Исследование влияния нелинейной характеристики внешнего сопротивления на динамику ветрогенератора

Освоение энергии ветра началось еще в древние времена, но интерес к ней резко возрос только в середине 20 века. В современном мире ветроэнергетика выступает как важнейший столп перехода к возобновляемым источникам энергии. Использование чистой энергии важно для мира, так как решает важные климатические проблемы, которые касаются каждого человека на Земле, такие как глобальное потепление, загрязнение атмосферы, выбросы углекислого газа и других вредных веществ, которые являются причиной парникового эффекта и кислотных дождей.

Наиболее распространенный тип ветрогенератора – это ветрогенератор с горизонтальной осью вращения (рис. 1а), но помимо него существуют ветрогенераторы с вертикальной осью вращения (рис. 1a). Ветроэнергетическая установка с вертикальной осью вращения в основном используют в городах, располагая на крышах зданий (рис. 1b). В статье рассматривается математическая модель малой ветроэнергетической установки Дарье. Данная установка была изобретена Жоржем Жаном Мари Дарье в 1931 году. Конструкция представляет собой вертикально ориентированный вал с прикрепленными к нему изогнутыми лопастями или аэродинамическими профилями, образующими форму, похожую на венчик для взбивания яиц (рис. 1c). Основное преимущество ветрогенераторов

Дарье – это их способность к самозапуску даже при низкой скорости ветра и устойчивость к переменным направлениям ветра. Также у данной установки есть еще один важный плюс, они намного менее шумные, чем классические ветрогенераторы. Данные особенности делают их привлекательными для установки в городских условиях или на морских платформах, где пространство ограничено и условия ветра изменчивы.

Работы [1-2] освещают исследование ветроэнергетической установки с различными структурными решениями. В ходе изучения было отмечено, что механизм антипараллелограмма и ветродвигатель колебательного типа демонстрируют высокую степень устойчивости и динамических характеристик при работе в условиях переменной силы ветра. Кроме того, в статьях [3-5] рассмотрена электромеханическая система, моделирующая стационарные режимы генератора с использованием ветротурбинных двигателей, с применением качественных методов теоретической механики. В исследовании, описанном в [6], проанализировано уравнение стационарных режимов при различных значениях внешнего сопротивления в динамической модели ветрогенератора. В работе [7] был выполнен анализ критических режимов, используя метод траекторий-уток для кусочно-линейной аппроксимации аэродинамического момента. В [8-9] рассмотрена трехтемповая дифференциальная система и исследовано уравнение стационарных режимов при значении внешнего сопротивления динамической модели, заданного простейшим уравнением. Найдены условия, при которых в системе наблюдаются релаксационные колебания. Также, в статьях [10-11] рассмотрены различные аспекты конструктивной теории малых ветроэлектростанций.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается математическая модель малого ветрогенератора Дарье, которая представляет собой трехтемповую дифференциальную систему [3, 5, 7-9]:

Г JQ = M(Q)-kl,

( R = sF^I.R},

Рис. 1. а) Типы ветроустановок где – коэффициент быстроходности, I – сила тока в обмотке якоря, R – внешнее сопротивление, M – относительный момент аэродинамических сил, J – момент инерции турбины, L – индуктивность якоря. Остальные константы: k – коэффициент электромеханического взаимодействия, r – малое внутреннее сопротивление якоря. Величины рассматриваются, как малые параметры. Это означает, что в данной системе переменная I является самой быстрой, R самой медленной из трех переменных. Точка здесь означает производную по времени t.

Рис. 1. b) Фонд медицинских исследований Оклахомы; c) Ветроэнергетическая установка Дарье

Непрерывная функция M(Ω) задается с помощью кусочно-линейной аппроксимации по промежуткам [7,8]:

м(п) =

0,02906976745/2+0,12, где/2 £ [0; 0,86];

-0,0638297872/2 + 0,199893617, где/2 £ [0,86; 1,8]; 0,643181818/2- 1,0727272725, где/2 £ [1,8;4];

-0,28556034485/2 + 2,6422413795, где /2 £ [4; 8,64].

• 2.    ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

• 2.1.    Медленная кривая

Перейдем от трехтемповой системы дифференциальных уравнений к двухтемповой [7-9]. Система (1) является сингулярно возмущенной и имеет двумерное инвариантное многообразие, движение по которому, можно описать следующей системой дифференциальных уравнений [7-9, 1213], при :

/й = м[л)-^, R = eF{Q,1,R).

Так как функция Г(/2,/,Я) умножается на малый параметр ε , то система (3) является быстромедленной. Следовательно, можно использовать аппарат теории релаксационных колебаний [14] и теории траекторий-уток (см., например [15 -18]) для анализа полученной системы уравнений.

