Исследование гиперзвукового обтекания теплоизолированной скользящей пластины на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при переменных условиях на задней кромке

При обтекании тел гиперзвуковым потоком часто реализуются случаи, когда невозможно пренебрегать взаимодействием пограничного слоя с внешним невязким течением, так как в этом случае торможение газа вязкостными процессами в пограничном слое приводит к высоким температурам, что ведет за собой в том числе и увеличение толщины пограничного слоя в сравнении с тем, что было бы при том же числе Рейнольдса невозмущенного потока при более низких скоростях. Из-за увеличения толщины пограничного слоя одним из основных типов взаимодействия с полем течения невязкого газа является взаимодействие через давление, то есть изменение «эффективной формы тела» из-за отклонения линий тока вне пограничного слоя, вызванное возрастанием толщины слоя.

При рассмотрении взаимодействия через давление возможно естественное выделение двух асимптотических областей: зоны слабого и зоны сильного взаимодействия.

В области сильного взаимодействия отклонение линий тока из-за вязкого слоя становится большим (при рассмотрении обтекания клина, например, большим половины угла его раствора), градиенты давления и вязких напряжений - одного порядка. В случае обтекания плоской пластины при достаточно больших, но конечных числах Маха область сильного взаимодействия располагается на передней части пластины, область слабого взаимодействия - ниже по течению.

Впервые анализ в области сильного взаимодействия был проведен в [1] для случая клина или плоской пластины при отсутствии теплопередачи. Для течения около полубесконечной пластины на режиме сильного взаимодействия автомодельное решение впервые получено в [2] с использованием формулы «касательного клина». Возможность неединственности решения задачи вблизи передней кромки скользящей пластины была установлена в [3]. Первые результаты исследования обтекания скользящей пластины, когда дополнительное условие на ее задней кромке не является постоянным, а изменяется по размаху, были приведены в [4], где сформулированы и решены краевые задачи для первых двух членов разложения. В [5] была сформулирована и решена краевая задача для третьих членов разложения и впервые установлено, что показатель степени этих членов для всех функций течения на единицу больше, чем предыдущего, а множитель при этих членах разложения пропорционален производной произвольной функции по поперечной координате. В данной работе сформулирована и решена краевая задача для четвертых членов разложения, в которых множитель при этих членах пропорционален второй производной от произвольной функции по поперечной координате. Исследовано влияние определяющих параметров на профили коэффициентов разложений и влияние четвертых членов разложения на функции течения и распространение возмущений. Установлено, что в тех сечениях, где градиент давления по размаху пластины равен нулю, а вторая производная имеет достаточно большое значение, именно четвертые члены разложения могут во многом определять распространение возмущений против потока.

Рассматривается обтекание бесконечной по размаху теплоизолированной пластины с температурой Тш заданной длины L на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при наличии угла скольжения. Газ совершенный, отношение удельных теплоемкостей у = Iе, коэффициент вязкости линейно зависит от температуры ^— = с^ у^, где сю = const, индекс то обозначает параметры невозмущенного потока. Вводится декартова система координат с началом на передней кромке пластины, в пространственном ламинарном пограничном слое компоненты вектора скорости n0,v0,w0 направлены соответственно вдоль осей ж0, у0, г0. Направление о сей следующее: ж0 - перпендикулярно передней кромке, г0 - вдоль передней кромки. Угол между направлением невозмущенного потока и осью ж0 -угол скольжения /3- На задней кромке пластины при ж0 = L задано распределение донного давления р^ (20), зависящее от попе речной координаты г0, причем характерный размер об- ласти изменения давления по поперечной координате порядка Ly. Характерные линейные масштабы относятся как N = Ly- Для числа Маха предполагается, что для его проекции на нормаль к передней кромке выполняется условие Мп = M^ cos /3 ^ 1, то есть передняя кромка остается гиперзвуковой. Рассматривается предельный случай, когда в невозмущенном потоке АД - скорость, р^ - плотность и Н^ - энтальпия стремятся к постоянным значениям, при этом число Маха М^ ^ то, параметры: р^ - давление, аго - скорость звука и Т^ - температура соответственно стремятся к нулю. Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [6] при Мп ^ 1, безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя б ^ 1 в случае выполнения предположения о сильном взаимодействии Мпб ^ 1 индуцированное давление, создаваемое толщиной вытеснения, имеет порядок р0 ~ р^М^б2, отсюда из уравнения состояния получается оценка для плотности р0 ~ р^б2. Масштабы поперечного и нормального компонентов скорости при обтекании скользящей пластины соответственно равны w0 ~ V-^ sin /Зиг0 ~ V-^б. Исходя из равенства порядков главных инерционных и вязких членов уравнения импульса вдоль оси ж0, получается оценка для -        O^V^L б ~ Нв0 4, Нв0 = р” - число Веинольдса, р-0 - динамический коэффициент вязкости при температуре торможения, так как в пограничном слое температура порядка температуры торможения. Согласно [7, 8], при нулевом угле скольжения скорость поперечного течения будет определяться только градиентом индуцированного давления по размаху пластины. Для определения индуцированного давления при условии Мпб ^ 1, создаваемого толщиной вытеснения, используется приближенная формула «касательного клина» [6].

