Исследование стационарных решений задачи динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния
Автор: Белова Ю.В., Атаян А.М., Чистяков А.Е., Стражко А.В.
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 1 т.19, 2019 года.
Бесплатный доступ
Введение. Работа посвящена исследованию решения задачи трансформации форм фосфора, азота и кремния. Данная проблема возникает при моделировании динамики фитопланктона в мелководных водоемах, в том числе в Азовском море. Модель динамики фитопланктона сформулирована как краевая задача для системы уравнений диффузии-конвекции-реакции и учитывает поглощение и выделение питательных веществ фитопланктоном, а также переход питательных веществ из одного соединения в другое. Для расчета начальных условий и параметров уравнений, при которых наступает стационарный режим, разработано программное обеспечение, основой которого послужила модель, описывающая изменения концентраций фитопланктона без учета влияния течений. Данная модель представлена системой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе разработанного программного обеспечения экспериментальным образом рассчитаны начальные условия и параметры модели динамики фитопланктона в Азовском море.Материалы и методы...
Фитопланктон, фосфор, азот, кремний, биоген, химико-биологический источник, уравнение конвекции-диффузии-реакции, задача коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, стационарный режим
Короткий адрес: https://sciup.org/142219826
IDR: 142219826 | DOI: 10.23947/1992-5980-2019-19-1-4-12
Текст научной статьи Исследование стационарных решений задачи динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния
1,2,3,4 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
Образец для цитирования. Белова, Ю. В. Исследование стационарных решений задачи динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния / Ю. В. Белова [и др.] // Вестник Донского гос. техн. ун-та. — 2019. — Т.19, №1. — С. 4–12.
Введение. В связи с развитием крупных городов на побережье мелководных водоемов и речных систем, впадающих в данные водоемы, участились случаи эвтрофикации. Рост водорослей в водоемах вызван увеличением стока азотных и фосфорных соединений с прилегающих районов суши. Каждый водный объект является уникальным и требует подробного исследования. Для изучения водоемов прибегают к натурным исследованиям [1], а также математическому моделированию. Не преуменьшая роли натурных экспериментов можно сказать, что математическое моделирование является менее затратным, а также позволяет прогнозировать поведение экосистемы.
Для изучения Азовского моря разработана трехмерная модель гидродинамики [2, 3], включающая уравнения движения по трем пространственным направлениям. В работе [4] данная модель выполнена для случая динамического перестроения геометрии расчетной области за счет приливно-отливных явлений. Исследование точности данной модели приведено в работе [5]. В работах [6–8] приведена реконструкция экологической катастрофы, произошедшей в 2001 году, вызванной чрезмерной концентрацией водорослей в восточной части Азовского моря. В работе [9] предложены методы борьбы с заморными явлениями, возникающими в Азовском море. Работы [10–12] посвящены изучению динамики фито- и зоопланктона.
Состояние вод в мелководных водоемах быстро меняется и математические модели требуют уточнения. Расчет параметров трехмерной модели динамики фито- и зоопланктона является трудоемким, поэтому предлагается для расчета данных параметров использовать упрощенную модель.
Цель данной работы состоит в уточнении параметров модели динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния, при которых наступают стационарные режимы в предположении пространственно- однородного распределения субстанций.
Материалы и методы. Модель основана на системе уравнений транспорта биогенных веществ [15, 16], вид которой для каждого модельного блока F i имеет вид
Механика
— + u — + v — + w — = div (k grad q ) + R , dt dx dy dz i’ qi где qi — концентрация i-ой компоненты, [мг/л]; ieM, M= {F1, F2, F3, PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si};
{ u , v , w } — компоненты вектора скорости водного потока, [м/с]; к - коэффициент турбулентного обмена, [м2/с]; Rq — функция-источник биогенных веществ, [мг/л∙с].
В уравнении (1) индекс i указывает на вид субстанции (таблица 1).