При к = 0,5, г = 0,1 , медленная кривая системы (3) описывается:

М(/2)-^ = О.

Уравнение медленной кривой в явной форме получаем, выразив R из (4):

Я = Я(П) =

ьал

М(Л)

На рис. 4 представлен график полученной медленной кривой, заданной уравнением (5), где устойчивыми частями медленной кривой являются:

П Е [0; 0,86]; [0,86; 1,8]; [4; 8,64], а неустойчивой частью

Рис. 2. Медленная кривая (5)

Точки A (1,8; 5,194117653) и B (4; 0,5666666669) — это точки срыва медленной кривой (5) и также точки ее экстремумов. Помимо этого, в точках A и B медленная кривая сменяет устойчивость.

• 2.2.    Циклы утки, релаксационный цикл

Зададим функцию F(fl, I, R) = -0,6 Q² + аП + 4 с управляющим параметром α . Подставим эту функцию в систему уравнений (3) и получим:

;Л = м(л)-^, R = е(-0,6 Q² + аП + 4).

На каждом участке положения равновесия системы (6) находятся из системы уравнений, где относительный момент аэродинамических сил M(Ω ) задается уравнением (2) и к = о,5, г = 0,1, / = 1

{ ^-^ = °’ (е(-0,6 П² + аП + 4) = 0.

В данном случае рассматривается более сложное поведение внешнего сопротивления. В работах [7, 8] внешнее сопротивление рассматривалось как линейная функция. В настоящем исследовании внешнее сопротивление рассматривается уже как квадратичная функция, вследствие чего, положения равновесия нельзя выразить явным образом в зависимости от параметра α .

При изменении значения параметра α особая точка смещается по медленной кривой. Система является асимптотически устойчивой, если положение равновесия находится на устойчивой части кривой α > α _cr (рис. 3а). При изменении α особая точка сливается с экстремумом B (4; 0,5666666669) (точкой срыва), теряет устойчивость и превращается в неустойчивую, что является бифуркацией Андронова-Хопфа (рис. 3b). При дальнейшем изменении значения α , особая точка смещается за точку срыва на неустойчивую часть медленной кривой, оставаясь в малой окрестности точки срыва . Размер цикла начинает расти (рис. 3b). На рис. 3b представлена траектория-утка без головы. При критическом значении параметра α цикл становится траекторией-уткой, а далее происходит уточный взрыв [17]. То есть, особая точка продолжает смещение по неустойчивому участку медленной кривой от точки срыва, далее резко происходит изменение формы и размера траектории-утки, пока она не превратиться в релаксационный цикл. На рис. 4 показан получившийся релаксационный цикл, где движение происходит следующим образом: сначала вдоль одного устойчивого участка медленной кривой, до точки срыва, далее происходит срыв и движение в ε -окрестности другого устойчивого участка, следует вдоль него до второй точки срыва, после которого возвращается на исходный устойчивый участок кривой.

Следует отметить, что данная математическая модель (6) является исключительно высокочувствительной по отношению к изменению параметра α в окрестности критических значений. Это видно в значение управляющего параметра α при трансформации траектории-утки: от траектории «без головы» к траектории-утке «с головой» (рис. 3b, 3с) [15 -18]. Данные изменения управляющего параметра α происходят в пятом знаке после запятой. Таким образом, резкий скачок от предельного цикла малой амплитуды к релаксационному циклу происходит моментально при незначительном изменении параметра α (рис. 3-4).

Из данного случая можно сделать вывод, что даже при более сложном поведении сопротивления в математической модели ветрогенератора будет наблюдаться уточный взрыв. Следует заметить, что сопротивление более простым языком является поведением подключения пользователей к сети.

Если рассматривать ситуацию с физической точки зрения, то, когда положение равновесия является асимптотически устойчивым, она является предпочтительной, поскольку соответствует стационарному режиму работы системы. Случай, когда положение равновесия находится на неустойчивом участке и возникает релаксационный цикл, представляется опасным с физической точки зрения, так как в системе возникают колебания с достаточно большой амплитудой (рис. 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе была исследована математическая модель малой ветроэнергетической установки с вертикальной осью вращения, известной как ветрогенератор Дарье и исследовано влияние нелинейной характеристики внешнего сопротивления на условия возникновения критических явлений. При аппроксимации аэродинамического момента с помощью кусочно-линейной функции и внешним сопротивлением, заданным квадратичной функцией найдены условия возникновения неблагоприятных режимов работы ветроустановок, которые моделируются циклами утками и релаксационными циклами.

Автор глубоко признателен профессору Кобрину А.И. (МЭИ) за постановку задачи и ценные советы.