Исследование распространения акустической волны в неоднородном воздушном потоке в канале шахтного акустического анемометра

• 1    Постановка задачи

Задача состоит в расчете распространения аэроакустических волн в цилиндрическом канале акустического анемометра [1], предназначенного для измерения скорости воздушного потока. Акустический анемометр представляет собой цилиндрический волновод-воздуховод с вмонтированными в его стенки двумя кольцевыми пьезоэлектрическими преобразователями, попеременно являющимися приемниками и излучателями акустической волны (рис. 1). Разность фаз сигналов, распространяющихся по и против потока, пропорциональна скорости потока. Она и является информативным параметром.

Известно решение рассматриваемой задачи [2] для турбулентного потока, эпюра которого приближённо считалась прямоугольной. В настоящей работе ставится задача для ламинарного воздушного потока с параболическим профилем скорости. Учет неоднородность скорости потока вдоль радиуса волновода приводит к другой зависимости разности фаз сигналов от скорости воздуха.

z= 0                          z=l

		1
			R
						z
		l

Рис. 1. Датчик акустического анемометра.

Настоящая проблема является весьма актуальной, поскольку при поверке акустического анемометра замечено существенное отличие участков поверочной кривой, соответствующих турбулентному и ламинарному режимам. А теоретического описания, позволяющего дать количественную оценку этому явлению, пока не существует. Получив акустическое поле в волноводе с неоднородным потоком, можно ответить на вопрос с какой именно скоростью (средней или максимальной) связаны показания акустического анемометра.

В данной модели не учитываются отражения от краев волновода (бесконечный волновод). Стенки волновода полагаются абсолютно жёсткими. Источник представляет собой кольцо, высотой равной 2 h, колеблющееся по гармоническому закону, расположенное в стенке цилиндрического волновода (рис.2). При расчёте эпюры скоростей потока, воздух считаем несжимаемым. При моделировании акустического поля пренебрегаем всеми диссипативными явлениями. Решаем задачу в линейном приближении. Колебательные скорости и акустические колебания давления и плотности малы по сравнению с усреднёнными параметрами среды. Скорость воздушного потока, в свою очередь мала по сравнению со скоростью звука. Задача обладает радиальной симметрией. В качестве решения получаем акустическое поле внутри волновода в области, находящейся за пределами излучающего кольца.

Рис. 2. Бесконечный цилиндрический волновод-воздуховод с ламинарным потоком.

• 2    Вывод и решение уравнений

Выпишем основную систему уравнений гидродинамики в цилиндрических координатах [3] для системы, не зависящей от угловой координаты (цилиндрическая симметрия).

Уравнение неразрывности: v_r --1--t v ₇ н-- V^r "I--— 0 tz^zr^r r

Уравнение движения (продольная и радиальная проекции)

vv z v z v z_z

t

r

vz

r

p vz

vr tzr

.    а2    1 а    а2

где А = —+ - — + — , a r²   r a r  z_z²

vv r v r v z_z

r

p

6p      Л ¹

v

ПС)Г             „²   '

z ,

r

v = ( v r , v_z ) поле скоростей среды, p давление, р-плотность.

Для полей скорости и давления стационарного невозмущённого ламинарного потока с условием прилипания на стенках трубы имеем известное решение [4]

,2

I         9

^p const I z

u (r ) =-----R 2— r 2 = 2и 1-

4PqV       -( R

- IR ² где и =---- 8/?₀у

- средняя по сечению скорость.

Рассматривая акустическую часть нашей задачи, представим параметры нашей задачи, в виде суммы постоянной и малой колебательной составляющих:

vz= ^u + ^v'z, Vr=^v'r , Р = Р»^)Дг Р ) ^, Р' = Р , Р ~ Ро + ^{с 2}Ро Р

c

Подставим данные выражения в уравнения системы гидродинамики и получаем систему для возмущений в линейном приближении, в которой используем обозначение c2 = —

7                      гР

, где с - адиабатическая скорость s const звука (здесь s - энтропия).

Компоненты скорости представляем в виде производных скалярного и векторного потенциалов. В нашем случае цилиндрической симметрии векторный потенциал имеет только одну компоненту, и мы вместо него используем так называемую функцию тока. Подставляем вместо компонент колебательной скорости следующие выражения:

аФ 1 ат vz —--1---, z rr

аФ 1 ат vr r rz

Проведя ряд преобразований, получаем систему уравнений относительно у5, Ф, Т, F , где F - некоторая вспомогательная функция, введенная для удобства вычислений.

а а u tz

1 г²^   1 ат 1 а²т

^r r 2 ²    r ² s r

r

гz1

- Д и -^А Ф = 0

R ²

г аФ ~

— Ф + и — + с ²Э + F = О tz

| — + и — |р + АФ = 0 tz af _ а и Гаф 1 ат^ z r r rz

д

., - . а ) 1 ат _А + —и и — — О

t    zr r

Будем искать решение в виде:

i

Ф = cp (r) e    R ^ , ct z

i p = Q(r)e    R 2,

ct z

Т = у/ (r) e ^ R ct z

i

F = f ( r ) e    ^R '

,

.

