Исследование электромагнитного поля в одномерных фотонных кристаллах с дефектами

Фотонные кристаллы (ФК) – это структуры с характерным масштабом периодичности диэлектрической проницаемости порядка длины волны электромагнитного излучения [1].

Спектр электромагнитных волн в таких структурах имеет зонный характер. Наличие фотонных зон (стоп-зон) дает возможность управлять скоростью оптического излучения атомов [2].

Уникальная комбинация локализации света и изменения радиационной динамики открыли широкие возможности управления оптическими свойствами фотонно-кристаллических сред [2–6].

Введение дефектов, нарушающих периодичность фотонно-кристаллической структуры, приводит к возникновению дефектных частот, лежащих в запрещённых зонах (так называемых дефектных мод). Плотность фотонных состояний этих мод значительно больше, чем плотность мод на краях запрещенной зоны [3, 4]. Подобные структуры находят применение в лазерах, волноводах, разветвителях и потенциально могут использоваться при создании оптических микросхем. Классификация дефектов и их влияние на спектры традиционных ФК-структур с широкой стоп-зоной большей, чем осцилляции, представлены в работе [7]. Количество публикаций, посвященных изучению ФК с высоким диэлектрическим контрастом и дефектами, непрерывно растет с выявлением новых интересных свойств [8–13]. Между тем свойства сверхрешеток с малым диэлектрическим контрастом отличаются от свойств ФК с высоким диэлектрическим контрастом [14, 15]. Работы, в которых бы исследовались неупорядоченные ФК структуры с низким диэлектрическим контрастом, практически отсутствуют.

Между тем биофотонно-кристаллические структуры (БФС) растений и животных [16, 17], встречающиеся в природе, например, в крыльях бабочек [18], в чешуе рыб [17] и в растительных клетках [19], имеют небольшое число слоев (до нескольких десятков) с низким диэлектрическим контрастом и отклонения в распределении толщин компонентов.

Скрытая периодичность в них была найдена на основе метода синтеза сверхрешеток, используя известное множество Кантора [17].

Целью работы было проведение исследования и анализа спектров пропускания фотонных кристаллов и локализации поля в слоях при нарушенной упорядоченности.

Внимание исследователей к таким объектам возросло после прямого экспериментального обнаружения ФК-структуры в растении бегония [19].

В данной работе проведено исследование поведения электромагнитного поля в ограниченных фотонных кристаллах с дефектами. Для расчетов использовались показатели преломления, близкие к биологическим, а структурные единицы обладали разупорядоченностью по толщинам. Также была решена обратная задача нахождения скрытой упорядоченности на основе множества Кантора.

Математическая модель

Расчеты проводились с использованием метода трансфер матриц [3, 20]. Этот метод позволяет рассчитывать спектр пропускания и отражения периодических, квазипериодических и неупорядоченных структур. ФК представлял собой чередующиеся слои с фиксированными толщинами и показателями преломления. Увеличив в два раза толщину одного из слоев, получали дефект. Разупорядоченность структуры достигалась изменением толщин слоев от первоначально заданных ( L i 0 ) при случайном искажении толщин. L i = L i 0 (1– S ) , S – случайное число в диапазоне [ –R /100 ; R /100] при равномерном распределении , R – степень разупорядоченности (%).

Рассматриваемая структура приведена на рис. 1.

В среде, состоящей из слоев толщиной ZN и показателем преломления nN, распространяется плоская электромагнитная волна. Плоскость её падения yz. Амплитуды волн (A и B), идущих в правом и левом направлении соответственно, в предыдущем слое зависят от этих же значений в текущем [16]:

Рис. 1. Фотонно-кристаллическая разупорядоченная слоистая структура c распространяющимися вдоль оси z плоскими электромагнитными волнами. Заштрихованный прямоугольник – дефект по толщине в центре структуры

Для ТЕ-волны (электрическая составляющая перпендикулярна плоскости падения):

E ( z , N ) = ( A NE e - ^ikN^z + B^T_N ^E e ^ik ”^z ) ,

H ( z , N ) = IR n ( A NE e- ik N z - B NE e^ik N^z ) , C = y k N" .     ⁽²

k N - 1

Для ТМ-волны:

H ( z , N ) = ( A™ e ^{- ik}N^z + B NM e^ik N^z ) ,

E ( z , N ) = i n N ( A TM e'' - B NM e^ik N^z ) , C = k " N , ^{(3) k}N                             ^kN n N - 1

R n = - 7 n N - n ² sin^{2 9} ,                           (4)

c где z - локальная для каждого слоя переменная, начало отсчета по ней помещаем на правую границу слоя; 9 - угол падения луча из внешней среды.

При нормальном падении света R n = го n N /с выражения (2) и (3) становятся тождественными.

Зная, что на выходе из структуры существует только исходящая волна ( A out ; B out =0), можно получить массив относительных значений амплитуд в каждом из слоев ФК путем компьютерных вычислений.

Коэффициент пропускания:

N = 1 -

B 0

A o

Эти вычисления позволили найти распределение электромагнитного поля в слоистой структуре.

