Исследование немарковской динамики двух взаимодействующих кубитов на основе численного решения нелинейного стохастического уравнения Шрёдингера

Моделирование динамики связанных кубитов имеет большое значение для задач квантовых вычислений и квантового компьютинга [1]. В традиционном подходе к математическому описанию систем кубитов, представленных в классических монографиях [1, 2], не учитывается деструктивное влияние окружения на динамику запутанных состояний, которые играют первостепенную роль при построении любого квантового алгоритма. Ясно, что декогерен-ция, вызванная взаимодействием кубитов с внешним окружением, приводит к разрушению запутанных состояний [3] и не может игнорироваться.

Для описания динамики открытых квантовых систем (ОКС) наиболее часто используется подход, основанный на решении операторно-кинетического уравнения для матрицы плотности (англ. master equation ). Базовым допущением при выводе операторнокинетического уравнения является марковское приближение [3], которое характеризуется пренебрежением всеми эффектами памяти, связанными с динамикой окружения.

В ряде недавних экспериментальных работ было показано проявление немарковских эффектов в динамике квантовых систем [4–9]. Также было показано, что немарковские эффекты могут оказывать значительное влияние на динамику открытой квантовой системы [10, 11]. В связи с этим в последнее время прилагаются значительные усилия для обобщения марковского кинетического уравнения на немарковский случай [12, 13].

Однако попытки обобщить операторно-кинетическое уравнение на случай немарковской динамики не приводят к особым успехам [12, 13]. Основные трудности связаны с тем, что на сегодняшний день общая форма немарковского кинетического уравнения, гарантирующая сохранение положительной определенности матрицы плотности, неизвестна. Более того, имеются примеры, когда формально построен-

ное немарковское кинетическое уравнение приводит к совершенно нефизическим результатам [3].

В работе [14] А. Баркелли предлагает метод непротиворечивого описания динамики ОКС с учётом немарковских эффектов на основе стохастического уравнения Шрёдингера (СУШ). Данный подход, основанный на замене марковского белого шума на более общий немарковский процесс, гарантированно приводит к физически корректным свойствам оператора плотности.

В данной работе мы предлагаем описание немарковской релаксации двух диполь-дипольно взаимодействующих кубитов на основе нелинейного стохастического уравнения Шрёдингера. С помощью прямого численного моделирования анализируется динамика возбуждения различных квантовых состояний системы.

1. Нелинейное стохастическое уравнение Шрёдингера для системы из двух кубитов

В данной работе изучается система двух диполь-дипольно взаимодействующих кубитов в двух независимых термостатах. Марковское операторнокинетическое уравнение для матрицы плотности при нулевой температуре термостатов, полученное в работе [15], имеет следующую форму:

dp dt

= -1 Q[G+G2 + G+G, , p]-

— 2 Yo (G+Gip

- 2g, pG, + pG, G, )-

— 2 Yo (g2G2p

- 2G2pG2 + pG2G2 ),

где g + - понижающие и повышающие операторы для i -го кубита, Q - константа диполь-дипольного взаимодействия, у ₀ - скорость релаксации. Квадратными скобками обозначен коммутатор двух операторов.

В результате процедуры распутывания (англ. unravelling ) [16] из данного операторно-кинетического

уравнения (1) можно вывести стохастическое уравнение Шрёдингера, которое будет эквивалентно последнему в смысле стохастического усреднения по ансамблю квантовых траекторий р = E (I vXv l).

Ранее в нашей работе [17] в результате процесса распутывания уравнения (1) было получено линейное стохастическое уравнение Шрёдингера для волновой функции. Его можно записать в следующем виде:

d| у) = A\ v) d t + B |V d W₁ + C | y) d W 2 ,

A = - I П ( о + О₂ + o + O 1 ) - 2 Y o ( 0 + 0 1 +0 + ^ 2 ) ,

в = i TYo" c , с = i TYo" 0 2 .

