлит, 2008. -352 с.
- Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method//Computer Journal. -1974. -Vol. 17. -No. 4. -P. 371-376.