В соответствии с оценками для ламинарного пространственного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке вводятся безразмерные переменные [6]:

ж⁰ = Lж, у⁰ = бLу, z⁰ = Lyz, р° = р0р, 60 = 6L6 _e , р⁰ = р ^ б²р, Р° = р^б²^ р * , ра = р^б² V² р а * , n⁰ = V^n, w⁰ = V ^ w, v⁰ = V ^ 6v * .

После этого используется преобразование А. А. Дородницына:

V 8 = рг* + u^ + Nw^. дж oz

Далее вводится следующее преобразование переменных с учетом особенности поведения функций течения в окрестности передней кромки пластины [4, 5]:

А = ж 4 А*,

р* = ж 2p(ж,z), ра*(z) = pа(z), р = ж 2 р*(ж, А*, z),

б е * = Ж³ б е (ж,z),

v § = Ж ⁴

С Г -жи^.

Уж /

В силу громоздкости система уравнений ламинарного пространственного пограничного слоя в переменных (1) - (3) не приведена.

3.    Разложение в окрестности передней кромки

Для удобства исследования поведения функций течения в окрестности ж = 0 в полученной краевой задаче вводятся новые переменные:

^А' = VЛЛ^p(ж'^z)ч'   ”* = V t - T*'⁰ ["⁺ f ("Л ^{+ Nw}|z)] -     ¹⁴¹

где у - показатель адиабаты. Данная замена делает удобным дальнейшее разложение, так как в уравнениях переноса и неразрывности давление в знаменателе остается только при производной от индуцированного давления. В переменных (1), (2), (3) и (4) краевая задача имеет следующий вид:

ди + дв + n Эш + и + х (и др + n ш др \ _ о дх дт 8z 4 2 \р Ох р 8z J ’ ди ди      ди хи— + в дт + ^xw^Z

-

( Н — и²

-

ш2

1 х др

V 2    р дх

д² и дт² ’

дш дш      дш хи^х + В"дГ) + ^хшдд

—N

7 ^{— 1}

( Н — и²

-

₂ х др д²ш

W р дх"^ дт2 1

хи⁸Д + в^ + NxJ^ _ дх дт       дх

1 д²Н   1 — ст д²(и² + в² )

- ст дт2      ст       дт2

р ^_

7 + 1

[f 3 ^Л ‘ + х ^ cos3 + Nx   ыпз] ’

4 дх ;          дх de = Д-1 / (Н — и2 —ш2)йХ*,р(х = 1,z) = рдХ) 27р Уо т _ 0 : и _ ш _ в _ О, Н _ Нш’ т ^ то : и ^ cos 3’ ш ^ sin 3’ Н ^ 1(0 6 х 6 1’ | z| < то)’ где ст - число Прандтля. Далее рассматривается теплоизолированная пластина при ст _ 1. В [5] показан вид первых трех членов разложений, в виде которых можно искать решения, а также то, что порядок следующего, четвертого, члена, равен а+2. Подстановка разложений из [5] в (5), дополненная четвертым членом порядка a + 2, в общем виде показала, что итоговые разложения будут иметь следующий вид:

р(х. z) _ ро +      х ■ + N^p|(z) р х + N «2 d           + ...’ ро           dzdz

