Исследование надежности совокупности элементов и подсистем производства

В последнее время все актуальнее стоит вопрос об интеграции технологических систем корпораций в единую систему для выполнения заказов, разделении функций отдельных предприятий при создании высокотехнологичной продукции в соответствии с наилучшими компетенциями [1-5]. Эти же вопросы возникают при кооперации малых предприятий, по аналогии с зарубежным опытом аутсорсинга, например, компаний Boeing и Airbus [6-9].

В этих условиях весьма серьезной и актуальной становится задача обеспечения надежности совокупности элементов, узлов, комплектов изделий, поступающих от поставщиков на финишную сборку, а также контроль и мониторинг состояния элементов и подсистем технологических и производственных систем во всей кооперации [10,11].

Поскольку сложные системы, в том числе и системы машин, имеют большое число элементов и связей, рассматривать всю совокупность которых при решении практических задач бывает невозможно и нецелесообразно, то будем исследовать не сами системы, а их структуры. При этом под структурой системы будет пониматься схематически или математически представленный состав основных элементов системы, необходимый и достаточный для достижения цели исследования. Под связью в системе будет пониматься условие, определяющее одно из взаимодействий элементов системы. Понятие «элемент системы» является условным понятием, поэтому в дальнейшем под элементом системы будет пониматься условно неделимая часть системы, признак выделения которой определяется постановкой цели исследования.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Исследуем систему с экспоненциальной функцией надежности и постоянным временем восстановления, готовность и ее дисперсию для заданного числа циклов, конечного интервала времени и установившегося состояния. Приведем некоторые критерии расчета системы, основанные на модели ее стоимости и включающие функцию готовности [12-14]. Получим оптимальные значения среднего времени до отказа системы и среднего времени восстановления. Опишем методы исследования чувствительности этих оптимальных значений во всей системе в целом.

Рассмотрим подсистему, для которой время до отказа имеет экспоненциальное распределение: f (t) = m-1 exp (-m -11), где m – среднее время отказа.

Если система отказывает, то время восстановления R предполагается постоянным. Это предположение имеет смысл, так как в настоящее время поиск неисправностей проводится автоматически с точностью до сменного модуля при исследовании оборудования и ремонте «по состоянию».

Существуют системы, для которых готовность полной системы определяется готовностью всех входящих в нее подсистем и элементов. Кроме того, все подсистемы контролируются таким образом, чтобы функции надежности совпадали. Например, в некоторых системах связи всех подсистем должны иметь вероятность безотказной работы в течение суток 0,98. В этом случае:

X j m 1 exp (-tm

¹ ) dt = 0,98 , откуда m =1200 час.

Это значение можно использовать в качестве субъективного критерия для расчета системы. Таким образом, если для готовности системы необходима готовность одновременно S подсистем (элементов), интенсивность отказов каждой подсистемы равна m ^{- 1} и отказы подсистем независимы, то время до отказа всей системы распределено по закону:

—St f (t) = Sm~'exp(- Sm ~'t) = —em .                           (1)

m

Готовность есть часть времени, когда система работоспособна. Следовательно, в течение одного цикла готовность системы равна t / ( t + R ) , где t рассматривается как функция и имеет распределение (1). Таким образом, готовность на одном цикле А(1) равна среднему значению величины t / ( t + R ) .

Следовательно,

X

A (i) = j t ⁽ _{t +} R ^{)— 1 (} Sm ) exp⁽- Sm ) d_t ,

S то есть является преобразованием Лапласа функции t/(t + R), умноженной на S/m . Легко показать, что:

A (1) = Kexp (K )Г(-1, K), или, что эквивалентно:

A (1) = 1 - K exp (K) Ei( K), где K = RS/m ; Г( b, у) – неполная гамма-функция, определяемая выражением:

ж

г(b, у ) = j exp (-U) Ub-1 dU, y да

Ei (x) = j m-1 exp (-a) dm. x

Дисперсию функции t/ ( t + R ) назовем дисперсией готовности. Приближенную оценку этой величины можно получить, используя формулу:

V (f (t)) = (f (E(t))) V (t),                                     (2)

по которой дисперсия функции от t равна квадрату первой производной этой функции, вычисленной для среднего значения переменной t , умноженному на дисперсию переменной t . Таким образом, если f ( t ) = t/ ( t + R ) и t распределено по (1), то: E ( t ) = m/S ; V ( t ) = ( m / S ) 2 ; V ( tit + R ) = K ² ( 1 + K ) - y .

j = i

Общее время работы системы за i циклов равно T + iR, где T = ^ tS, и следовательно, равно i -кратной свертке переменной t .

j = 1

Так как t распределено экспоненциально, Т имеет гамма-распределение с i степенями свободы. Таким образом, готовность системы для i циклов Ai есть среднее значение функции T / ( T + iR ) и равно:

A (i) = j T (T + iR)-1 g (T) dt, где g(T) = T-1 (S/m)‘ (r(i)) exp(-TS /m).

