Исследование устойчивоподобных свойств «частичного» положения равновесия нелинейной динамической системы

На основе принципа включения (расширение фазового пространства нелинейной динамической системы с последующим его сужением) проводятся исследования устойчивоподобных свойств (УПС) «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных динамической системы, задаваемой в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь под УПС движений понимаются различные виды устойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим нелинейные динамические системы

Tt ^{= fv} ^ х ⁾ ’             ⁽¹⁾

⁼ ' ⁽ t’ У ⁾ ’                  (2)

где и-мерный вектор х(О определяет фазовое состояние системы (1), а f -мерный вектор y(t) определяет фазовое состояние системы (2), причем f <  fi. В дальнейшем будем пользоваться преобразованиями [1,с. 495]

у = Ух , х = Uy , UV = Е ,       (3)

где V — постоянная матрица размерности fi х п , ранг которой равен числу ее столбцов (моник-матрица); U — также постоянная матрица размерности п х fi , ранг которой равен числу ее строк (эпик-матрица); Е — единичная матрица размерности и х и.

Суть принципа включения [1—4] состоит в построении расширенной системы (пусть это будет система (2)) и в определении условий, при выполнении которых УПС движений системы (1) будут следовать из соответствующих свойств движений системы (2). Основное условие при «переходе» к расширенной системе (2) заключается в том, чтобы положение равновесия системы (1) при линейном преобразовании (3) переходило в состояние равновесия у = у_е системы (2), т. е. чтобы уе = Vx_e являлось положением равновесия системы (2).

Представим далее системы (1) и (2) в следующих формах:

'< - А" ( -’V,	х ( 2 ) ) ,	(1.1)
d2;- ^(.2f	х ( 2 ) ) ,	(1.2)
dy(^- - А ,(1) -t, у^2, dt /2 ( ,И	у ( 2 ) ) ,	(2.1)
d^ y^L - /-(2) К „(1) dt - А2 г у	, у ( 2 ) ) ■	(2.2)

Здесь х^ = (Хр ..., Хк)Т,     х^21 = (х^+1, ..., хп)Т,

У ¹ = ( У \ , ..., У к f,      У ^{( 2 )} = ( У к + \ , ..., У п f,

Т                     т\Т

X - ^ ( xW j , ( х ^ ^{2 )} )     , у - ^ ( у^ ) , ( у^{2 2} ) ^ ,

Р^    ^ f f²²²    ( ² 2       У²² f

• ^/ 1 ^- ^ ^/ 11 ’ ■■■’ / 1 ^ ) , / 1 ^ / 1, ^ + 1 ’ ■■■’ ^/ 1 и ) ’

f ( 1       ( ¹ 2       ДО f /2 ) ( 2 )         ,( 2 )\^r

• ^f 2 - ^ h1 ^, ■■■^{, f} 2k ) ^, / 2 - ^ Ча+ У -' hn ) ’ верхний индекс T означает транспонирование. Устойчивость относительно фазовых переменных х ^ , ..., Х к ( У \ , ..., У к ) в дальнейшем будем обозначать х ^{( 1 )} ^ у ^{( 1 )} ) — устойчивость.

Будем считать, что системы (1) и (2) ((1.1), (1.2); (2.1), (2.2)) заданы соответственно в областях

Q L _х(¹) _х(²) • £ _G Г+

1 - , X , X ■ ^ J ,

||х⁽¹⁾|| <  h₁, ||х⁽²⁾|| <те | ,

^2 - |^,У(1), У(2) ■ t G J+, ||у(1)|| < й2, ||у(2)|| <ю|, где At и ^ — положительные постоянные вещественные числа, а норма вектора евклидова, J* = {t: t > 0}. Следует отметить, что нормы вектора и матрицы согласованы. Пусть правые части систем (1) и (2), равно как и систем (1.1), (1.2) и (2.1), (2.2), являются непрерывными соответственно в областях О, и су и удовлетворяют там условию единственности решения задачи Коши, а также решения системы (1.1), (1.2) ((2.1), (2.2)) х^2 (^2 j — продолжимы (это означает, что каждое решение х (t, to, Xo) (у (t, t0, уо)) определено при всех t > to > 0, для которых

||-^Ц ^ ^ (||у ⁽¹⁾|| < ^ 2 ) ⁾ .

Здесь введены определения устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической устойчивости, эквиасимптотической устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, равномерной асимптотической устойчивости в целом, экспоненциальной и степенной устойчивости «частичного» положения систем (1.1) — (1.2) и (2.1) — (2.2). Найдены условия, при выполнении которых удается расширить фазовое пространство исходной нелинейной динамической системы и исследовать УПС «частичного» положения равновесия нелинейной динамической системы.

На примере нелинейной системы 5 с = Лх^², гдеЛ — постоянная п х п матрица, det А * 0, х ^ ² = ( х ^ , ..., х ^ j , р = 3, 5, ... проведены исследования УПС «частичного» положения равновесия. Показано на примере конкретной системы, когда возможно исследование УПС «частичного» положения равновесия только с использованием принципа включения.