5(х’ z) _ do + 5«       ' + NdpT^z) jal х   + — 5,2 а2р^(х)х“+2 + ...’ ро       ро dz              роdz

и(х’ z) _ ио(т) + и«(т) p^(z)x“ + Nap^(zl иаі(т)х“+1 + N2 и«2(т) а2р«Рх«+2 + ...’ (6) ро       ро dz                 роdz

в(х’ z) _ во(т) + в«(т)Pa(z)xa + Ndp«(z)в,і(т)х“+1 + —в«2(т) —p^(z)x“+2 + . . . ’ ро       ро dz                 роdz

ш(х’ z) _ шо(т) + ш«(т)Pa(z)xa + — dp«(z) ш,і(т)х“+1 + —ш«2(т)d ^(^ х°+2 + ... ро       ро dz                  роdz

Как показано в [5], при поиске вида разложений (6) было установлено, что коэффициенты для всех функций течения при членах, содержащих собственное число а, и в следующих членах, являются функциями только от координаты т, из чего следует, что краевые задачи для определения собственного числа и для четвертых членов разложения представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Подстановкой разложений (6) в систему уравнений и граничные условия (5) и сбором членов одного порядка, как и в [5], могут быть получены соответствующие краевые задачи:

Для первых членов - автомодельная часть:

dvn

—° + 0.25u0 = 0, ат)

Р0 =

du°   7

^-0Д- = “ ат

-

1       2     2    d2u°

-^{(1 - u}0 ^- w°^{) +} -^ ,

dw° v0 w =

d2 W0

dT2 ’

3 I (7 + 1)(7 ^- 1)

4V

∞

cos p

^{- u}° — 'w2^)dT,

60 = 2

^ 3 cos p

- uo - w2)d T

T = 0 : u° = W0 = -0 = 0,

T ^ то : u° ^ cos p, W0 ^ sin p.

Решение краевой задачи для вторых членов разложения позволяет определить соб ственное число а;

dv _n

—--+ 0.5au° + (0.25 + a)ua = 0, dT du« ,    du0 ,            7- 1/ o        о         o м 2         , d2u« v°"dT" + -“"dT" + “uoUa = 47(-2u°ua - 2w°wa - 2а(1 - u° - w°)) + -^2- dwa     dwo           d2W0

-o "dT" + - “ "dT?" + auow _a = -^2",

2а + 3 Г^го₍₁

4a + 3 ./0

∞

- u2 - w0)dT = /  (- 2 uou _a - 2 wow _a ) dT,

F-^ H              “           3

60 =V27Po"( J   (-2uou« - 2 wow _a ) dT - 0.5 у  (1 - u2 - w0)dTy = ₆ + _ga 60,

T = 0 : u _a = w _a = v _a = 0, T ^ то : u_a ^ 0, w_a ^ 0.

Данная система при заданных параметрах 7, Р и соответствующих им решений системы (7): u 0 (t),- 0 (t), ^w 0 ( t ) ,P 0 , 60- позволяет опрелелитв собствешіое число а. если оно существует, и коэффициенты разложений u _q (t), v _q (t), w _q (t), 6_а. Как показано в [5], решение в окрестности передней кромки не является единственным в силу произвольности параметра р_а(г) в разложениях (6).

Краевая задача для третьих членов:

dv _{2 i} dr

+ 0.5(wo + (а + 1)p2iuo) + (1.25 + а)u21 + w2 = 0, du2i        duo .      .

«о—--+ v2i —--+ (а + 1)uouai + wo ua = dr       dr

7 - ¹

(-2uou_ai - 2wow₂i - 2 p _a i ( a + 1)(1

-uo

- w2)) +

d²u _{2 i} dr^{2 1}

dw2i

V0 W

dwo

+ Vai —--+ (а + 1)uowai + wow2 = dr

^- 7,  ^{(1 - u}0 ^{- w}o) ⁺

d2w2i dr2 ’

5ai =

6[p_2i cos 3 (0.75 + а) — sin 3 ]

cos 3(7 + 4а)(3 + 4а)

do =

=       С /о

∞∞

(-2uou_ai - 2wow_ai)dr - 0.5p_ai J (1 - u2 - w2)drJ ,

1             _o~ ( - 2 uou_ai - 2wow_ai)dr   6tan3

^p“1 =         ^{(7 + 4а)}     ^-7    2    ₂        ⁺     ,

5 + 2а [           Jo (1 - uo - wo)dr      3 + 4а r = 0 : u2i = wai = vai = 0, r ^ to : u2i ^ 0, w2i ^ 0.