Имеем:

A ( i ) = i ( iK ) i exp ( iK ) Г ( - i , iK )

Г

A (i ) = ( S/m) (Г( i)) (- iK) exp (iK) Ei( iK ) + £( j -1) / (-iK)- j (m/S) j , да

где Ei (x) = j m- exp(-m) dm.

u

Приблизительную оценку для дисперсии готовности, обозначаемую для i циклов через

V ( A ( i ) ) , можно получить с помощью выкладок в [15].

Подставляя в него E ( T ) = im/S , V ( T ) = i ( m/S ) 2 и f ( T ) = T ( T + iR )

, получаем выражение

V ( A ( i ) ) = i ¹K ² ( 1 + K ) 4 , справедливость которого вытекает также из независимости циклов.

Установившаяся готовность есть предел готовности для многих циклов, когда число циклов

—

стремится к бесконечности. Установившуюся готовность можно вычислить как взвешенное среднее значение функции t/ ( t + R ) для одного цикла, то есть:

да j t (t + R) 1 m( t)(S / m) exp (-tS / m) dt

A = --------------------------------------, да                                                                          , j m( t)(S / m) exp (-tS / m) dt где весовой коэффициент m(t) = t + R. Известно, что:

- 1

при m / S >>  R для некоторых систем ( m =1200 час., R =0,25час. и S < 60 ) A = 1 - K .

Можно легко показать, что результат в выражении (4) не зависит от распределения t (и R). Числитель выражения (3) равен m / S, а знаменатель равен R + m / S. Откуда и получается (4). Если R рассматривать как случайную переменную, то (3) имеет два (двойных) интеграла. Однако результат остается прежним. Когда t и R распределены экспоненциально, можно использовать метод Маркова, как это показано в [15].

Дисперсию установившейся готовности V ( A ) можно получить из среднего взвешенного значения второго момента функции t / ( t + R )

Таким образом,

J t² ( t + R ) - 2 ®(t )( S / m ) exp ( - tS / m ) dt V ( A ) = £--------------------------------------- ,

J ю ( t )( S / m ) exp ( - tS / m ) dt - ( 1 + K ) 2

где весовой коэффициент & ( t ) = t + R . Остается оценить:

I = J t ² ( t + R )^{- 1} ( S / m ) exp ( - tS / m ) dt .

Имеем I = 2 ( S / m ) R ² exp ( K ) Г ( - 2, K ) или:

I = ( S / m ) ^ iR ( mS ^{- 1} - 1 ) + R ² exp ( exp ( K ) E i ( K ) ) j .

Известно, что для всех значений K и i A >  A ( i + 1 ) >  A ( i ) . Будем говорить, что произошло событие n , если в интервале времени (0, Т) наступило n отказов. Обозначим через V событие, заключающееся в том, что в момент Т система работоспособна, и через V^* – обратное событие. Обозначим через Q ( n , T ) вероятность одновременного наступления n событий V , и через Q *( n , T ) - вероятность одновременного наступления n событий V * . Обозначим P ( n , T ) вероятность наступления n событий.

По теореме полной вероятности:

P ( n , T ) = Q ( n , T ) + Q * ( n , T ) .

Найдем Q ( n , T ) . Событие n , V могут одновременно наступить только в том случае, если последний отказ системы произошел не позже момента T–R . Вероятность того, что в интервале времени (0, Т) система вообще проработала безотказно, равна exp ( - TS / m ) . Вероятность того, что в интервале времени (0, Т ) произошел отказ, равна:

T - R

Q ( 1, T ) = J Sm ^{- 1} exp ( - tS / m ) exp ( - Sm ^{- 1} ( T - 1 - R ) ) dt .

о

Откуда:

Q ( 1, T ) = Sm ^{- 1} ( T - R ) exp ( Sm ^{- 1} ( T - R ) ) .