Для обобщения линейного СУШ (1) на немарковский случай в статье [14] было предложено заменить винеровские процессы d W i на процессы более общего вида. Примером такого процесса является процесс Орнштейна –Уленбека:

dX i = - k i X i dt + d W i ,

где k i – неотрицательные постоянные, отвечающие за характерное время скоррелированности с i- м термостатом. В результате формальной подстановки d W i ^ dX i получаем следующее выражение для кет-вектора:

d| y) = A| v) d t - k i X 1 B| v) d t - k 2 X 2 C | y) d t + + B | y) d W₁ + C | y) d W ₂.

Однако полученное уравнение (4) не сохраняет нормировку волнового вектора в среднем, что необходимо для физической интерпретации членов уравнения [16]. Для сохранения нормировки в среднем необходимо потребовать, чтобы величина | у) была мартингалом, то есть:

E (v|v) = 1,                                        (5)

где E – усреднение по ансамблю стохастических реализаций. Из этого условия следует, что стохастическое уравнение для величины (v l v) должно содержать только шумовую часть.

Использование правила дифференцирования Ито:

d (у | у) = d (VI ■ I v) + (VI ■ d I v) + d (V | • d | V> позволяет получить СУШ следующего вида:

d (y|y) = «V| A ^t + A V)- k i X 1 (v| B ^t + B | V-

-k2X2 (v ICt + CIV) +

+ (v|B^t+ B|V)dW₁+(v|C^t+ C|v)dW₂.

При выводе была использована таблица Ито:

dwi ■ dWj=8j, dt ■ dt = 0, dt ■ dWi = 0.(8)

Для выполнения свойства мартингальности член в выражении (7) при dt должен быть равен нулю. Это условие будет выполнено, если провести следующую замену в уравнении (4):

A ^ A - k₁X₁Bt - k₂X₂Ct.                      (9)

Окончательно уравнение, сохраняющее норму, имеет вид:

d| v) = ( A - ki X1 (B + + B)-k2 X₂(C + + C ))|v> dt + +B| v) dW + C |v) d W₂.

Решение данного уравнения является мартингалом, т.е. сохраняет нормировку в среднем. Хорошо видно, что при k1 = k2 =0 уравнение (10) переходит в марковское уравнение (2). Однако стохастические реализации решения обладают большой дисперсией, что приводит к тому, что для получения адекватного результата нужно смоделировать неоправданно много траекторий. Традиционный путь преодоления данного недостатка состоит в выводе нелинейного уравнения для нормированного волнового вектора:

I "^^ = "/rTT = lv>llvir1,                        (11)

V\v|v)

которое эквивалентно исходному уравнению в слабом вероятностном смысле (другими словами, средние, вычисленные с помощью решения одного и второго уравнения, совпадают).

Дифференцируя выражение для обратной нормы с использованием леммы Ито [18]:

IVT¹'    ¹

и заменяя волновую функцию в обкладках матричных элементов на нормированную волновую функцию, получаем:

d||v||^-1 =

= 31ЫГ¹(^ |B t + B| V )²+^ |C^f+ C| V )²) dt -   (13)

• - 2| Ivll^-1GB t + b\V )dW1 +^ |c t + c| tV )d W2).

Используя стохастическое исчисление Ито с одновременной заменой вероятностной меры процессов по теореме Гирсанова [18], можно получить нелинейное СУШ, которое гарантированно сохраняет норму волнового вектора в любой момент времени.

Из уравнения (10) и уравнения (13) получаем замкнутое уравнение для нормированной волновой функции:

d| V/) = ( A - k1 X1 (в^t+ B)- k2X2 (C^t+ C) +

+2 в (tV |b^t+ b\tV)+2 с (V |C^t+ C| <й) -

- 8 в ^ |B^t+ b\tV )²- 8 с ^ |c^t+ с| V )²

+f C - 2 (tV |C^t+ C| tVW )d W2.

В вышеприведённом уравнении новые шумы W_i определяются следующим образом:

d Wi = dW + (/ Bf + B| / ),

d W2 = d W2 + (/ |C t + C |/), dX1 =- k1 X1d t + dW +^ |B t + B| / )d t,         (15)

dX2 =- k2 X2d t + d W2 + (1/ |C^f+ C |/ )d t.