Полученная система позволяет определить (при условии решения (8) и (7)) коэффициенты разложений u2i(r), v2i(r), w2i(r),52i и p2i, причем её вид подтверждает их независимость от поперечной координаты z [5]. Далее, путем все той же подстановки разложений (6) в систему уравнений и граничные условия (5) и сбором членов при та+2 была получена четвертая краевая задача и соответствующие ей соотношения для определения коэффициентов 5^2 11 p«2- dva2 dr

+ 0.5(wopai + (а + 2)pa2Uo) + (2.25 + а)и22 + wai = 0, dua2      duo

Vo—--+ v22 —--+ (а + 2)uoua2 + wo uai = dr       dr

-1

^{( - 2u}o^u a 2

^{- 2w}o^w a 2 ^{- 2p}а2^{(а + 2)(1 - u}0 ^{- w2)) +}

d2ua2 dr2 ,

vo

dw _a 2 dr

^{+ v} a 2”, --+ ^{(а + 2)u}o^w a 2 ^{+ w}o^wai = ^-Щг--p«i^{(1 - u}2 ^{- w2)} +--, ₂

dr                              27                     dr2

5ai

-

=

V 27po

∞ f (-2uoUa2 - 2woWa2)dr - 0.5pa2

- u0

-

wo)dr) ,

(Ю)

p«i =

11 + 4а J '^ ( - 2 uou g 2 - 2wo w _a 2 ) dr 7 + 2а     ,/q ” (1 - u2 - w2)dr

+

1 Г6tan3.(o^(-2uouai - 2wowai)dr       12tan2 3

7 + 2а 5 + 2а    ./(^(1 - u2 - wo)dr      (5 + 2а)(3 + 4а)

r = 0 : u_a2 = w _a 2 = v_a2 = 0, r ^ to : u ₂ 2 ^ 0, w₂2 ^ 0.

Полученная система уравнений (10) так же, как и (9), является линейной и неоднородной с нулевыми граничными условиями и позволяет определить коэффициенты разложений u _a 2 ( j] ) ,D _a 2('п' ) ,іи _а 2(т]),5 _а 2 и р _{а 2}. Важно отметить принципиальное отличие сформулированных краевых задач (7) - (10) от соответствующих задач в [8] для случая обтекания пластины при отсутствии угла скольжения, так как там уравнения для определения коэффициентов разложения для поперечной компоненты скорости отделялись от основной системы уравнений. Как показано в [5], при отсутствии угла скольжения в системе (7) уравнение для определения первого члена разложения для поперечной компоненты скорости имеет единственное решение Шо(у) = 0, то есть и его производная равно нулю. Отсюда сразу будет следовать из системы (8), что ш_о(у) = 0. При этом условии в системе (9) неоднородным будет являться только уравнение для определения w_ai(y) = 0, все остальные уравнения станут однородными с соответствующими решениями и _{а 1}(т] ) , и _{а 1} (т)),5 _{а 1} и р _а1. Отсюда видно, что при условии отсутствия скольжения и система (10) будет иметь только тривиальные решения, как и все последующие системы для членов разложения, имеющих порядки О(ж°⁺³), О ( ж ^а +4 ) , ... и так далее, пока а + п < 2а, первое нетривиальное решение будет для системы порядка О ( ж² “ ) [5].

4.    Численное решение

В данной работе численные решения были произведены для значения чисел Прандтля о = 1, показателя адиабаты у = 1.4 и параметра Д = 1. Основное внимание в данной работе было уделено исследованию зависимости профилей коэффициентов разложения функций течения, собственного числа а и параметра р _о 2 от угла скольжения Д который изменялся от 0^о до 80^о. Все краевые задачи (7) - (10) решались численно методом прогонки, для вычисления определенных интегралов использовалась формула Симпсона. Шаг по нормали Ду = 0.01, количество узлов Д = 1351, однако при некоторых значениях параметров количество узлов по нормали уменьшалось (например, при небольших значениях угла скольжения), в других же, напротив, было взято большее значение узлов. Значение собственного числа а вычислялось при условии выполнения интегрального соотношения в (8) с точностью до 10^-4. Для вычисления параметров р _о 1 и р _о 2 точность совпадения изначально заданных параметров с посчитанными по соответствующим для них формулам из систем (9) и (10) составляла 10^-4.