Таблица 1 Биогенные вещества в модели динамики фитопланктона
Номер |
Обозначение |
Название |
1 |
F 1 |
зеленая водоросль Chlorella vulgaris |
2 |
F 2 |
синезеленая водоросль Aphanizomenon flos-aquae |
3 |
F 3 |
диатомовая водоросль Sceletonema costatum |
4 |
PO 4 |
фосфаты |
5 |
POP |
взвешенный органический фосфор |
6 |
DOP |
растворенный органический фосфор |
7 |
NO 3 |
нитраты |
8 |
NO 2 |
нитриты |
9 |
NH 4 |
аммоний |
10 |
Si |
растворенный неорганический кремний (кремниевые кислоты) |
Химико-биологические реакции описаны следующими уравнениями
R F - C (1 — KF R ) qF_ — KFpqF, — K^q , i - 1,3,
R DOP
— 2 sPKFEqF + KPDqPOP i-1
^^^^^™
K DN q DOP ,
R PO 4
- 2
i - 1
S p C f ( K fr
1 ) q F + K PN q POP + K DN q DOP ,
R NH 4
- 2 S n C f, ( K fr
—
f N 1 ( q NH 4 ) 3
1) —, -----------? qF + 2 sN ( kfd
/n ( q NO 3 ,q NO 2 ,q NH 4 ) i - 1
+ K F-E ) q F K 42 q NH 4 ,
R NO 2 - 2 s N C F i . ( K F i R i - 1
1) f N ( q NO 3 ,q NO 2 , q NH 4 ) f N ( q NO з ,q NO 2 ,q NH 4 )
■ qF, + K42 qNH4 K23 qNO2, qNO2 + qNO3
_ 3 f NN )( q NO 3 ,q NO 2, q NH 4 ) q NO3 _
R NO3 2 s N CF, ( KF, R 1 ) / \ qF, + K 23 q NO 2 ,
1-1 f N ( q NO 3 ,q NO 2 ,q NH 4 ) q NO 2 + q NO ,
R Si - s Si C F 3 ( K F,R - 1 ) q F, + s Si K F,D q F3 .
Здесь KFR — удельная скорость дыхания фитопланктона; KFD — удельная скорость отмирания фитопланктона; KFE — удельная скорость экскреции фитопланктона; KPD — удельная скорость автолиза РОР; KPN — коэффициент фосфатофикации РОР; KDN — коэффициент фосфатофикации DОР; K42 — удельная скорость окисления аммония до нитритов в процессе нитрификации; K23 — удельная скорость окисления нитритов до нитратов в процессе нитрификации, sP , sN , sSi — нормировочные коэффициенты между содержанием N, P, Si в органическом веществе.
Скорость роста фитопланктона определяется выражениями:
CF ]2 = KNF 1, 2 min { Jp ( qPO 4 ) , Jm ( q NO 3 ,qNO, ,qNH 4 ) } ,
Cf3 = K F min { f P ( q PO 4 ) , fN ( q No, ,q NO 2 ,q NH 4 ) , Z sA q » -) } , где K NF — максимальная удельная скорость роста фитопланктона.

Рис. 1. Модельная схема биогеохимической трансформации форм фосфора, азота и кремния
Функции, описывающие содержания биогенов
-
- для фосфора f ( qP o ) =--- q PO 4 ,
q po 4 + K po 4
где KPO — константа полунасыщения фосфатами;
-
- для кремния f ( qSi ) =--- Si— , qs . + Ks .
где KSi — константа полунасыщения кремнием;
-
- для азота fN ( qNO 3 , qNO 2 , qN H 4 ) = f N 1’ ( q O , qNO 2 , qN H 4 ) -Г ( q H 4 ) ,
-
3 2 4 K NO 3 + ( q NO 3 + q NO 2 ) 4 K NH 4 + q NH 4
где KNO — константа полунасыщения нитратами, KNH — константа полунасыщения аммонием, Kpsi — коэффициент ингибирования аммония.
Для системы (1) необходимо задать векторное поле скоростей водного потока, а также начальные значения функций концентраций qi
-
q ( X , y , z ,0 ) = q i ( x , y , z ) , ( x , y , z ) e G ., t = 0, i e M . (2)
Будем считать, что граница 2 цилиндрической области G является кусочно-гладкой и S = SH и2o ист, где 2H — поверхность дна водоема, 2o — невозмущенная поверхность водной среды, ст — боковая (цилиндрическая) поверхность. Пусть ип — нормальная по отношению к 2 составляющая вектора скорости водного потока, n — вектор внешней нормали к 2 . Для концентраций qi будем пред- полагать:
– на боковой границе:
q i = 0, на ст , если un < 0 , i e M ; (3)
d q
Механика
—'- = 0, на ст , если u > 0, i e M ; (4)
n dn
-
- на 2 o — поверхность водоема:
^ qi- = 0, i e M ; 5 z
-
- на дне 2 H :
k^q- = е^, ie{Fb F2, F3}, dz k^q- = e2 q, zg{PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si}, (6)
d z 2
где e1 ; , e2 , — скорости осаждения водорослей и питательных веществ на дно.