Вероятность Q ( n , T ) для n =2 равна:

T - 2 R T - R

Q (2, T )= J J A • B • Cdt 2 dt1, t =0   12 = t1 + R где A = Sm-1 exp (-Sm-1t1) - вероятность того, что первый отказ произошел в момент 11, B = Sm-1 exp(-Sm-1 (12 -t1 -R)) - вероятность того, что второй отказ произошел через время 12 -(t1 + R) после устранения первого отказа и C = exp (-Sm-1 (T -12 - R)) вероятность того, что на интервале (12 + R, T) отказов больше не наступало. Тогда:

Q ( 2, T ) = ( 1/2 ) S²m ' ( T - 2 R ) 2 exp ( - Sm ^{- 1} ( T - 2 R ) ) .

Используя метод, с помощью которого получено выражение для Q ( 2, T ) , имеем:

Q ( n , T ) = £j +_й ) JJ -[П Sm ^exp ( - Sm ^{- 1} ( t i - t i - i - R ) • exp ( - T - t_n - R ) ) П dt i , ' ‘ ^{- 1}                            i = 1                                                                                                                            i = 1

где i=1, 2, ...., n и t ₀=– R .

После упрощения получаем:

Q ( n , T ) = ( Sm ^{- 1} ) ⁿ ( exp ( - ( T - nR ) ) ) j T_i ⁽ n ⁺ Ri ) R JJ ... \Yl dt i ,                 (5)

i ^{- 1}                             = 1

После ( n - i ) -кратного интегрирования, при ( n - i ) < n , подинтегральная функция I ( n - i ) определяется выражением

I(n -i) = ((n -i)I) (T - ti-(n -i +1)R) .

Тогда после п-кратного интегрирования интегральная часть выражения (5) равна:

I (n ) = ( nl )-1 (T - nR)n.

Откуда для n =0, 1, 2, ..., [ T / R ] получаем осеченное модифицированное распределение Пуассона: Q ( n , T ) = ( nI )^{- 1} ( Sm ¹ ) n ( T - nR ) ⁿ exp ( - Sm ^{- 1} ( T - nR ) ) .

Найдем Q * ( _n , T ). Очевидно, что Q * ( 0, T ) = 0 , так как если на интервале (0, Т) отказы отсутствуют, то в момент Т система должна быть работоспособна. Одновременное наступление двух событий, первое из которых состоит в появлении n отказов на интервале (0, Т), 1 <  n <  [ T / R ] , а второе – в том, что система не работоспособна в момент Т, может произойти тогда и только тогда, когда на интервале (0, t), T–R, появилось (n–1) отказов, система работоспособна в момент t и на интервале (t, T) произошел еще одни отказ системы. Тогда перемножая соответствующие вероятности и интегрируя по t на интервале (T–R, T), получаем [3]:

Q * ( n , T ) = TO ( n - 1, t ) P ( 1, T - 1 ) dt .                            (6)

T - R где P(1, x) = 1 - exp (-Sx / m). Если T / R - не целое число, надо рассматривать вероятность Q (1 + [ T / R ], T). В этом случае нижний предел интеграла в (6) надо заменить на [T / R ]. Следовательно, общее выражение для Q* (n, T) имеет вид:

Q ’( ⁿ ■ ^T )=C T -., . - 1 ) R ) Q ( ^{n - 1}, t ) ^P 0- ^{T -} t ) ^dt . (7)

Когда T/ R есть целое число, Q * ( T + [ T / R ] , T ) , определяемое (7) исчезает.

Если происходит событие, описываемое вероятностью Q^n, T ) , то время безотказной работы системы равно T - nR . Если происходит событие, описываемое вероятностью Q * ( n , T ) , то математическое ожидание времени безотказной работы равно T - ( n - 1 ) R - R /2 для 1 <  n < [ T / R ] и ( T - ( n - 1 ) R - ( T - ( n - 1 ) R ) ) /2 для n = 1 + [ T / R ] . Доля времени безотказной работы на интервале (0, Т) определяется отношением соответствующего математического ожидания к Т. Тогда готовность А(Т) на конечном интервале времени определяется математическим ожиданием доли времени безотказной работы, то есть имеет вид:

A (T ) = ЙТ ](T - nR)TQ (n,T ) +

' X ^] ( T - ( n - 1/2 ) R ) T ^{- 1}Q * ( n , T ) + ( T - ( n - 1 ) R ) ( 2 T )^{- 1} Q * ( 1 + [ T / R ] , T ) .           (8)

Когда R << T или когда Т стремится к бесконечности, можно получить приблизительную оценку выражения (8), если положить R =0 в определении вероятности P ( n, T). В этом случае Q * ( n , T ) = 0 , так как P (1, R )=0 и Р( n, Т ) имеет пуассоновское распределение со средним значением TS/m. Однако слагаемое Qn,TT в вероятности P ( n,T) будет зависеть от величины R , так как время простоя nR . Итак,

A (T ) = 1 - K ,

что совпадает с выражением для установившейся готовности. Дисперсия готовности на конечном интервале времени V ( A ( T ) ) , равна дисперсии относительного значения времени простоя, то есть

V ((T - nR) T-1 ) = V (nRT-1).

