Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов
Автор: Ермакова А.В., Макаров П.О.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 1-3 (88), 2024 года.
Бесплатный доступ
В данной статье рассматриваются исследования дискретных преобразований Уолша-Адамара и их применение в обработке результатов. Дискретные преобразования Уолша-Адамара - это методы, которые позволяют анализировать и изменять данные в дискретной форме. Статья начинается с обзора основных принципов дискретных преобразований Уолша-Адамара, включая их математическую формулировку и основные свойства. Затем рассматриваются методы применения этих преобразований в задачах обработки результатов, таких как сжатие данных, фильтрация шума и извлечение сжатого сигнала. Также в статье представлены численные эксперименты, проведенные с использованием дискретных преобразований Уолша-Адамара, чтобы продемонстрировать их эффективность в различных сценариях обработки результатов. Результаты экспериментов подтверждают значительное улучшение в качестве обработки данных при использовании этих преобразований.
Дискретные преобразования уолша-адамара, обработка результатов, сжатие данных
Короткий адрес: https://sciup.org/170203225
IDR: 170203225 | DOI: 10.24412/2500-1000-2024-1-3-97-101
Текст научной статьи Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов
1. Преобразование Уолша-Адамара
Преобразование Уолша-Адамара - это ортогональное преобразование, которое разделяет сигнал на набор ортогональных прямоугольных волновых форм, называемых функциями Уолша. Преобразование
не имеет множителей и является вещественным, поскольку амплитуда функций Уолша имеет только два значения, +1 или -1. Простейшей матрицей Адамара является матрица второго порядка, имеющая вид:
H 2 =
-1
Пары дискретного преобразования Уолша-Адамара в показательной форме показано в таблице 1.
Преобразование Уолша-Адамара может использоваться во многих различных анализах, таких как анализ спектра мощности, фильтрация, обработка речевых и медицинских сигналов, мультиплексирование и
кодирование в связи, определение характеристик нелинейных сигналов, решение нелинейных дифференциальных уравнений, логическое проектирование и анализ.
2. Базис Уолша-Адамара
Таблица 1. Дискретные преобразования Уолша-Адамара в показательной форме
Прямого преобразования |
Обратного преобразования |
Преобразования в матричном виде |
N - 1 b ( к ) 2 5 ( ” )( - 1) k” , n = 0 к = 0,1,..., N - 1 |
N - 1 s ( n ) = N - | 2 b ( к )( - 1) к ” , к = 0 n = 0,1,..., N - 1 |
B = HS s = N-1 HB |
В матрице Уолша-Адамара функции Уолша располагаются в таком порядке, что их отсчеты образуют матрицу Адамара. Это означает, что систему Уолша-Адамара можно синтезировать, основываясь на известных свойствах этих матриц. Матрица Адамара второго порядка представлена в формуле (1).
Поскольку дискретная частота играет роль номера функции в базисе, а дискретное время - аргумент базисной функции, то для упрощения дальнейших записей введем следующее обозначение для фазовращающего множителя:
—
W = е А 2 J = е 7^ = —1 (2)
то матрицу H2 можно записать в виде г W0 W"l,,,
H 2 = [W » W 1 ] (3)
При N = 2 2 = 4 элементами матрицы H 4 Адамара станут матрицы H 2 :
н 4 = [н 2
н2
—Н 2
Г0 0 001
1 0 1 0
] 0 011
L 0 1 10J
Видно, что при увеличении параметра n на единицу количество строк матрицы Адамара удваивается, так же, как и коли-
чество элементов в каждой из них. Для любого двоично-рационального порядка выполняется следующее равенство
H2 ”+i = RJ2 ” Hf ](5)
-
2 LH 2 ” — Н 2Ч
Используя матрицу (4) синтезируем матрицу Адамара восьмого порядка Н8 :
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
н8 = |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
(6) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
-0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1- |
Сформулируем некоторые свойства полученной матрицы: Она является симметричной. Это означает, что все выводы относительно ее строк можно применить и к ее столбцам. Каждая строка этой матрицы, за исключением нулевой, состоит из равного количества нулей и единиц. Нулевая же строка изоморфного отображения матрицы Уолша-Адамара любого порядка состоит из нулей. Равенство всех элементов первой строки нулям и одинаковое количество нулей и единиц во всех остальных строках являются особенностями не только системы Уолша-Адамара, но и любой другой системы Уолша. Анализируя матрицы приходим к выводу о том, что для первой функции в матрице Адамара любого возможного порядка выполняется равенство:
^ 1
( +1, для четных I
I-1, для нечетных I
-
3. Обработка ЭКГ-сигналов
Часто возникает необходимость записывать сигналы электрокардиограммы (ЭКГ) пациентов в разные моменты времени. В результате образуется большой объем данных, который необходимо сохранить для последующего анализа и сравнения. Преобразование Уолша-Адамара подходит для сжатия ЭКГ -сигналов, поскольку обладает такими преимуществами, как:
-
1) Быстрое вычисление коэффициентов Уолша-Адамара;
-
2) Меньший объем памяти, поскольку достаточно хранить только те коэффици-
- енты последовательности, которые имеют большие значения;
-
3) Быстрое восстановление сигнала.
Ниже приведена оценка ЭКГ-сигнала и соответствующего ему преобразования Уолша-Адамара. При тестировании системы рассматривалась одиночная волна ЭКГ-сигнала, равная 512, который зашумлялся при помощи АБГШ. Так же для обработки данных использовалось быстрое преобразование Уолша-Адамара. Результаты моделирования представлены на рисунке 1.

Рис. 1. Исходный ЭКГ-сигнал и полученный сигнал при использовании быстрого преобразования Уолша-Адамара
Как видно из рисунка 1, большая часть энергии сигнала сосредоточена в нижних значениях последовательности. Для целей исследования сохраняются только первые 1024 коэффициента, которые используются для восстановления исходного сигнала.
Усечение коэффициентов более высокой последовательности также способствует подавлению шума. Оригинальный и восстановленные сигналы показаны на рисунке 2.

Рис. 2. Оригинальный и восстановленный сигнал
По результатам моделирования видно, первые 1024 коэффициента и длину сигна- что восстановленный сигнал очень близок ла ЭКГ, что соответствует степени сжатия
-
к исходному сигналу. Чтобы восстановить примерно 4:1.
исходный сигнал, мы сохранили только
Список литературы Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов
- Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Перевод с англ. - М.: Издательский дом "Вильяме", 2003. - 1104 с.
- Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. - М.: Сов. радио, 1969. - 752 с. EDN: UPTCVH
- Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
- Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985. - 384 с. EDN: UKUQVR
- Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Советское радио, 1975. - 208 с.