Из выражений видно, что шумы также зависят от состояния системы.

Полученное уравнение обладает рядом преимуществ: гарантирует полную положительность оператора плотности p = B(|\j/><14/1), сохраняет нормировку волновой функции в любой момент времени по построению, обладает меньшей дисперсией по сравнению с линейным уравнением (2).

Уравнение (14) является стартовой точкой для проведения компьютерного моделирования. Имея N его решений (стохастических траекторий), можно получить среднее значение произвольного оператора M следующим образом:

1^N

(M=n E^-M Ы

Например, вероятность обнаружить систему в состоянии, при котором оба кубита находятся на верхнем энергетическом уровне, можно найти как:

N

P=NE <-i

g+Gj g+g₂

При этом среднеквадратичное отклонение находится по формуле:

ставлены на рис. 1 и 2 соответственно. Среднеквадратичные отклонения, найденные по формуле (18), не

Рис. 1. Вероятность обнаружить систему в конкретном состоянии P от безразмерного времени γ0 t.

Рис. 2. Вероятность обнаружить систему в конкретном состоянии P от безразмерного времени γ0 t.

Немарковское приближение

N< N

E^M l^,/-) —I EC^^-M l'^/-) i=1                               V -=1                        .

N (N -1)

• 2. Результаты моделирования

Полученное выше нелинейное стохастическое уравнение Шрёдингера (14) записано для четырёхкомпонентного вектора | \Y . Квадрат модуля каждой компоненты соответствует вероятности обнаружить систему в одном из следующих состояний: оба кубита находятся на возбужденном энергетическом уровне (P1), один из кубитов находится в возбужденном состоянии (P2,3) или оба кубита – в основном состоянии (P₄). Численное решение уравнения (14) проводилось с помощью явного метода Эйлера [19] со следующими значениями параметров:

| /й (0)) = (1;0;0;0),

У 0 = 1,                                                (19)

П = 2,3, к1 = 0,8, к2 = 1,6.

Результаты усреднения по 100000 траекторий для марковской (k_1,2 =0) и немарковской динамики пред-

Из приведённых рисунков видно, что учёт немар-ковости снимает вырождение состояния, когда один из кубитов находится на верхнем энергетическом уровне. Кроме того, смещаются вероятности найти систему в одном из состояний в стационарном режиме. Учёт немарковского окружения также приводит к появлению осцилляций вероятностей, связанных с перекачкой энергии из одного кубита в другой.

Вероятность обнаружить систему в симметричном перепутанном состоянии определяется следующим образом [20]:

1^N

Ps =^E^-lsXsl ^Y

N i=1

1T где⁵ =Y/i(0;i;i;0).

Зависимость вероятности обнаружить симметричное перепутанное состояние от безразмерного времени Y01 изображена на рис. 3 для марковского и немарковского случая соответственно.

Из рис. 3 видно, что учёт немарковской релаксации приводит также к изменению вероятности найти систему в перепутанном состоянии в стационарном режиме. В марковском случае эта вероятность экспоненциально спадает к нулю с течением времени.

Рис. 3. Зависимость вероятности обнаружить систему в симметричном перепутанном состоянии Ps от безразмерного времени γ0 t в различных приближениях

Заключение

Использование нелинейного стохастического уравнения Шрёдингера позволяет моделировать динамику системы кубитов как в марковском, так и в немарковском приближениях, и при этом обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами: гарантированность полной положительности матрицы плотности (характерно в принципе для подходов, основанных на СУШ) и сохранение нормы волнового вектора, что является ключевой особенностью нелинейного стохастического уравнения Шрёдингера.

В данной работе получено нелинейное стохастическое уравнение Шрёдингера для немарковской релаксации системы из двух диполь-дипольно взаимо-действущих кубитов. Показано, что немарковость оказывает существенное влияние на динамику системы, в том числе на вероятность возбуждения перепутанных состояний, что может быть использовано как ресурс в квантовой информатике и квантовых системах связи.

Данная работа была выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-32-00249).