Стационарный режим . Рассмотрим случай пространственно -равномерного распределения субстанций (фитопланктона, форм фосфора, азота и кремния), тогда каждое из уравнений (1) упрощается и в результате получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
dq F
—~ = Ср (1 — Kp r ) qp — KpDqp — Kppqp , , = 1,3, (7)
F FR F FD F FE F dt dqPOP dt
dq DOP dt
Z s P K FD q F, - K PD q PCP - K PN q PCP , i = 1
Z S p K FE q F + K pD q pc>P — K DN q DOP , = 1
d q pc 4 dt
3 ,
= Z S p C f ( K fr i = 1
q F + KPN q PCP + KDN q DCP ,
dq NH 4 dt
3 f .(2) ( NH. ) 3
= Z S N C F ( K FR - 1 ) f N ( NO 3, no 2 , NH 4) q F + Z s N ( K FD + K FE ) q F — K 42 q NH 4
dq NO 2 dt
Z S n c f ( K fr i = 1
—
1) f ® ( NC 3 , NC 2 , NH J q Nc 2
f N ( NC 3 , NC 2 , NH J q N c 2 + qN/ F
+ K 42 q NH 4 K 23 q NC 2 ’
dq pc , dt
= Z sNCF ( KM — 1 ) i = 1
f<')( NC3, NC2, NH) qNc, fN (NC3,NC2,NH4) q„c2 + qNc3
q F + K 23 q NC 2 ,
qS^- = s,.C KF „— 1 qF + sFKFFqF . dt S F 3 F 3 R F 3 S F 3 D F 3
Решим систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге -Кутты [15-17]. Проведем несколько численных экспериментов, предполагая, что развитие фитопланктона зависит от единственного лимитирующего вещества.
Результаты исследования. Для системы ОДУ (7) рассчитаем начальные условия и параметры уравнений, при которых наступают стационарные режимы. Возьмем начальные значения концентраций: q F ( 0 ) = 2,5 мг/л , q F ( 0 ) = 2,6 мг/л , q F^ ( 0 ) = 0,91 мг/л , q PCP ( 0 ) = 0,07 мг/л , q DCP ( 0 ) = 0,07 мг/л , q PC i ( 0 ) = 0,005 мг/л , q NHi ( 0 ) = 0,11 мг/л , q NCi ( 0 ) = 0,0178 мг/л , q NC ( 0 ) = 0,304 мг/л , q Si ( 0 ) = 0,4 мг/л ; коэффициенты: KNF = 2,8 сут- , KFR = 0,15 сут- , K FD = 0,05 сут- , K FE = 0,15 сут- , KPD = 0,015 сут- , KPN = 0,02 сут- , K dn = 0,1 сут- , K 42 = 0,9 сут- , K 23 = 2,5 сут- , K p S , = 1,46 сут- , S p = 0,01, S n = 0,016, s s, = 0,023, KPCj = 0,024, K pc 3 = 3,0, K nh 4 = 2,0, KSi = 3,0.
Полученные стационарные режимы системы ОДУ (7) в предположении, что развитие фитопланктона лимитируется единственным биогенным веществом —фосфором, азотом или кремнием — изображены на рис. 2-4 соответственно. Рис. 2 описывает влияние фосфора на развитие различных видов фитопланктона, рис. 3 описывает влияние азота на развитие различных видов фитопланктона, рис. 4 описывает влияние азота на развитие диатомовых водорослей.

Рис. 2. Стационарный режим системы ОДУ в предположении, что развитие фитопланктона лимитируется фосфором: а) зеленая водоросль ( ChV ), б) синезеленая водоросль ( AF-A ), в) диатомовая водоросль ( SC ), г) взвешенный органический фосфор ( POP ), д) растворенный органический фосфор ( DOP ), е) фосфаты ( PO 4 )
В результате вычислительного эксперимента видно, что при указанных выше значениях начальных концентраций и параметров уравнений наступают стационарные режимы для системы ОДУ (7), описывающей случай пространственно-равномерного распределения субстанций. Полученные значения в дальнейшем будут использованы для моделирования пространственно-неоднородного распределения субстанций, солености и температуры с учетом движения водной среды [18].
Механика

Рис. 3. Стационарный режим системы ОДУ в предположении, что развитие фитопланктона лимитируется азотом: а) зеленая водоросль ( ChV ), б) синезеленая водоросль ( AF-A ), в) диатомовая водоросль ( SC ), г) аммоний ( NH 4 ), д) нитриты ( NO 2 ), е) нитраты ( NO 3 )

Рис. 4. Стационарный режим системы ОДУ в предположении, что развитие фитопланктона (диатомовых водорослей) лимитируется кремнием: а) диатомовая водоросль ( SC) , б) кремний ( Si )
Заключение. В данной работе исследована математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в задаче динамики фитопланктона. Рассмотрен случай пространственно-равномерного распределения субстанций (фитопланктона, форм фосфора, азота и кремния). Система разбивается на три системы обыкновенных дифференциальных уравнений, каждая из которых моделирует зависимость роста фитопланктона от единственного питательного вещества. Эти системы решены методом Рунге-Кутты, получены стационарные режимы (рис. 2-4), для которых определены значения параметров системы и начальные условия.