Здесь а и Р - некоторые коэффициенты, а i- мнимая единица

Подставляем общий вид решения в преобразованные уравнения. Дифференцируем экспоненты и сокращаем экспоненциальный множитель. Получаем систему дифференциальных уравнений для радиальных зависимостей искомых функций. Исключаем из системы f ( r ) и ( r ).

Затем переходим к безразмерным величинам и упрощаем выражения. вводя переменные, обозначающие безразмерный радиус и число Маха.

R

u

M

c

Тогда u ( r ) = 2 Mc 1- r ² , — = -4 Me— , _{r R}

Поскольку среда без потока является потенциальной, векторный потенциал (функция тока) в случае отсутствия потока должен быть равен нулю. При малых скоростях потока будем считать функцию тока пропорциональной числу Маха. Введем обозначение:

y/ = MR r

Будем искать решения для величин (Г ^r ) и ^( r ) относительно безразмерного радиуса. Получим уравнения, опускаем при этом знак тильда:

(16 Mr ³ Дз + 4 r²оф + 8 г ²р²M 1- г ² ^( г ) +

r

а ² _1_а 5_r ² г —г

, 2

1Л rr

Будем искать решение в приближении, линейном по числу Маха в виде

Ф = Ф 0 + MФ_Х, 0 = MQ +^M ^1 , 0 = M +^M1,, Z?²=^0²+² MPxPo

Для этого сгруппируем слагаемые при разных степенях М . Нулевое приближение – среда без потока. Вначале пренебрежем первым порядком М , получим уравнения для функций порядка M ⁰:

i-p 0²+tz² 5^0 = 0

B-02² ^0=4 air²ф о (— r )

Акустические колебания в волноводе создаются источником в виде кольца, встроенного в стенку волновода. Кольцо расположено в начале координат при z =0 (рис. 1) и имеет толщину 2 h . Предполагается, что стенки кольца колеблются по гармоническому закону с частотой , как единое целое. Стенки же волновода в области незанятой кольцом предполагаются абсолютно жесткими, поперечная составляющая колебательной скорости на них равна нулю.

Граничное условие vr (r, z, t) r=R

it v0 e

где v о - амплитуда колебательной скорости поверхности кольца.

При этом мы должны учесть вид зависимости от времени и i

, что позволяет нам сделать вывод, что:

продольной координаты e

R а = — • c

Решение для акустического потенциала в нулевом приближении в зависимости от безразмерных координат мы получили методом Фурье, аналогично тому, как это было сделано в [1]. Приведем результат без вывода, поскольку эта задача хорошо известна. Поле акустического потенциала будет описываться выражением:

^ / x V ^{+ 2iR}v^ ^{sin( s}n^h ) Г      A  + is_nz

2 ,

Ф0(r,z)= L----2-----------J0(Цnr)• e   n , Sn n=0    SnJ 0( Z^n )

здесь J ₀ - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, /4 - корни функции Бесселя первого рода первого порядка J_x (//„) = 0. Верхний знак соответствует z>h , нижний z <- h . При этом обеспечивается выполнение граничных условий.

Обозначим:

_ ^2iRv 0 ^sin( s n^h )

•

A n     2

s n ^J 0 ⁽ Mn )

Исходя из того, что решение уравнения без потока является суммой нормальных мод, оставшиеся решение тоже будем искать, как сумму. Решим всю задачу целиком для одного обобщенного ( n -го) слагаемого (для n -й моды). Для него получится выражение радиальной составляющей акустического потенциала:

Ф 0 n ⁽ r ) = + A n J 0 ⁽^ n r ) , и 0 n _n = + S n = + лр²^² •

Далее получаем выражение для радиальной составляющей функции тока в нулевом приближении для n -го слагаемого. Оно получится, как решение следующего уравнения:

9 ²

9r ²

15 _л 2 2 . , z х -^-Р 0 ^0 = +4 i«r An^J0⁽Цn^r ) rr

Исходя из данного уравнения и условия равенства нулю радиальной составляющей скорости на стенке волновода получим:

0(r) = --^r2J0 nlnr_+ 2-a^nrrj1 nznr +CJrJ11 iд/«2 - Дп2r I, oc2                a                      V             / где  C1 = a^—- J0 ^n -—:-;  a = +4ictAn, J1 - функция Бесселя первого a J 1| i Va 2 - nn 21

порядка первого рода.

