Исследование и решение начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа

Ранее в работе [3] был исследован вопрос о возможности преобразования с помощью одной модификации функции гибкой структуры начальных и краевых задач для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом различных типов к разрешающим интегральным уравнениям смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом. В работе показано, что такое преобразование возможно для всех линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма запаздывающего типа, и получены условия, накладываемые на некоторые коэффициенты внешнего и внутреннего дифференциальных операторов для уравнений нейтрального и опережающего типов.

В работах [4]-[5] было показано, что начальная задача для всех линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа и определенных видов нейтрального типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим возможность такого преобразования для уравнений опережающего типа с одним отклонением при старшей производной во внешнем дифференциальном операторе l   n—1

x

y (n)(и (x)) + SSI fj (x) y(i)(Uj(x)) + ^jKj(x,n)y(i)(Uj(n))dn I = f (x),   (1)

j = 0 i = 0

a

где u ₀ ( x ) = x , U j ( x ) <  x V j = 1, l , функции f_y ( x ) , н_у ( x ) и f ( x ) - непрерывны, ядра

K ij ( x , n ) - регулярны в квадрате a <  x , n <  b .

Выпишем начальные условия

y ⁽ i ) ( U j ( x )) = ф ₁ ( U j ( x )), i = 0, n - 1, x e E x 0 ,                           (2)

l где Ex = U Ex , E3X — множество точек, для которых соответствующие u X x) < x0 * л xo j = о x о x о                                        ' ' '               1                              j                     x z 0

при x >  x о V j = 1, l , E = [ a , x o ] .

Предполагая, что решение задачи (1) – (2) существует и единственно, решение на отрезке x e [ x ₀, b ] будем искать, применив для преобразований одну из модификаций функции гибкой структуры [ 1 ] - [ 2 ] .

+

u_j ( x )

I x0

y < i)(Uj (x)) = D-1

diA n (Uj( x) -1)

d xi

n

Z У*-1)( xo)

5 = 1

-ц( 1) dt

d A * (uj (x) - x0) dxi

' ⁿ

+ YiUj (x)д(Uj (x)),

где i = 0, n ,    Y n = 1, Y i = ⁰ V i = 0, n - 1, D=D ( r 1 , r ₂, , r_n )

l

( 3 i ) определитель

Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r ₁, r ₂, , r_n .

Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель A * ( x - 1 ), * = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp Г 1 ( x - 1 ),exp r ₂( x - 1 ) , .„, exp r n ( x - 1 ) и ^ ( x ) - новая неизвестная функция.

Так как любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить в виде функции с гибкой структурой [1], [2], то преобразования, выполненные с её помощью, приведут к разрешающему интегральному уравнению, эквивалентному первоначально поставленной задаче Коши. За счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры можно получать решения в замкнутой форме, а если это не удается, то ускорять процесс приближенного решения и влиять на объем вычислений.

Параметры в определителе D могут быть и равными, в этом случае пределы выражений

- 1 d i A * ( U j ( x ) - 1 )

D                 имеют вполне определенные значения, вычисляемые по правилу

dx

Лопиталя.

Наименьший из корней уравнений Uj (x) = x0 на отрезке x e [ x0, b ] обозначим через Cj, если таковых нет, то принимаем Cj = b. Разобьем интегралы на сумму в соответствии с определившимися начальными множествами Exj и, учитывая начальные условия (2), подставим функцию гибкой структуры и ее производные (30) - (3n) в уравнение (1), выделяя при этом известные и неизвестные выражения под знаком интеграла. Во вновь полученном равенстве в двойных интегралах x                    Uj (n)

d i A n ( U j ( n ) - 1 ) d n i

j K ij ( x , n ) d n j

^ ( 1 ) dt

с _j                          x ₀

поменяем порядок интегрирования в соответствии с областью интегрирования cj ≤η < x, Uj (n) = t, x0 < t < Uj (n) и заменим их равными им интегралами

uj(x)         x            д'An (u.(n) -t)

J д(t)dt^Kj(x,n)-----p------dn.

x о                          ^дn

В интегралах

J Knj (x, n) u7. n (n )M( Uj (n)) dn cj произведем замену переменных, положив t = uj (n). Тогда n = Uj-Vt) (где uj 1(t) -

′ обратная функция для функции uj (n) ), dt = Uj (n)dn, новые пределы интегрирования ti = uj (c j ) = xо , 12 = u j (X) , и заменим их равными интегралами uj (X)

J K„j (x, uj (t)) u,*-1 (uj (t ))^( t) dt.