Результаты расчетов и обсуждение

В комплекс из 39 чередующихся слоев с показателями преломления n 1 = 1,5 (типичный для органической материи) и n 2 = 1,3 (характерный для цитоплазмы) [21] и толщинами L 1 = 1- L , L ₂ =2- L был внедрен дефект, расположенный в центре ( N d = 20, n d = n 2 = 1,3, L d = 2- L 2 = 4- L ). Для видимого диапазона света L ~50-100 nm (характерный линейный размер для гран

(БФС) [14]). Рассматривалось нормальное (перпендикулярно слоям) падение света.

На рис. 2 представлены рассчитанные частотные зависимости коэффициента пропускания Т для ряда фотонных кристаллов с числом слоев N =39, го - в единицах 2nvL / с , L - линейный размер слоев, v - ча-

Т 0.8 0,6 0,4 0,2 0

0,5       0,6       0,7       0,8        0,9      1,0

Рис. 2. Частотная зависимость коэффициента пропускания T для фотонного кристалла. (1 – пример бездефектной структуры, 2 – фотонная структура с дефектным слоем в центре, 3 – дефектный слой в центре кристалла, до него и после него разупорядоченная структура при случайном искажении толщин, 4 – разупорядоченная структура, как и на 3 графике, рассчитанная с использованием фрактала Кантора.) a и c – края стоп-зоны, b – дефектная мода

Первоначальный спектр (до внедрения дефекта) показан на рис. 2(1). Изменения, произошедшие в спектре после увеличения толщины центрального слоя, показаны на рис. 2(2).

При случайном разбросе толщин слоев частотная зависимость коэффициента пропускания изменяется. Для 20 % разброса имеет вид рис. 2(3). Следует особо упомянуть, что толщина центрального слоя неизменна ( L d = 4 L ). Частоты а и c отмечают края стоп-зоны, b - расположение линии пропускания, обусловленной дефектом.

Как видим, при учете разупорядоченности отмечается нарушение в периодичности спектра отраже- ния фотонного кристалла. Но дефектная мода остается ярко выраженной.

На рис. 2(4) представлена частотная зависимость коэффициента пропускания Т для фотонного кристалла с дефектом и разупорядоченная структура, как и на графике 3 рассчитанная с использованием фрактала Кантора. Как видим, эти графики подобны.

На рис. 3 представлена частотная зависимость максимума электромагнитного поля в зависимости от особенностей структуры фотонного кристалла.

Рис. 3. Частотная зависимость квадрата модуля электрического поля E в дефектном слое. 1 – упорядоченная структура без дефекта. 2 – дефектный слой расположен в центре структуры. 3 – дефект в центре разупорядоченной структуры. a и c – края стоп-зоны, b – дефектная мода. На вставке изображены слоистые структуры (номера которых соответствуют номерам рассчитанной частотной зависимости модуля электрического поля E). Темным изображено положение дефектного слоя

В бездефектном кристалле поле увеличивается на краях стоп-зоны (рис. 3(1)). При наличии дефекта локальное поле увеличивается на частоте дефектной моды ( b). Это происходит как в упорядоченной структуре с дефектом в центре, так и при наличии неупорядоченности по толщинам слоев на дефекте в центре.

В работе было рассмотрено, как изменяется величина поля на краях стоп-зоны и на дефекте в зависимости от числа слоев N . При увеличении числа слоев от 40 и выше интенсивность поля на дефекте возрастает в десятки раз. На краях стоп-зоны интенсивность также увеличивается, но в меньшей степени (рис. 4).

Для природных объектов характерна вариативность подструктур по линейным размерам. На рис. 5 приведены среднеинтегральные спектры слоистых сред с дефектом при различных коэффициентах разупорядоченности. На рис. 6 представлена карта модуля амплитуды электрической составляющей ЭМ-волны в одной из случайных конфигураций фотонного кристалла с дефектом и неоднородными подрешетками на частотах, вызывающих максимальное усиление. Легко заметить, что существуют такие длины волн, при которых в дефектном слое сохраняется усиление, хотя на общеинтегральном спектре (рис. 5) отдельные линии пропускания и полосы отражения уже не отслеживаются.

Рис. 4. Зависимость величины поля на краях стоп-зоны a, c и на дефекте b от количества слоев фотонного кристалла (от N = 20 до N = 60)

Рис. 5. Среднеинтегральные спектры пропускания ФК-решетки с варьируемой толщиной слоёв в зависимости от максимальной амплитуды случайных отклонений линейных размеров от первоначально заданных (39 слоев, 20-й – дефектный с двойной толщиной, нечетные n = 1,5,

L = 1; четные n = 1,3, L = 2)

Аналогичная картина наблюдается и при наклонном падении света. Но степень локализации на дефекте у ТЕ- и ТМ-мод различна (например, при угле Брюстера на ТМ-моде происходит 100 % пропускание). На рис. 7 показаны изменения амплитуд волн в среде при частотах, соответствующих краям стоп-зоны и дефектной моде. Значения взяты для слоев с максимальным усилением электромагнитной волны. a TM , c TM , a TE , c TE – квадрат амплитуд для частот на границе зон селективного отражения; b TM , b TE – амплитуда волн, локализованных в центральном уширенном слое при частоте дефектной моды.