Найдем уравнения для первого приближения, собирая слагаемые порядка М ¹ и получим уравнение для ф₁

21                              1

02     2   1 i r2   r r                    r 0 r

₀       4 r          4    ₀ 1 r ²   2 _{0 1   0} ( r )

0 ^r

В правую часть этого уравнения подставим полученные ранее функций

0 ( ( r ) и ^о( r ) (Обозначим A = + A n ). Получим преобразованное уравнение:

4 A ₀ r ² J _{0 n}r   C ₁   ² J ₀ i ₀ r .

Найдем его решение:

₁ r AJ _{1   n}r  r

4 0 n

4   0    0  2 3    1  2  4     32

3 n3             2 n3

AJ 0   n r r ^{2             0}

4 ₀    3 _n ²

C ₁ J ₀ i ₀ r

Проверим выполнение этой функцией нулевого граничного условия.

Для чего вычислим производную    1   . Равенство нулю этой zr1

производной обеспечивается, если 1     . Подставив это выражение, получим окончательно:

₁ r AJ _{1 n} r r

8 0    4    0

3 _n

2 0 r ³

3 _n

• 2    0 r ² J 0 n r

A                   C ₁ J ₀ i ₀ r

• 3    n ²

3 Обсуждение полученных результатов

Рассмотрим зависимость фазы акустических потенциалов от скорости потока. Поскольку мы решали задачу в линейном приближении, мы можем говорить только о линейной зависимости и о коэффициенте пропорциональности между фазой и средней скоростью потока. Исходя из (1) и выражения для 1 получим, что волновое число n-й моды, распространяющейся в положительном и отрицательном направлении:

MM

= Р 0  Р\  =+/ 2^2

n       R

Разность фаз акустических сигналов, распространяющихся по и против потока на расстоянии z от источника будет равна

2 zM 2 4 zM 8   zRu ,(2)

здесь z – безразмерная продольная координата, zR – размерная.

Сравним этот результат с результатом, полученным в [1] для однородного потока. Там было получено, что волновое число n -й моды, распространяющейся в положительном и отрицательном направлении:

M c

n

1 M ^{2 n} cR

А/ = 2— zRM = 2^Z zRu (3) ^c c ²

Рассмотрим коэффициент пропорциональности между разностью фаз и средней скоростью потока. Если сравнивать наш результат (2) с аналогичным коэффициентом, полученным для однородного потока (3), мы видим, что их значения отличаются в 4/3 раза.

Для того чтобы соотнести полученные результаты с экспериментальными данными рассмотрим тарировочные характеристики акустических анемометров и аэродинамической трубы. Типичная тарировочная характеристика акустического анемометра показана на рис. 3. Аналогичная характеристика аэродинамической трубы изображена на рис. 4.

Тарировочные характеристики представляют собой зависимости поверочного коэффициента от скорости, показываемой прибором. Поверочный коэффициент равен отношению эталонной скорости к скорости прибора.

Поскольку скорость выражается через разность фаз акустических сигналов, распространяющихся по и против потока следующим образом:

• 3 c ²

• ^{и =} 4ж ^м'

где l = zR расстояние между приемным и излучающим преобразователями, а прибор показывает скорость, вычисляемую по формуле (для однородного c ²

потока) и = — А^, нужно в случае ламинарного режима показания прибора 2l умножать на коэффициент к. Для того чтоб выразить среднюю по сечению скорость к =3/4 и чтобы максимальную к =3/2.

Рис. 3. Тарировочная характеристика акустического анемометра.

Рассмотрим результаты поверки. В качестве эталонного прибора использовался термоанемометр – анемометр, поверенный в ВНИИМ в Санкт-Петербурге.

Особенности тарировочной характеристики акустического анемометра (рис.3) связаны с различием скоростей внешнего потока и потока внутри анемометрического канала. При маленьких скоростях воздушный поток в связи с наличием аэродинамического сопротивления стенок волновода не полностью входит в воздуховод, а огибает его. При больших скоростях поток наоборот втягивается в волновод и скорость внутри волновода больше, чем во внешнем потоке за счет формы фланцев. Коэффициент в этом случае стремится к отношению внутреннего и внешнего диаметров. Эти выводы подтверждаются моделированием поля скоростей внутри анемометра в программе SolidWorks Flow Simulation.

Рис. 4. Тарировочная характеристика аэродинамической трубы.

Характеристики аэродинамической трубы иные. Весь поток, создаваемый вращением лопастей проходит между преобразователями. На больших скоростях коэффициент стремится к единице, а при маленьких скоростях асимптотически к 3/2. Если учесть, что эталонный прибор измеряет скорость в центре трубы, то есть максимальное значение скорости ламинарного потока, можно сказать, что данная характеристика качественно подтверждает полученные теоретические результаты. О количественном подтверждении говорить не приходится, поскольку длины трубы недостаточно для формирования настоящей параболической эпюры скоростей. Поэтому можно лишь говорить о правильной тенденции.

Автор выражает благодарность проф. Александру Георгиевичу Петрову за консультации и его неоценимую помощь в проведении данных исследований.