Рис. 1. Зависимость собственного числа а • 10 ¹ (1) и параметра р_а2 (2) от угла скольжения ^ при у = 1.4 но = 1

Зависимость собственного числа а и параметра р _{о 2} от угла скольжения ^ приведена на рис. 1. Как видно, с ростом ^ собственное число а резко уменьшается, будучи максимальным при отсутствии угла скольжения, то есть при увеличении угла скольжения интенсивность передачи возмущений против потока растет. Параметр р_о2, в свою очередь, увеличивается с ростом ^ и является нулевым при отсутствии угла скольжения.

Рис. 2. Профили коэффициентов разложения и₀ (т) и и_а (ту) при углах /3 = 30° (1 - и₀ (ту), 4 - и_а (т)), 50° (2 - ио(т), 5 - и_а (т)), 70° (3 - ио(т), 6 - и_а (тт)) при у = 1.4 и ст = 1

Рис. 3. Профили коэффициентов разложения и « 1 (тт) и и_а 2 (тт) при углах /3 = 30° (1 - и_а 1 (ту), 4 и_а 2 (тт)), 50° (2 и_а 1 (тт), 5 и_а2 (тт)), 70° (3 и « 1 (т), 6 - и_а 2 (ту)) при 7 = 1.4 и с = 1

Профили коэффициентов разложения и₀ (т) и и _а (т) при углах /3 = 30°, 50°, 70° представлены на рис. 2. Заметим, что профиль ио (т) перестает быть монотонным при больших углах скольжения (кривая 3 на рис. 2), являясь монотонным на менее больших углах (кривые 1 и 2 на рис. 2). У профилей и _а (т) же в свою очередь при увеличении угла скольжения уменьшается максимум по модулю, выход на ноль происходит менее плавно (кривые 4, 5 и 6 на рис. 2 соответственно).

Зависимость коэффициентов разложения иа1 (т) и иа2 (ту) от угла скольжения /3 приведена на рис. 3. Модуль максимума у профилей с ростом угла скольжения также увеличивается, а выход на ноль при больших /3, 70° в данном случае происходит намного менее плавно, в сравнении, например, с /3 = 30° (кривые 3, 6 и 1, 4 на рис. 3 соответственно).

Рис. 4. Профили коэффициентов разложения w₀ (ту) и w_a(т) при углах /3 = 30° (1 - w₀(т), 4 -w_Q(т)), 50° (2 - wo(т), 5 - w_Q(т)), 70° (3 - wo(т), 6 - w_a (т)) при 7 = 1.4 и с = 1

Рис. 5. Профили коэффициентов разложения W_Q1 (т) И w_a 2 (т) при углах /3 = 30° (1 - w«i (т), 4 - w_a 2 (т)), 50° (2 - W_Q1 (т), 5 - w_a 2 (т)), 70° (3 -

Wal(т), 6 - w_a 2 (т)) При 7 = 1.4 и с = 1

Профили коэффициентов разложения w₀ (т) и w_a (т) при углах /3 = 30°, 50°, 70° представлены на рис. 4. Поведение профиля wo(т) при увеличении угла скольжения особо не меняется, однако весьма заметны характерные отличия в профилях коэффициента w _a (т) при росте /3^: выход на ноль происходит менее плавно, чем при меньших углах, сам профиль более наполнен, выход на максимум модуля происходит при большей координате по нормали и сам максимум модуля увеличился (кривые 4, 5 и 6 на рис. 4 соответственно). На рис. 5 представлены профили коэффициентов разложения w_a1(т) и w_a2(т) при углах 3 = 30°, 50°, 70°. При увеличении угла скольжения их поведение характерно не отличается: выход на ноль происходит менее плавно, максимум модуля достигается позже по нормальной координате, однако при росте угла скольжения от 30° до 70° у w_Qi(т) максимум модуля увеличивается более чем в 3 раза (кривые 1 и 3 на рис. 5), а у w_a2(т) практически в 7 раз (кривые 4 и 6 на рис. 5), то есть чем больше порядок коэффициента, тем большее влияние оказывает на него изменение угла скольжения.