Полученные результаты будут использованы для дальнейшего моделирования динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния с учетом конвекции-диффузии, солености, температуры.
Поступила в редакцию 20.11.2018
Сдана в редакцию 21.11.2018
Запланирована в номер 11.01.2019
Received 20.11 .2018
Список литературы Исследование стационарных решений задачи динамики фитопланктона с учетом трансформации соединений фосфора, азота и кремния
- Якушев, Е. В. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научноисследовательского судна «Акванавт»/Е. В. Якушев, А. И. Сухинов//Океанология. -2003. -Т. 43. -№ 1. -С.44-53.
- Сухинов, А. И. Численное моделирование экологического состояния Азовского моря с применением схем повышенного порядка точности на многопроцессорной вычислительной системе/А. И. Сухинов//Компьютерные исследования и моделирование. -2016. -Т. 8. -№ 1. -С. 151-168.
- Sukhinov, A.I., Sukhinov A.A. 3D model of diffusion-advection-aggregation suspensions in a water basins and its parallel realization. Parallel Computational Fluid Dynamics 2004: Multidisciplinary Applications -2005. -pp. 223-230 DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50029-4
- Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Shishenya, A.V., Timofeeva, E.F. Mathematical model for calculating coastal wave processes. Mathematical Models and Computer Simulations. -2013. -Т. 5. -№ 2. -pp. 122-129 DOI: 10.1134/S2070048213020087
- Сухинов, А. И. Предсказательное моделирование прибрежных гидрофизических процессов на многопроцессорной системе с использованием явных схем/А. И. Сухинов//Математическое моделирование. -2018. -Т. 30. -№ 3. -С. 83-100.
- Сухинов, А. И. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе/А. И. Сухинов//Вычислительные методы и программирование. -2013. -Т. 14. -№ 1. -С. 103-112.
- Sukhinov, A.I., Sukhinov A.A. Reconstruction of 2001 ecological disaster in the Azov sea on the basis of precise hydrophysics models. Parallel Computational Fluid Dynamics 2004: Multidisciplinary Applications -2005. -pp. 231-238
- DOI: 10.1016/B978-044452024-1/50030-0
- Debolskaya, E.I., Yakushev, E.V., Sukhinov, A.I. Formation of fish kills and anaerobic conditions in the sea of Azov. Water Resources. -2005. -Т. 32. -№ 2. -pp. 151-162
- DOI: 10.1007/s11268-005-0020-5
- Никитина, А. В. Оптимальное управление устойчивым развитием при биологической реабилитации Азовского моря/А. В. Никитина//Математическое моделирование. -2016. -Т. 28. -№ 7. -С. 96-106.
- Сухинов, А. И. Математическое моделирование процессов эвтрофикации в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе/А. И. Сухинов, А.В. Никитина, А.Е. Чистяков//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Вычислительная математика и информатика. -2016. -Т. 5. -№ 3. -С. 36 -53.
- Никитина, А. В. Дифференциально-игровая модель предотвращения заморов в мелководных водоемах/А. В. Никитина, М. В. Пучкин, И. С. Семенов//Управление большими системами. -2015. -Вып. 55. -C. 343-361.
- Сухинов, А. И. Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций/А. И. Сухинов, Ю. В. Белова//Инженерный вестник Дона. -2015. -Т. 37. -№ 3. -C. 50.
- Дегтярева, Е. Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях/Е. Е. Дегтярева, Е. А. Проценко, А. Е. Чистяков//Инженерный вестник Дона. -2012. -Т. 23. -№ 4 -2. -30 с. -Режим доступа: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283 (дата обращения: 12.12.2018).
- Самарский, А. А. Теория разностных схем/А. А. Самарский -Москва: Наука, 1989. -616 с.
- Сухинов, А. И. Достаточные условия сходимости положительных решений линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов/А. И. Сухинов, В. В. Сидорякина, А. А. Сухинов//Вестник Донского гос. техн. ун-та. -2017. -Т. 17. -№ 1 (88). -С. 5-17.
- Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений/А. А. Самарский, Е. С. Николаев. -Москва: Наука, 1978. -532 с.
- Марчук, Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды/Г. И. Марчук. -Москва: Наука, 1982. -319 с.
- Белова, Ю. В. О четырехслойной итерационной схеме/Ю. В. Белова, А. Е. Чистяков, У. А. Проценко//Вестник Донского гос. техн. ун-та. 2016. -Т.16. -№ 4 (87). -С. 146-149.