Приблизительную оценку этого выражения можно получить следующим образом. Рассмотрим дисперсию величины n , когда она имеет пуассоновское распределение со средним значением TSm^–1.

Дисперсия V ( n ) = TSm ^{- 1} , откуда V ( nRT ¹ ) = TSm ¹ ( RT ¹ ) , и, следовательно

V ( A ( T ) ) = R ² S ( mT )^{- 1} .                                 (10)

Рассмотрим, может или нет операция пуска системы быть выполнена в течение первого цикла, то есть нарушит ли первый отказ проведение этой операции? Предположим, что К=0,01. Тогда А(1)=0,96 и & = 0,01. В этом случае из неравенства Camp-Meidel в предположении симметричности распределения А(1) получаются следующие вероятности:

P ( A ( 1 ) < 0,96 - K ( 0,01 ) ) <  2/9 K ², ( K = 1,2,3,... )

P ( A ( 1 ) < 0,96 ) = 1/2

P ( A ( 1 ) < 0,96 + K ( 0,01 ) ) <  1 - 2/9 K ², ( K = 1,2,3,... ) .

Таким образом, получены приближения для распределения величины А(1), которые в совокупности с экономическими факторами можно использовать для ответа на поставленный вопрос.

Следующий вопрос: может или нет операция пуска системы быть выполнена в начальный период времени? Положим S =1, m = 168 час., Т =168 час. и R =1 час. Тогда из выражения (9) A ( T ) = 167/168 , и выражения (10) &  = 1/168 . Это распределение системы сильно сдвинуто влево. Используя неравенство Чебышева, получим следующие вероятности:

P ( A ( T ) < 1 - ( K + 1 ) & ) < K ^1/2, ( K = 1,2,3,... ) .

Эти границы в совокупности с экономическими факторами можно использовать для ответа на поставленный вопрос.

Исследуем проблему оптимального конструирования системы. Показано, что установившаяся готовность А приблизительно определяется выражением А= 1– РМ^-1, где М – среднее время до отказа независимое от распределения надежности системы. Дополнением готовности является время простоя D , следовательно, D = RM ^{- 1} . Рассмотрим систему экономических факторов, включающую стоимость оборудования, затраты в связи с восстановлением отказавшего оборудования, потери за время простоя, с учетом которых определим оптимальные значения конструктивных параметров. Одним из стоимостных составляющих является функция установившейся готовности, то есть времени простоя. Таким образом, стоимость оборудования есть функция от М, стоимость оборудования, необходимого для обеспечения частоты отказов М^-1, равна К₁ M ^a , где К₁ и а положительные постоянные. Стоимость, затраченная на обеспечение времени восстановления R , равна K ₂ R^b , где К₂>0, b ₂<0 – постоянные величины. Стоимость времени простоя пропорциональна времени простоя и равна K ₃ RM^{- 1}, где К₃- постоянная величина. Тогда общая стоимость С системы равна:

C = K 1 M a + K ₂ R b + K 3 RM ¹ .                         (11)

Предположим, что при конструировании системы можно варьировать значения двух параметров М и R . Тогда оптимальными будут также значения, при которых С – минимальна. Определяя частные производные и приравнивая их к нулю, получаем:

dC / dR = b • K2 • Rb-1 + K3 • M~1 = 0, dC / dM = a • Kj • Ma-1 - K3 • R • M-2 = 0.(12)

Откуда оптимальные значения Р* и М* равны:

R* = [(a• K,)-1(-b• K2)■"(K2)-a]('-b-ab’-',(13)

M* = [(■ • K1) b(-b • K2 )-1 (K2)b](ab*b-a’-l.(14)

Рассмотрим случай, когда R и М нельзя варьировать одновременно. Пусть уравнение (11) полной стоимости системы есть функция только одного параметра. Таким образом, если М фиксировано, то общая стоимость является функцией переменной R , и для определения его оптимального значения R ( M ) имеем уравнение (12), из которого:

R ( M ) = ( K ₃( - b • K ₂ • M ) ^{- 1})^{( b - 1)} ■ ' .

Аналогично, при фиксированном R получаем оптимальное значение M ( R ):

M ( R ) = ( K 3 • R ( a • K ₁) ^{- 1})⁽ ■ + ¹ ’ ’ ¹ .