а)                                                        б)

Рис. 6. Зависимость ^ на части поверхности пластины 0.6 6 х 6 1 при учете трех (а) и четырех (б) членов, значения определяющих параметров: 3 = 30°, у = 1.4, ст = 1,У = 1, p_a(z) = 0.025 cos⁶ (t tz )

На основании полученных результатов путем задания произвольной функции p _a (z) и использования разложений (6) может быть построено возмущенное течение на пластине. В качестве примера рассматривается вид произвольной функции p _a ( z ) = 0.025 cos⁶(^z), аналогично [5]. Задаются следующие значения определяющих параметров: 3 = 30°, у = 1.4, с = 1,У = 1, тогда разложеиие для ^^ (0) будет иметь вид (при учете четырех членов):

du = uo ( y ) + u _a ( y ) Р а ( д ) _х а + £ dp a ( z ) U a i ( n l _{x a} +i + £ ^(y) d²p _a ( z ) _{x a} +2 dy dy dy   po      po dz dy         po dy dz ²

(И) число

(11) на

При выбранных определяющих параметрах собственное а = 17.254, po = 0.743, ра1 = 1.143,ра2 = 0.583. На рис. 6 приведен график части поверхности пластины

0.6 6 х 6 1 при описанных выше определяющих параметрах и заданной выше функции pa(z) при учете трех членов (рис. 6а) и четырех членов (рис. 66). Важно отметить, что учет четвертого члена оказал существенное влияние на продольное трение: модули максимумов и минимумов увеличились, поменялось их распределение.

а)                                                        б)

Рис. 7. Зависимость (^ на части поверхности пластины 0.6 6 х 6 1 при учете трех (а) и четырех (б) членов, значения определяющих параметров: 3 = 30°, у = 1.4, с = 1,У = 1, p_a(z) = 0.025 cos⁶ фд)

Далее при тех же определяющих параметрах и функции pa(z) рассматривается поведение поперечного коэффициента трения при учете и без учета четвертого члена разло- жения. В данном случае четырехчленное разложение коэффициента продольного трения будет иметь следующий вид:

d-Щ _ W0(77) + Ш<ДД P a ( z ) ^ + 1 dp _a (z) Ш _а1Д ) ^ _a +i ₊ 1 №^2(77) d2p _a ( z ) % a +2 dy     dr) drj po po dz dy          po dy dz²

На рис. 7 приведен график (12) на части поверхности пластины 0.6 6 ж 6 1 при описанных выше определяющих параметрах и заданной выше функции p _a (z) при учете трех членов (рис. 7а) и четырех членов (рис. 76). В этом случае учет четвертого члена, как и в предыдущем случае, оказал существенное влияние: увеличились модули максимумов и минимумов, их распределение претерпело кардинальные изменения.

Из рассмотрения коэффициентов продольного и поперечного трения при учете и без учета четвертого члена разложения следует, что при наличии большой второй производной давления на задней кромке пластины по ее размаху при обтекании под углом скольжения учет четвертого члена разложения очень важен, так как он во многом определяет характер обтекания пластины.

5.    Заключение

В данной работе было произведено преобразование уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя и граничных условий при обтекании бесконечной по размаху скользящей пластины гиперзвуковым потоком на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия путем обезразмеривания (1), преобразования переменных (2) и (3), введения новых переменных (4) и подстановки разложений (6) с последующим выделением четырех краевых задач (7), (8), (9) (аналогично [5]) и (10), и получены следующие результаты:

• 1)    было установлено, что множитель при четвертых членах разложения пропорционален второй производной от произвольной функции по поперечной координате, что показывает, что в тех сечениях, где возмущение давления и его градиент равны нулю или невелики, распространение возмущений определяется в большей степени именно четвертыми членами;

• 2)    показано, что угол скольжения оказывает определяющее значение на профили коэффициентов каждого из четырех членов разложений функций течения (6);

• 3)    продемонстрирована важность учета четвертого члена разложения при расчете обтекания при наличии угла скольжения и достаточно большой второй производной давления на задней кромке пластины по ее размаху.