^x 0

Затем, суммируя интегралы с одинаковыми пределами интегрирования от неизвестной функции ^(t) и вводя обозначения для известных выражений, получим разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра ln

u , ( x )

u‘” (x)^(u (x)) + XX J  fj (x)D

-

j = 0 ' = 0 x ₀

x

+A J K j ( x , n ) D t

. 1 д1A ” ( u, (x) -1)

∂ x^{i       +}

-

! д ' ( u ( n ) - 1 )

1-----j :-----dn +

∂ η ⁱ

+Ж (x, иj1 (оW.”-1 (иj1 (t^ utodt = F(x) j , VJ/Wj \vv       ^^v

Далее, поделив последнее равенство на u‘” (x) ^ 0, введя новую переменную z = ul (x) (x = u/"1( z )) и обозначения для известных выражений, получим для задачи (1)-(2) разрешающее уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом i vj( z)

A ( z ) + X J H j ( z , t / “ < t ) dt = Ф ( z ), j = ⁰ x 0

где

Hj( z, t) =

dul (uj1( z) dul"1( z)

uj'(z )

- n

n

X fj (u;'( z)) D i=0

-

. 1 д1A ” (u, (u^ z)) -1) +

(dW-Ч z )) '     ⁴

+X J Kj(u,-'(z),n)D t

-

4 d'(u (n) -1)

1-----j---:-----dn + ∂ηi

+XK, (u,-1(z), u-1(t))u‘”-1(u,-1(t)) ,

Ф ( г ) =

dul (ut \ z) duf( z )

- n

ln

n

f (u ;^l ( z )) - vv d ¹ Z y' ⁵ ~ ¹⁾ ( x > ) х

х ju;4z))

j=0 i=0 L diA 5 (Uj (иЛ z )) - xo) (du t Z)) i

5 = 1

+

U_; *( z )

d i ^A 5 ( U j ( n ) — x 0 ) d η ⁱ

d η +

+X J K , ( u "‘( z ) n )

с j

j

+ X J K j ( u - 1 ( z ), ПШ U j ( n )) d n *.

Вывод. Задача Коши с начальными условиями (2) для интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом опережающего типа (1) с помощью одной модификации функции гибкой структуры (30)-(3n) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра (4) с обыкновенным аргументом. Единственное решение, которое существует при выполнении условий: функции Ф (z), H (Z, t) в разрешающем уравнении (4) ограничены в заданном квадрате ul (x0) < z < ul (b),

| Ф ( Z ) <  F ,

I HX Z , t ) <  Q, <  Q , Q = max Q .

I j                   j                      o < j < l j

Доказательство можно   провести,

применив метод последовательных приближений и метод от противного [4].

Примеры

Приведем примеры решения начальных задач для интегродифференциальных уравнений Вольтерра опережающего типа.

Пример 1. Найдем приближенное решение задачи Коши для уравнения опережающего типа x_3

л FF / x Г __

4 у (-) - у ( n ) d n = 1 - x - —,

2 i

<

У ( X ) = 1 + X ² ,

У ’ ( x ) = 2 x , x 0 = 0,

y

(2 J

. x ²

= ¹ + T’

на отрезке x е

, ( x J y 12 J

°'T

x

= —.

с точностью a = 0,0001 .

Решение. Выпишем данные задачи u0 (x) = x, f 21 (x) = 4, x z                       z              _ 1      /z x 1

Z = - = U1( x), x = 2 Z = u 1 (Z), 0 < Z < 4, u1(x) = 2’ x 3

X = - 1, K 00( x , n ) = 1 , f ^{( x} ) = 1 ^{- x -} —.

Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки E = E ₀ ∪ E ₀ = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам в разрешающем уравнении (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры ( 3₀ )-( 3₂ ) в данное уравнение

М ( X ) + 4 ^ D -

2       s = 1

_y ( s - 1)₍₀₎

x d2∆s(x)  2∂2∆2(x-t)

₂ 2 +         2₂     µ ( t ) dt

dx         ∂x

-

X         2                          П

• - J D - £ y ⁽ * ^{- 1)} (0) Д * ( n ) + J Д 2 ( n - 1 ) M (t ) dt 0       L * = 1                          0

  d η = 1 - x -   .

  
  

Для сокращения объема выкладок положим r ₂ = r ₁ = r и, подставив значения выражений

• _{- 1} ∂ ⁱ ∆ _s ( u _j ( x ) - t )

lim D                 , i = 0,2, j = 0,1, s = 1,2 , приведенные в монографии [3], r2 →r1              ∂xi найдем x 2 r(x-t)

µ ( ) + 4 e ²

xx

(2 + r ( - t )) µ ( t ) dt - µ ( t ) dt ( η - t ) e^{r ( η - t )} d η =

42      0 t

3 rx

= 1 - x -   + e ² r ²

1 + r

x

+J (1 - rn) endn

x

Наиболее простое разрешающее уравнение будет при r = 0 и, положив z = , получим

2 z

4 z ³

µ ( z ) - 1 (2 z - t )² µ ( t ) dt = 1

4 z ³

Возьмём µ ₀ ( z ) = 1 - 3 и вычислим два последовательных приближения к решению разрешающего уравнения

µ ₁( z ) = 1

-

32z6

µ (z) = 1 -

45 , 22835

.

По формулам, приведенным в

работе [4], предварительно вычислив при 0 ≤ z ≤ 4 ,

x ₀ = 0, l = 1, k = 2

F = max 1

4 z ³

= 1, Q = max

0 ≤ z , t ≤

2 = ¹ = _8,

посчитаем погрешности вторых приближений разрешающего уравнения αµ  и начальной задачи α y2

(1 Y

a -1

A 2

a < a,, max

^{У 2}        " 2 0 < x < ¹

3- • 23

V8 J

V 4 J

e

(2 +1)!

^- • 2 • ^-

4 ~ 0,00005

,

jD "1Д 2( x —t) dt 0

a

^ 2

I x ^— t I" max 0 < x < ¹   2

x

0,000006.

Найдем теперь приближенное значение решения поставленной задачи по формуле (3₀) , положив M ^(x ) ~ ^ 2 ^{( x} )

у (x) ~ D—1

x

£ у1 —1 (0)Д,(x) + j Д2(x—t)Д2 (t)dt

s = 1

x2     184    11

— 1 +----x

2  155925

Как видим, требуемая точность достигнута а_у^ ~ 0,000006 << a — 0,0001 .

x

Зная точное решение поставленной задачи у (x)  1 + 2 , нетрудно посчитать и точное значение погрешности

5 — max

184x11

^{0£ x £ 1} 2 155925

184 х 4 » 0,0000005 155925 211               .

Оно значительно меньше требуемой точности по условию задачи.

Пример 2. Найти решение задачи Коши

x

4,у 4х)— j у (n) dn = — x.

2   0

« у (x) — x2 +1, у'(x) — 2 x,

( x ^

.у 2

V 2 J

x

+1, у у

( x ^

V2 J

2, ^x 0   ^0.

Решение. В данном примере интегродифференциальный оператор и начальные условия те же, что и в примере 1 ( Ex_o — [ 0 ] , у (0) = 1, у ' (0) = 0 ) . Поэтому, воспользовавшись выкладками примера 1, можем сразу записать разрешающее интегральное уравнение

x 1x 2

ц(—) — l(x—t) ^(t)dt=—x+x=0

.

2   20

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет ^ ⁽ z ) = 0 , где z — -x .

Решение поставленной задачи при r₂ ^— r 1 ^{— 0} найдем по формуле ( 3₀ )

у (x) — D-1

x

£ ys 1 (0) Д s (x) + j Д 2( x -t) ^( t) dt —

s = 1

= lim D-1∆1(x) = (1- r(x- x0)er(x-x0) = 1 r2→r1

Нетрудно проверить, что условия начальной задачи выполняются.