Чувствительность величин R*, M*, R(M) и M (R) по постоянным К1, К2 и К3 можно оценить, находя соответствующие частные производные. Кроме того, чувствительность стоимости С по постоянным К1, К2 и К3 в случае варьирования M и R равна:

д C / д K 1 = M^a + aK 1 M ^a - 1 ( д M / д K 1 ) + bK ₂ R ^b - 1 ( д R / д K 1 ) + K ₃ M - 1 ( д R / д K 1 ) - K ₃ RM ² ( д M / д K 1 ), д C / д K ₂ = aK 1 M ^{a - 1} ( д M / д K ₂ ) + R ^b + bK ₂ R^{b - 1} ( д R / д K ₂ ) + K ₃ M ^{- 1} ( д R / д K ₂ ) - K 3 RM 2 ( д M / д K ₂ ), д C / д K ₃ = aK 1 M ^{a - 1} ( д M / д K ₃ ) + bK ₂ R ^{b - 1} ( д R / д K₃) + RM ^¹ + K ₃ M ~¹ ( д R / д K ₃ ) - K ₃ RM ²( д M / д K ₃ ).

В эти выражения надо подставить оптимальные значения величин М и R из (13) и (14).

Когда С есть функция только одного параметра, то есть С (М) или C ( R ), имеем следующие соотношения:

д C (M) / дK 1 = Ma + aK 1 Ma-1(дM (R) / дK 1) - K3 RM -2(дM (R) / дK 1), д C (M) / дK3 = aK 1 Ma-1(дM (R) / дK3) - K3 RM ~2(дM (R) / дK3), д C (R) / дK 2 = Rb + bK 2 Rb-1(дR (M) / дK 2) + K3 M ^/R (M) / дK 2), дC(R) / дK3 = RM-1 + bK2Rb-1 (дR(M) / дK3) + K3M ' (дR / дK3).

Для полноты изложения приведем выражения для частных производных, используемых для вычисления численных значений по выведенным выше формулам:

д R * / д K 1 = ( - aK ² ) 1 G ( R ); д R * / д K ₂ = ( a + 1)( - bK ₂ ) ^a ( - b ) G ( R );

дR */ дK3 =- a ( K3)-a-1G (R ), где G(R) = (a - b - ab)-1 [(aK1)-1(-bK2)a+1(K3)a ]-'+(a-b-ab);

д M * / д K 1 = a (1 - b )( aK 1 ) ^{- b}H ( M ) ;

д M * / д K ₂ = ( bK ₂ ) ^{- 1} H ( M ); д M * / д K ₃ = b ( K ₃ ) ^{b - 1} H ( M ) ;

H ( M ) = ( ab + b - a ) ^{- 1} [ ( aK 1 )^{1 - b} ( - bK ₂) ^{- 1}( K ₃) ^b ] - ^{1 +} ( ab + b - a ) 1 ;

д R ( M ) / д K ₂ = K ₃ ( bK ₂ ² M ) ^{- 1} L ( R ); д R ( M ) / д K ₃ = ( - bK ₂ M ) ' L ( R ) ;

L ( R ) = ( b - 1) ^- [ K Д- bK 2 M ) ^{- 1} ] ^{- 1 +} ' b ^{- 1> -} ' ;

д M ( R ) / д K 1 = K ₃ R ( - aK ² ) 1 S ( M ); д M ( R ) / д K ₃ = R ( aK 1 ) 1 S ( M ) ;

S ( M ) = ( a + 1) ^{- 1} ( K ₃ R ( aK ₁ ) ^{- 1} ) ^{- 1 + ( a + 1}> ^{- 1} .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При создании интегрированных производственных систем на условиях кооперации необходимо учитывать множество факторов, влияющих на качество продукции, производительность, экономические показатели, а также сроки выполнения работ. Оптимальное конструирование производственной системы при этом в качестве основного критерия предусматривает готовность системы к выполнению задания в соответствии с установленными требованиями. Основу готовности составляет надежность системы, обеспечиваемая безотказной работой оборудования, и, в случае отказа, его восстановлением с минимальными потерями времени и средств. При этом готовность интегрированной производственной системы определяется готовностью всех входящих в нее подсистем и элементов. Кроме того, все подсистемы контролируются таким образом, чтобы функции надежности совпадали.

Безусловно, задача обеспечения надежности подсистем и элементов в описываемой конфигурации не ограничивается рамками вышеприведенных результатов. Однако, по нашему мнению, данный подход дает возможность, используя современные средства цифровизации, целенаправленно подходить к вопросам систематизации информации по контролю качества сложных производственных структур, комплексов машин и других сложных технических и технологических систем.