В работе [4] проанализированы особенности коэффициентов пропускания и распределения поля в конечной слоисто-периодической структуре. Показано, что значение электромагнитного поля в центре структуры для максимума пропускания, ближайшего к запрещенной зоне, может превышать амплитуду падающего поля более, чем на порядок. При этом максимальная величина поля линейно возрастает с увеличением количества слоев. Эти результаты были получены для идеальной структуры фотонного кристалла. В данной работе проведено аналогичное ис- следование поведения электромагнитного поля в ограниченных одномерных фотонных кристаллах с элементами беспорядка и дефектами.

h

abc

a be

TT^

0 0,5 1,0 1.5 2,0 2,5 3,0

0 0.5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0

Рис. 6. Спектр пропускания (сверху) слоистых сред; ниже – распределение амплитуды электрической составляющей электромагнитного поля в неискаженной (слева) и искаженной слоистой среде (степень разупорядоченности 50 %) при различной частоте ( a, c – можно отождествить с краями зоны селективного отражения, b – дефектная мода). Слоистые структуры на рисунке в реальности имеют разную общую толщину

Рис. 7. Максимум модуля амплитуды электромагнитных волн, локализованных внутри слоистой среды при разных углах падения света. ( a , c – при частотах на краях зоны селективного отражения, b – дефектная мода)

В согласии с работой [4] для упорядоченной структуры без дефекта получено увеличение величины поля на концах стоп-зоны (рис. 3(1)) для исследуемой структуры. При введении дефектного слоя в центре структуры наблюдается значительное усиление в нем амплитуды волн при частотах, соответствующих дефектным модам (рис. 3(2), 3(3)), причем это увеличение больше, чем на краях стоп-зоны, во всех рассматриваемых случаях.

В работе [17] для разупорядоченных структур предложен метод нахождения скрытой упорядоченности, позволяющий изучать их как фотонные кристаллы. Авторы считают, что в основе «хаотичности» должен быть порядок. Они не только объяснили серебристость рыб с помощью фрактальной геометрии, но и теоретически воспроизвели такие отражатели. Для представления разупорядоченной структуры был использован один из старейших фракталов – множество Кантора. Они сконструировали структуры с заданными оптическими свойствами. Для этого к фракталу Кантора был использован генетический алгоритм [22] поиска оптимального решения, моделирующий естественный эволюционный процесс. Алгоритм включает скрещивание, селекцию лучших решений и формирование нового поколения с нужными свойствами.

В данной работе также использовался подобный метод. Структура моделировалась, используя множество Кантора.

На первом этапе из образца с показателем преломления n 1 длиной, соответствующей 39 слоям рассматриваемого ФК, вырезалась 1/3 в центре и заменялась средой с показателем преломления n 2 . После этого для каждого участка с показателем преломления n 1 проводилось аналогичное преобразование. Получаем структуру, подобную упорядоченному ФК. При случайном изменении толщин слоев возникают объекты, более похожие на природные. После этого проводился расчет спектра отражения полученной структуры. Для получения спектра, аналогичного заданному (который может быть получен для экспериментального объекта), проводилась оптимизация разупорядоченной структуры (полученной при использовании множества Кантора), используя генетический алгоритм. Генетический алгоритм позволяет найти оптимальное решение к аналитически неразрешимым проблемам через периодический подбор и комбинирование изначальных данных с использованием методов, напоминающих биологическую эволюцию. Это позволило получить искомую структуру. Найденная структура представляла фотонный кристалл с дефектами. Сравнение результатов расчетов спектров разупорядоченного образца с 20 % разбросом толщин слоев с дефектом (рис. 2(3)) и расчета аналогичной структуры, полученной методом с использованием множества Кантора (рис. 2(4)), показало, что характер спектров сходен в обоих случаях. При этом параметры решетки составляли L 1 ^k =68 nm и L 2 ^k = 130,2 nm. Таким образом, идентичность этих спектров подтверждает возможность использования метода c множеством Кантора для нахождения скрытых структур.

Изменение угла падения света не приводит к смене характера локализации электромагнитных волн: усиление на частоте дефектной моды больше, чем на границах зоны селективного отражения. При этом усиление поля на дефекте наблюдается для ТМи ТЕ-моды при наклонном падении луча света выше угла Брюстера.

Выводы

Проведено исследование ограниченных одномерных фотонных сверхрешеток с малым диэлектрическим контрастом, содержащих элементы беспорядка и дефекты. Выявлено, что, несмотря на низкий диэлектрический контраст линейных размеров слоев и неупорядоченность (до 50 %), такие структуры обладают уникальными оптическими свойствами, присущими ФК. Центральное расположение дефекта способствует возможности усиления амплитуды электромагнитных волн в нем. Общая разупорядоченность окружающих слоев также оставляет эту вероятность. При увеличении числа слоев в кристалле поле на дефекте усиливается в несколько раз (на полосе пропускания внутри стоп-зоны).