Исследование и разработка методики формирования структуры и свойств материалов по условиям надежности конструкции летательных аппаратов и диссипации энергии колебательных процессов

Q ( и ) = J ехр№) П (1 + и ( i ) d { N }/ Z n =

= Z n ( и )I Z n (0).                 (3)

При выполнении условия и ( i) ^ 0 представим частичные плотности p_S во внешнем поле некоторой природы ф (q ) в виде:

PS ({G) = Z'(u) ПS (1 + u(i))5SZ(u)/ ПS О(i), где 1 + и (q) = ехр(-ф( q),                    (4)

где F_n – совокупности частных функций распределения частичных плотностей p_n = pⁿF_n .

Введем функционал

W ( и ) = h Q ( и ) = ( F (0) - F ( и ) ,   (5)

который в этом случае является производящим корреляционных функций вида gn({n}) = П p(i)hn({n}) =

= П (1 + u(i)) 0 ⁿW(u)/ n O i(i) , позволяющих выполнить разложение Урсе-ла–Майера функций вида p_n и определяющих возможность и условия изменения в этом поле свободной энергии F, либо потенциала Ω при переходе к большому распределению Гиббса.

Следовательно, и частичные плотности и корреляции являются функциональными величинами, зависящими от потенциалов взаимодействия, в случае простых жидкостей – потенциала внешнего поля и парного потенциала ф(r). Функциональные разложения по функциям Майера f (r) = ехр(-ф(r) -1 и модификация этих разложений – вириальные разложения и их частичное суммирование приводят к рядам ограниченной сходимости при вычислении производящих функционалов в расчётах характеристик гиббсовских распределений значений параметров формируемой решеточной системы в процессе кристаллизации расплава при не- которых определенных внешних управляемых воздействиях.

Соответственно анализ полученных результатов показал, что условия получения структур на микроуровне (наноструктур) зависят от правильности выбора и построения математической модели технологических процессов получения структуры кристаллизации и задания определяющих соотношений факторов процесса. В частности, математическое моде- лирование процессов кристаллизации позво- ляет прогнозировать возможности получения гарантированных свойств структуры сплава в зависимости от условий процессов плавки и кристаллизации расплава, а также вида и мощности управляющих воздействий на расплав, то есть обеспечивать такое соотношение ст0 ,т0 и

^5, при котором разрушение металла в процессах последующей эксплуатации не наступит при допустимых и прогнозируемых величинах его упругой и пластической деформации.

В расплаве термодинамические параметры могут быть представлены через потенциалы, в том числе и термодинамический потенциал, в

∂ωω соотношениях kl = 1/ в, при этом---=-- ∂TT

.

В зависимости от типа и размера формируемой при кристаллизации микроструктуры, типа и размерности решетки, характера взаимодей- ствия частиц можно создавать условия для получения регулярной кристаллической структуры с различной размерностью конфигурационного пространства.

Без нарушения общности подхода представим бесконечную систему с множеством частиц на одномерной решетке Ā с бинарным взаимодействием с внешним полем некоторой физической природы. Потенциальную энергию взаимодействия конфигурации представим в виде:

U(N) = 1 Z n njQ2 (1 - j) + Z n Q1 (1) , (6) 2 i, j                              i е Z где N – некоторая финитная функция, определенная на множестве Z и имеющая значения в интервале множества {0,1}, ni – значение функции N в точке i ∈ Z,

Q ₁ (i) – потенциал внешнего поля со значениями на подмножествах R U { ^ }, удовлетворяющий предикату: ^р = ( kl ) ^{- 1} >  0 при условии:

ехр{ - P Q 1 (x )} ^ v е L” ( Z ) .      (7)

Тогда бинарный потенциал взаимодействия молекул и частиц расплава будет иметь вид:

Q 2 (i-j) = юпpи |i-j| =0,

Q 2 (i-j) = 8пpи|i-j|=1,       ⁽⁸⁾

^Q 2 ^(i-j⁾ = ⁰ при |^i-j|>¹

и должен удовлетворять следующему условию регулярности:

^в >  0, f, = exp{ - e Q 2 ( i )} — 1 e L ( Z ) ;

f = exp { -/ Qi ) } — 1 e L * ( Z ) .

Для изучения механизма образования кристаллической структуры при управляемом внешнем воздействии на расплав, а также межфазного взаимодействия формируемых структур, особенно при исследовании динамики многофазных структур, установления природы и механизмов взаимодействия доминирующих структур предположим, что производящие функционалы для характеристик гиббсовских распределений формируемой решеточной системы могут определяться в банаховом пространстве Н α , аналитически заданных на множестве L ( Z ) функционалов вида:

A(t)- T aa ⁽ N П Ф •       (10)

И частичные пл ^N отности и ^Z корреляции являются функциональными, зависящими от потенциалов взаимодействия, в случае простых жидкостей – потенциала внешнего поля и парного потенциала ф (r ) . Функциональные разложения по функциям Майера f ( r ) = exp( -ф (r ) - 1 и модификация этих разложений – вириальные разложения и их частичное суммирование – приводят к рядам ограниченной сходимости.

Предлагается произвести замену переменных – в качестве независимых переменных выбрать не потенциалы, а частичные плотности или корреляции. Такая замена осуществляется функциональным преобразованием Лежандра

Ф(x) ^ф(у ) = (xy) - Ф(x), замена аргумента x определяется условием дф / дx = 0, то есть у( у) является экстремальным по x значением функции ф(x, у) = (xy) — Ф(x), x является решением уравнения у = дФ / дx и dy = (xdy) . При обратном преобразовании Лежандра ^(у) ^ Ф(x) = (xy) — ф(у), дФ / ду = 0 функция Ф(x, у) = (xy) — ф(у) экстремальна по у. Тогда x = дф/ду и dФ = (ydx).

(Альтернативное определение

^ ( У ) = Ф ( x ) — ( xy )

отличается только знаком).

Аргументы x и y могут принадлежать любому пространству, быть действительным или мнимым числом, многомерным вектором, функцией или функционалом, что соответствует реальному процессу управляемой кристаллизации.

Следовательно, термодинамический потенциал как функционал вариационной задачи расчёта параметров кристаллизации может иметь несколько минимумов. Глобальный минимум определяет стабильное состояние процесса. Другие минимумы определяют ме-тастабильные состояния. Вариационный метод позволяет определить границы существования стабильного и метастабильных состояний. Критерий локальной устойчивости определяется свойствами корреляции, бинарной для фазового перехода первого рода, четвертого порядка для переходов второго рода.

Следует отметить, что вариационный метод дает возможность применять прямые методы. В некоторых случаях такой подход может быть достаточно простым [5], но эффективность его применения может быть значительно выше при автоматизации расчётов с использованием производительной вычислительной техники. Определение термодинамических параметров через свободную энергию – функционал вариационной задачи автоматически решает проблему термодинамической согласованности вариационного метода при моделировании процессов кристаллизации расплава.