Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов

Бесплатный доступ

В данной статье рассматриваются исследования дискретных преобразований Уолша-Адамара и их применение в обработке результатов. Дискретные преобразования Уолша-Адамара - это методы, которые позволяют анализировать и изменять данные в дискретной форме. Статья начинается с обзора основных принципов дискретных преобразований Уолша-Адамара, включая их математическую формулировку и основные свойства. Затем рассматриваются методы применения этих преобразований в задачах обработки результатов, таких как сжатие данных, фильтрация шума и извлечение сжатого сигнала. Также в статье представлены численные эксперименты, проведенные с использованием дискретных преобразований Уолша-Адамара, чтобы продемонстрировать их эффективность в различных сценариях обработки результатов. Результаты экспериментов подтверждают значительное улучшение в качестве обработки данных при использовании этих преобразований.

Еще

Дискретные преобразования уолша-адамара, обработка результатов, сжатие данных

Короткий адрес: https://sciup.org/170203225

IDR: 170203225   |   DOI: 10.24412/2500-1000-2024-1-3-97-101

Текст научной статьи Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов

1. Преобразование Уолша-Адамара

Преобразование Уолша-Адамара - это ортогональное преобразование, которое разделяет сигнал на набор ортогональных прямоугольных волновых форм, называемых функциями Уолша. Преобразование

не имеет множителей и является вещественным, поскольку амплитуда функций Уолша имеет только два значения, +1 или -1. Простейшей матрицей Адамара является матрица второго порядка, имеющая вид:

H 2 =

-1

Пары дискретного преобразования Уолша-Адамара в показательной форме показано в таблице 1.

Преобразование Уолша-Адамара может использоваться во многих различных анализах, таких как анализ спектра мощности, фильтрация, обработка речевых и медицинских сигналов, мультиплексирование и

кодирование в связи, определение характеристик нелинейных сигналов, решение нелинейных дифференциальных уравнений, логическое проектирование и анализ.

2. Базис Уолша-Адамара

Таблица 1. Дискретные преобразования Уолша-Адамара в показательной форме

Прямого преобразования

Обратного преобразования

Преобразования в матричном виде

N - 1 b ( к )   2 5 ( )( - 1) k” ,

n = 0

к = 0,1,..., N - 1

N - 1

s ( n ) = N - | 2 b ( к )( - 1) к , к = 0

n = 0,1,..., N - 1

B = HS

s = N-1 HB

В матрице Уолша-Адамара функции Уолша располагаются в таком порядке, что их отсчеты образуют матрицу Адамара. Это означает, что систему Уолша-Адамара можно синтезировать, основываясь на известных свойствах этих матриц. Матрица Адамара второго порядка представлена в формуле (1).

Поскольку дискретная частота играет роль номера функции в базисе, а дискретное время - аргумент базисной функции, то для упрощения дальнейших записей введем следующее обозначение для фазовращающего множителя:

W = е А 2 J = е 7^ = —1 (2)

то матрицу H2 можно записать в виде г W0  W"l,,,

H 2 = [W »   W 1 ] (3)

При N = 2 2 = 4 элементами матрицы H 4 Адамара станут матрицы H 2 :

н 4 = [н 2

н2

Н 2

Г0  0  001

1    0  1  0

]   0 011

L 0   1  10J

Видно, что при увеличении параметра n на единицу количество строк матрицы Адамара удваивается, так же, как и коли-

чество элементов в каждой из них. Для любого двоично-рационального порядка выполняется следующее равенство

H2 ”+i = RJ2 ”    Hf ](5)

  • 2     LH 2 — Н

Используя матрицу (4) синтезируем матрицу Адамара восьмого порядка Н8 :

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

н8 =

0

1

1

0

0

1

1

0

(6)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

-0

1

1

0

1

0

0

1-

Сформулируем некоторые свойства полученной матрицы: Она является симметричной. Это означает, что все выводы относительно ее строк можно применить и к ее столбцам. Каждая строка этой матрицы, за исключением нулевой, состоит из равного количества нулей и единиц. Нулевая же строка изоморфного отображения матрицы Уолша-Адамара любого порядка состоит из нулей. Равенство всех элементов первой строки нулям и одинаковое количество нулей и единиц во всех остальных строках являются особенностями не только системы Уолша-Адамара, но и любой другой системы Уолша. Анализируя матрицы приходим к выводу о том, что для первой функции в матрице Адамара любого возможного порядка выполняется равенство:

^ 1

( +1, для четных I

I-1, для нечетных I

  • 3.    Обработка ЭКГ-сигналов

Часто возникает необходимость записывать сигналы электрокардиограммы (ЭКГ) пациентов в разные моменты времени. В результате образуется большой объем данных, который необходимо сохранить для последующего анализа и сравнения. Преобразование Уолша-Адамара подходит для сжатия ЭКГ -сигналов, поскольку обладает такими преимуществами, как:

  • 1)    Быстрое вычисление коэффициентов Уолша-Адамара;

  • 2)    Меньший объем памяти, поскольку достаточно хранить только те коэффици-

  • енты последовательности, которые имеют большие значения;
  • 3)    Быстрое восстановление сигнала.

Ниже приведена оценка ЭКГ-сигнала и соответствующего ему преобразования Уолша-Адамара. При тестировании системы рассматривалась одиночная волна ЭКГ-сигнала, равная 512, который зашумлялся при помощи АБГШ. Так же для обработки данных использовалось быстрое преобразование Уолша-Адамара. Результаты моделирования представлены на рисунке 1.

Рис. 1. Исходный ЭКГ-сигнал и полученный сигнал при использовании быстрого преобразования Уолша-Адамара

Как видно из рисунка 1, большая часть энергии сигнала сосредоточена в нижних значениях последовательности. Для целей исследования сохраняются только первые 1024 коэффициента, которые используются для восстановления исходного сигнала.

Усечение коэффициентов более высокой последовательности также способствует подавлению шума. Оригинальный и восстановленные сигналы показаны на рисунке 2.

Рис. 2. Оригинальный и восстановленный сигнал

По результатам моделирования видно,    первые 1024 коэффициента и длину сигна- что восстановленный сигнал очень близок   ла ЭКГ, что соответствует степени сжатия

  • к исходному сигналу. Чтобы восстановить примерно 4:1.

исходный сигнал, мы сохранили только

Список литературы Исследование дискретных преобразований Уолша-Адамара в обработке результатов

  • Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Перевод с англ. - М.: Издательский дом "Вильяме", 2003. - 1104 с.
  • Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. - М.: Сов. радио, 1969. - 752 с. EDN: UPTCVH
  • Кловский Д.Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. - М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.
  • Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985. - 384 с. EDN: UKUQVR
  • Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Советское радио, 1975. - 208 с.
Статья научная